Algèbre linéaire

#### Définitions - $E$ désigne un plan euclidien orienté. - $(e_1, e_2)$ est une base orthonormée directe. - $u \in \mathcal{O}(E)$, où $\mathcal{O}(E)$ représente le groupe des isométries vectorielles de $E$. - $A = \text{Mat}_{(e)}(u) = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$ est la matrice de l'isométrie $u$ dans la base $(e_1, e_2)$. #### Propriétés des matrices orthogonales - Une matrice $A$ est orthogonale si $A^T A = I$, où $I$ est la matrice identité. - Les éléments de $A$ satisfont aux équations : - $a^2 + b^2 = 1$ - $c^2 + d^2 = 1$ - $ac + bd = 0$ #### Représentation des éléments de la matrice - Il existe des réels $\alpha$ et $\beta$ tels que : - $a = \cos \alpha$ et $b = \sin \alpha$ - $d = \cos \beta$ et $c = \sin \beta$ - La relation entre $\alpha$ et $\beta$ est donnée par $\sin(\alpha + \beta) = 0$, ce qui implique $\beta \equiv -\alpha \pmod{\pi}$. #### Types de matrices pour les isométries - Deux types de matrices pour les isométries vectorielles : - $A_1$ avec $\det A_1 = 1$ pour les isométries directes - $A_2$ avec $\det A_2 = -1$ pour les isométries indirectes #### Théorème - Les isométries vectorielles directes sont associées aux matrices de type $A_1$, et les isométries indirectes aux matrices de type $A_2$. La formule de changement de base s'exprime sous la forme : $X' = P^{-1}X$ où $P = \text{Mat}_e(e')$ est la matrice de passage de $(e)$ vers $(e')$. <ul> <li> $P$ est la matrice des coordonnées des vecteurs $(e')$ exprimés dans la base $(e)$.</li> <li>$P$ permet de passer des nouvelles coordonnées vers les anciennes coordonnées !</li> </ul> Si on considère une application linéaire, $A$ sa matrice dans la base $(e)$ et $A'$ sa matrice dans la base $(e')$, alors on vérifie la relation : $A' = P^{-1} A P $ La matrice $X = \phi^{-1}(x)$ est la matrice des composantes de $x$ dans la base $(e)$, notée $X = \text{Mat}_e(x)$. La méthode de Gauss-Jordan peut être appliquée sur les colonnes d'une matrice pour trouver son rang et déterminer si une famille de vecteurs est libre ou non. Le rang de la famille $(x_1, \dots, x_k)$ est la dimension de l'espace vectoriel qu'ils engendrent : $\text{rg}(x_1, \dots, x_k) = \text{rg}(X_1, \dots, X_k) = \text{rg } A$.

#### 1. Cas triangulaire par blocs Soient $A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{K})$, $D \in \mathcal{M}_q(\mathbb{K})$ et $B \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})$. Si $$M = \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D \end{pmatrix} \quad \text{ou} \quad M = \begin{pmatrix} A & 0 \\ C & D \end{pmatrix},$$ alors $\det(M) = \det(A)\det(D)$. En particulier, le déterminant d'une matrice diagonale par blocs est le produit des déterminants des blocs, et le bloc $B$ (ou $C$) n'intervient pas. **Idée de preuve :** si $A$ est inversible, $$\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & D \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_p & A^{-1}B \\ 0 & I_q \end{pmatrix},$$ et le second facteur a pour déterminant $1$. Si $A$ est non inversible alors M est non inversible, la propriété est toujours vraie. Il suffit de considérer un vecteur $x$ non nul tel que $Ax = 0$, alors $\begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}$ est non nul et appartient au noyau de $M$ qui n'est donc pas inversible, donc son déterminant est nul. #### 2. Cas général : complément de Schur Si $A \in \mathrm{GL}_p(\mathbb{K})$, alors pour $$M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$$ $$\quad \det(M) = \det(A)\,\det(D - CA^{-1}B).$$ La matrice $S = D - CA^{-1}B$ est le complément de Schur de $A$ dans $M$. On l'obtient par élimination de Gauss par blocs : multiplier à gauche par $\begin{pmatrix} I_p & 0 \\ -CA^{-1} & I_q \end{pmatrix}$ ne change pas le déterminant et fait apparaître le bloc nul en bas à gauche. #### 3. Pièges à éviter - Le déterminant **n'est pas additif** : $\det(A + B) \neq \det(A) + \det(B)$. - La formule naïve $\det\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \det(AD - BC)$ n'est vraie que si les blocs commutent deux à deux (par exemple des blocs $1 \times 1$) ; elle est fausse en général. - $\det(M) = \det(A)\det(D)$ exige un bloc nul en position $C$ (ou $B$) : sans cela, il faut le complément de Schur. #### 4. Exemple Soit $M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ : c'est une matrice triangulaire par blocs avec $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $D = (3)$. Donc $\det(M) = \det(A)\det(D) = (2 \times 1 - 0) \times 3 = 6$.

