Application linéaire

Une application linéaire f:E→Ff : E \to F entre deux espaces vectoriels EE et FF est une fonction qui préserve les opérations vectorielles, c'est-à-dire qui vérifie f(u+v)=f(u)+f(v)f(u + v) = f(u) + f(v) et f(λx)=λf(x)f(\lambda x) = \lambda f(x) pour tous u,v∈Eu, v \in E et tout λ∈K\lambda \in K. Elle est entièrement déterminée par l'image d'une base de EE et peut être représentée par une matrice dans des bases données.

Notions liées

Opérations sur les applications linéaires
Détermination d'une application linéaire
Détermination d'une application linéaire lorsque $E$ est de dimension finie
Coordonnées de l'image d'un vecteur par une application linéaire
Critère de continuité d'une application linéaire entre deux espaces normés
Application linéaire tangente
Noyau
Matrice d’une application linéaire dans des bases
Application linéaire canoniquement associée à une matrice rang d'une matrice
Application linéaire.
Image directe et image réciproque d’un sous-espace par une application linéaire.
Image d’une application linéaire.
Noyau d’une application linéaire.
Application linéaire de rang fini.
Anneau $(L(E),+,\circ)$.
Détermination d’une application linéaire
Si $(e_i)_{i \in I}$ est une base de E et $(f_i)_{i \in I}$ une famille de vecteurs de F, alors il existe une unique application $u \in L(E,F)$ telle que, pour tout i, $u(e_i) = f_i$. Caractérisation de l’injectivité, de la surjectivité, de la bijectivité de u.
Pour une application linéaire entre deux espaces de même dimension finie, équivalence entre injectivité, surjectivité et bijectivité.
Matrice d’un vecteur, d’une famille de vecteurs dans une base, d’une application linéaire dans un couple de bases, d’un endomorphisme dans une base.
Coordonnées de l’image d’un vecteur par une application linéaire.
Application linéaire canoniquement associée à une matrice
Effet d’un changement de base sur la matrice d’un vecteur. Effet d’un changement du couple de bases sur la matrice d’une application linéaire.
Si $u \in L(E,F)$ est de rang r, il existe un couple de bases dans lequel u a pour matrice $J_r$.
Critère de continuité d’une application linéaire entre deux espaces normés : $u \in \mathcal{L}(E,F)$ est continue si et seulement s’il existe $C \in \mathbb{R}_+$ tel que $\forall x \in E, \|u(x)\| \le C\|x\|$. Notation $\mathcal{L}_c(E,F)$.
Cas particuliers : application constante, application linéaire.

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