#### 1. Définition - **Trace d'une matrice carrée** : pour $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, $$\mathrm{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii},$$ c'est-à-dire la somme des éléments diagonaux. Exemple : $\mathrm{tr}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = 5$. - **Trace d'un endomorphisme** : pour $u \in \mathcal{L}(E)$ où $E$ est de dimension finie, $\mathrm{tr}(u) = \mathrm{tr}\big(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u)\big)$ dans une base $\mathcal{B}$ quelconque de $E$. Cette définition est légitime car le résultat ne dépend pas de la base choisie (invariance par changement de base, voir §5). - Cas particuliers : $\mathrm{tr}(I_n) = n$, $\mathrm{tr}(0) = 0$, $\mathrm{tr}(\lambda I_n) = n\lambda$ (homothétie). #### 2. Linéarité de la trace - L'application $\mathrm{tr} : \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \to \mathbb{K}$ est une **forme linéaire** : $$\mathrm{tr}(\lambda A + \mu B) = \lambda\,\mathrm{tr}(A) + \mu\,\mathrm{tr}(B).$$ - Son noyau est l'**hyperplan des matrices de trace nulle**, de dimension $n^2 - 1$ ; une base en est donnée par les $E_{ij}$ ($i \neq j$) et les $E_{ii} - E_{11}$ ($i \geq 2$). - Forme bilinéaire associée : $(A, B) \mapsto \mathrm{tr}(A^{\mathsf{T}} B)$ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ ; la norme associée $\|A\|_F = \sqrt{\mathrm{tr}(A^{\mathsf{T}}A)}$ est la norme de Frobenius. #### 3. Trace et transposition - **La transposition conserve la trace** : $\mathrm{tr}(A^{\mathsf{T}}) = \mathrm{tr}(A)$ (la diagonale est inchangée par transposition). - Conséquences : $\mathrm{tr}(A^{\mathsf{T}}B) = \mathrm{tr}(AB^{\mathsf{T}}) = \mathrm{tr}(B^{\mathsf{T}}A)$ (par combinaison avec la cyclicité, §4), et $\mathrm{tr}(A^{\mathsf{T}}A) = \sum_{i,j} a_{ij}^2 \geq 0$, avec égalité si et seulement si $A = 0$. #### 4. Cyclicité de la trace - **Propriété fondamentale** : pour $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ et $B \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K})$, les produits $AB$ et $BA$ sont définis et $$\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA).$$ Preuve : $\mathrm{tr}(AB) = \sum_i \sum_j a_{ij}b_{ji} = \sum_j \sum_i b_{ji}a_{ij} = \mathrm{tr}(BA)$. - **Généralisation** : la trace est invariante par **permutation circulaire** des facteurs, $\mathrm{tr}(A_1 A_2 \cdots A_k) = \mathrm{tr}(A_2 \cdots A_k A_1)$, par exemple $\mathrm{tr}(ABC) = \mathrm{tr}(CAB) = \mathrm{tr}(BCA)$. - **Pièges** : invariance uniquement par permutation circulaire (en général $\mathrm{tr}(ABC) \neq \mathrm{tr}(ACB)$), et la trace n'est pas multiplicative : $\mathrm{tr}(AB) \neq \mathrm{tr}(A)\,\mathrm{tr}(B)$. #### 5. Invariance de la trace et similitude - Si $B = P^{-1}AP$ avec $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ ($A$ et $B$ **semblables**), alors $$\mathrm{tr}(B) = \mathrm{tr}(P^{-1}AP) = \mathrm{tr}(A),$$ par cyclicité avec $X = P^{-1}A$ et $Y = P$. La trace est donc un **invariant de similitude**. - Pour un endomorphisme, cela signifie que la trace est indépendante de la base : c'est un invariant intrinsèque de l'endomorphisme, au même titre que le déterminant ou le spectre. - **Trace et valeurs propres** : si $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ sont les valeurs propres de $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ comptées avec leur multiplicité, alors (par trigonalisation) $\mathrm{tr}(A) = \lambda_1 + \cdots + \lambda_n$. En particulier $\mathrm{tr}(A^k) = \lambda_1^k + \cdots + \lambda_n^k$ quand $A$ est diagonalisable. - **Polynôme caractéristique** : $\chi_A(X) = X^n - \mathrm{tr}(A) X^{n-1} + \cdots + (-1)^n \det(A)$ : la trace est l'opposé du coefficient de $X^{n-1}$, le déterminant est le terme constant. #### 6. Trace d'un endomorphisme - Définition et bonne définition : $\mathrm{tr}(u)$ ne dépend pas de la base (§1 et §5). - **Composition** : pour $u, v \in \mathcal{L}(E)$, $\mathrm{tr}(u \circ v) = \mathrm{tr}(v \circ u)$ (conséquence de la cyclicité sur les matrices). - Exemples remarquables : - un **projecteur** $p$ de rang $r$ est diagonalisable de valeurs propres $0$ et $1$, donc $\mathrm{tr}(p) = r$ (sa trace vaut son rang) ; - un **endomorphisme nilpotent** a toutes ses valeurs propres nulles, donc $\mathrm{tr}(u) = 0$ ; - une **symétrie** $s$ vérifie $s^2 = \mathrm{Id}$ et $\mathrm{tr}(s) = \dim E_1 - \dim E_{-1}$. #### 7. Exemple récapitulatif Soient $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. - $\mathrm{tr}(A) = 1 + 4 = 5$ et $\mathrm{tr}(A^{\mathsf{T}}) = 5$. - $AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ et $BA = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ ont tous deux pour trace $5$ : on vérifie $\mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA)$. - $A^2 = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix}$ a pour trace $29$. Or les valeurs propres de $A$ vérifient $\lambda_1 + \lambda_2 = 5$ et $\lambda_1 \lambda_2 = -2$, donc $\lambda_1^2 + \lambda_2^2 = 5^2 - 2 \times (-2) = 29$ : on retrouve bien $\mathrm{tr}(A^2) = \lambda_1^2 + \lambda_2^2$.

#### 1. Définition d'un polynôme d'endomorphisme et d'un polynôme d'une matrice carrée Soient $P(X) = a_0 + a_1 X + \cdots + a_n X^n \in \mathbb{K}[X]$ et $u \in \mathcal{L}(E)$. On définit le **polynôme d'endomorphisme** $$P(u) = a_0\,\mathrm{Id}_E + a_1 u + \cdots + a_n u^n,$$ avec $u^0 = \mathrm{Id}_E$ et $u^k = \underbrace{u \circ \cdots \circ u}_{k \text{ fois}}$. De même, pour $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, $$P(A) = a_0 I_n + a_1 A + \cdots + a_n A^n.$$ L'ensemble $\mathbb{K}[u] = \{P(u),\; P \in \mathbb{K}[X]\}$ est une sous-algèbre commutative de $\mathcal{L}(E)$. Exemple : si $P(X) = X^2 + 1$, alors $P(u) = u \circ u + \mathrm{Id}_E$. #### 2. Relation $(PQ)(u) = P(u) \circ Q(u)$ L'application $\varphi_u : \mathbb{K}[X] \to \mathcal{L}(E)$, $P \mapsto P(u)$, est un **morphisme d'algèbres** : elle est linéaire, envoie $1$ sur $\mathrm{Id}_E$ et $$(PQ)(u) = P(u) \circ Q(u).$$ La preuve repose sur le cas $P(X) = X^k$, $Q(X) = X^\ell$, où $u^k \circ u^\ell = u^{k+\ell} = X^{k+\ell}(u)$, puis s'étend par bilinéarité. Pour les matrices : $(PQ)(A) = P(A)Q(A)$ (produit matriciel ordinaire). #### 3. Polynôme annulateur Un polynôme $P$ est **annulateur** de $u$ si $P(u) = 0$. - Exemples : un projecteur ($u^2 = u$) admet $X^2 - X$ ; une symétrie ($u^2 = \mathrm{Id}$) admet $X^2 - 1$ ; un endomorphisme nilpotent d'indice $r$ admet $X^r$. - L'ensemble des polynômes annulateurs est un **idéal** de $\mathbb{K}[X]$ ; son générateur unitaire est le **polynôme minimal** $\pi_u$, qui divise donc tout polynôme annulateur. - **Théorème de Cayley-Hamilton** : le polynôme caractéristique $\chi_u$ est annulateur, $\chi_u(u) = 0$ ; en particulier le polynôme minimal divise $\chi_u$. - En dimension finie, il existe toujours un polynôme annulateur non nul (car $\mathcal{L}(E)$ est de dimension finie). #### 4. Application au calcul de l'inverse Si $P$ est annulateur de $u$ avec $P(0) \neq 0$, alors $P(X) = a_0 + XQ(X)$ avec $a_0 \neq 0$ et $$P(u) = a_0\,\mathrm{Id}_E + u \circ Q(u) = 0 \quad\Longrightarrow\quad u^{-1} = -\frac{1}{a_0}\,Q(u).$$ L'inverse de $u$ est donc un polynôme en $u$. Exemple : si $A^2 - 3A + 2I_2 = 0$, alors $A(3I_2 - A) = 2I_2$, donc $A^{-1} = \frac{1}{2}(3I_2 - A)$. #### 5. Application au calcul des puissances d'une matrice Si $P$ est un polynôme annulateur de degré $d$ de $A$, la division euclidienne $X^k = P(X)Q(X) + R(X)$ avec $\deg R < d$ donne $$A^k = P(A)Q(A) + R(A) = R(A).$$ Ainsi, pour tout $k \geq d$, $A^k$ s'exprime comme combinaison linéaire de $I_n, A, \ldots, A^{d-1}$. Exemples : si $A^2 = A$, alors $A^k = A$ pour tout $k \geq 1$ ; si $A^2 = I$, alors $A^k = I$ pour $k$ pair et $A^k = A$ pour $k$ impair. #### 6. Deux polynômes de l'endomorphisme $u$ commutent Pour tous $P, Q \in \mathbb{K}[X]$, $$P(u) \circ Q(u) = (PQ)(u) = (QP)(u) = Q(u) \circ P(u).$$ Tous les polynômes en $u$ **commutent deux à deux** ; en particulier $u$ commute avec chaque $P(u)$. Conséquence : si $u$ est diagonalisable, tous les $P(u)$ le sont, et dans une même base de vecteurs propres ; de même pour la trigonalisation. #### 7. Le noyau de $P(u)$ est stable par $u$ Soit $x \in \ker P(u)$. Comme $u$ commute avec $P(u)$ (voir §6), $$P(u)\big(u(x)\big) = \big(P(u) \circ u\big)(x) = \big(u \circ P(u)\big)(x) = u\big(P(u)(x)\big) = 0.$$ Donc $u(x) \in \ker P(u)$ : le noyau de $P(u)$ est **stable par $u$** (et par tout $Q(u)$). Il en va de même de $\mathrm{Im}\,P(u)$. C'est le point de départ du **lemme des noyaux** : si $P$ et $Q$ sont premiers entre eux et $PQ$ est annulateur de $u$, alors $E = \ker P(u) \oplus \ker Q(u)$, et chaque facteur est stable par $u$ — ce qui conduit à la décomposition spectrale et aux projecteurs spectraux. #### 8. Adaptation des résultats aux matrices carrées Tous les résultats ci-dessus s'adaptent mot pour mot aux matrices : $P(A)$, polynômes annulateurs, polynôme minimal, Cayley-Hamilton $\chi_A(A) = 0$, calcul de $A^{-1}$ et de $A^k$, commutation $P(A)Q(A) = Q(A)P(A)$, et stabilité de $\ker P(A) \subset \mathbb{K}^n$ par $A$. Le dictionnaire est : $\mathrm{Id}_E \leftrightarrow I_n$, composition $\leftrightarrow$ produit matriciel, $\mathcal{L}(E) \leftrightarrow \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. En pratique, on fixe une base et on travaille avec la matrice de l'endomorphisme ; les polynômes caractéristique et minimal sont des invariants de similitude, donc indépendants de la base. #### 9. Exemple récapitulatif Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$. - On a $\chi_A(X) = (X-1)(X-2) = X^2 - 3X + 2$, et $A^2 - 3A + 2I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 0$ : on vérifie Cayley-Hamilton. - **Inverse** : $A(3I_2 - A) = 2I_2$, donc $A^{-1} = \frac{1}{2}(3I_2 - A) = \begin{pmatrix} 1 & -1/2 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}$. - **Puissances** : le reste de $X^k$ modulo $X^2 - 3X + 2$ vaut $R(X) = (2^k - 1)X + (2 - 2^k)$ (car $R(1)=1$ et $R(2)=2^k$), d'où $A^k = (2^k - 1)A + (2 - 2^k)I_2$. Pour $k = 2$ on retrouve $A^2 = 3A - 2I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$.

#### 1. Base de $\mathbb{K}_n[X]$ : les polynômes interpolateurs de Lagrange Soient $a_0, a_1, \ldots, a_n$ des éléments **deux à deux distincts** de $\mathbb{K}$. Pour chaque $i \in \{0, \ldots, n\}$, on définit le **polynôme interpolateur de Lagrange** associé à $a_i$ : $$L_i(X) = \prod_{\substack{0 \leq j \leq n \\ j \neq i}} \frac{X - a_j}{a_i - a_j}.$$ - Chaque $L_i$ est de degré $n$ et vérifie la propriété fondamentale $L_i(a_j) = \delta_{ij}$ (vaut $1$ en $a_i$, $0$ en tous les autres points). - La famille $(L_0, L_1, \ldots, L_n)$ est une **base de $\mathbb{K}_n[X]$** : elle a $n+1$ éléments et elle est libre, car si $\sum_{i=0}^{n} \lambda_i L_i = 0$, l'évaluation en $a_j$ donne $\lambda_j = 0$ pour tout $j$. - Exemple : pour $n = 1$, $a_0 = 0$, $a_1 = 1$, on obtient $L_0(X) = 1 - X$ et $L_1(X) = X$, base usuelle de $\mathbb{K}_1[X]$ (à permutation près). #### 2. Expression d'un polynôme dans cette base Pour tout $P \in \mathbb{K}_n[X]$, $$P(X) = \sum_{i=0}^{n} P(a_i)\, L_i(X).$$ Les **coordonnées de $P$ dans la base de Lagrange sont ses valeurs aux points $a_i$**. Preuve : le polynôme $Q = P - \sum_i P(a_i) L_i$ est de degré $\leq n$ et s'annule aux $n+1$ points $a_i$ ; il est donc nul. Application directe — **problème d'interpolation** : étant donnés $n+1$ points $a_i$ distincts et $n+1$ valeurs $y_i$, l'unique polynôme de degré $\leq n$ tel que $P(a_i) = y_i$ pour tout $i$ est $$P(X) = \sum_{i=0}^{n} y_i\, L_i(X).$$ #### 3. Somme des polynômes interpolateurs En appliquant l'expression de la section 2 au polynôme constant $P = 1$, on obtient $$\sum_{i=0}^{n} L_i(X) = 1.$$ Les polynômes de Lagrange forment une **partition de l'unité**. Plus généralement, pour tout $k \leq n$, $$\sum_{i=0}^{n} a_i^k\, L_i(X) = X^k,$$ ce qui fournit une formule d'interpolation des monômes. Cette propriété est utilisée en analyse numérique : l'interpolée d'une combinaison convexe de valeurs $\sum_i y_i L_i$ respecte les bornes (min-max) dès que les $y_i$ en sont issues. #### 4. Déterminant de Vandermonde et lien avec l'interpolation La **matrice de Vandermonde** associée aux points $a_0, \ldots, a_n$ est $$V(a_0, \ldots, a_n) = \begin{pmatrix} 1 & a_0 & a_0^2 & \cdots & a_0^n \\ 1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & a_n & a_n^2 & \cdots & a_n^n \end{pmatrix},$$ et son déterminant vaut $$\det V = \prod_{0 \leq i < j \leq n} (a_j - a_i).$$ - Ce déterminant est **non nul si et seulement si les points $a_i$ sont deux à deux distincts**. - **Lien avec l'interpolation** : chercher $P(X) = c_0 + c_1 X + \cdots + c_n X^n$ tel que $P(a_i) = y_i$ revient à résoudre le système linéaire $V c = y$ (les lignes sont les évaluations en $a_i$). Le déterminant de Vandermonde étant non nul, le système admet une solution unique : c'est exactement l'existence et l'unicité du polynôme interpolateur. - La matrice de passage de la base canonique $(1, X, \ldots, X^n)$ à la base de Lagrange $(L_0, \ldots, L_n)$ est $V^{-1}$ (selon la convention de représentation) : les formules d'interpolation et le déterminant de Vandermonde sont deux faces du même problème. #### 5. Exemple récapitulatif Prenons $a_0 = 0$, $a_1 = 1$, $a_2 = 2$ et cherchons $P \in \mathbb{R}_2[X]$ tel que $P(0) = 1$, $P(1) = 2$, $P(2) = 4$. - Polynômes de Lagrange : $L_0(X) = \frac{(X-1)(X-2)}{(0-1)(0-2)} = \frac{X^2 - 3X + 2}{2}$, $L_1(X) = \frac{X(X-2)}{(1)(-1)} = -X^2 + 2X$, $L_2(X) = \frac{X(X-1)}{2 \cdot 1} = \frac{X^2 - X}{2}$. - Interpolation : $P(X) = 1 \cdot L_0 + 2 \cdot L_1 + 4 \cdot L_2 = \frac{X^2 - 3X + 2}{2} - 2X^2 + 4X + 2X^2 - 2X = \frac{X^2 + X + 2}{2}$. Vérifications : $P(0) = 1$, $P(1) = 2$, $P(2) = 4$. - Somme : $L_0 + L_1 + L_2 = \frac{X^2 - 3X + 2 - 2X^2 + 4X + X^2 - X}{2} = 1$ : on retrouve la partition de l'unité. - Vandermonde : $\det V(0,1,2) = \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix} = (1-0)(2-0)(2-1) = 2 \neq 0$ : le système d'interpolation a bien une solution unique.

#### 1. Droite stable par un endomorphisme Une **droite vectorielle** $D = \mathrm{Vect}(x)$ (avec $x \neq 0$) est **stable par** $u \in \mathcal{L}(E)$ si $u(D) \subset D$, c'est-à-dire si $u(x) \in D$ : il existe alors $\lambda \in \mathbb{K}$ tel que $$u(x) = \lambda x.$$ Cette notion géométrique est le point de départ de la théorie des éléments propres : chercher les droites stables par $u$ revient à chercher les couples $(\lambda, x)$ vérifiant cette équation. #### 2. Valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre, équation aux éléments propres - $\lambda \in \mathbb{K}$ est une **valeur propre** de $u$ s'il existe un vecteur **non nul** $x \in E$ tel que $u(x) = \lambda x$. Un tel $x$ est un **vecteur propre** associé à $\lambda$. - Le **sous-espace propre** associé à $\lambda$ est $$E_\lambda(u) = \ker(u - \lambda\,\mathrm{Id}_E) = \{x \in E \mid u(x) = \lambda x\}.$$ Ses éléments non nuls sont exactement les vecteurs propres de valeur propre $\lambda$. - **Équation aux éléments propres** : $u(x) = \lambda x \iff (u - \lambda\,\mathrm{Id}_E)(x) = 0$. En dimension finie, $\lambda$ est valeur propre si et seulement si $u - \lambda\,\mathrm{Id}_E$ n'est pas injectif, donc pas bijectif, donc $\det(u - \lambda\,\mathrm{Id}_E) = 0$ : les valeurs propres sont les **racines du polynôme caractéristique** $\chi_u$. #### 3. Stabilité des sous-espaces propres si $u$ et $v$ commutent Si $u \circ v = v \circ u$ (les endomorphismes **commutent**) et si $x \in E_\lambda(u)$, alors $$u\big(v(x)\big) = v\big(u(x)\big) = v(\lambda x) = \lambda\,v(x),$$ donc $v(x) \in E_\lambda(u)$. **Chaque sous-espace propre de $u$ est stable par $v$.** Il en va de même pour tout polynôme $P(u)$ (qui commute avec $u$). Conséquence : deux endomorphismes qui commutent et sont diagonalisables sont **codiagonalisables** (diagonalisables dans une même base). #### 4. Spectre d'un endomorphisme, notation $\mathrm{Sp}(u)$ Le **spectre** de $u$ est l'ensemble de ses valeurs propres : $$\mathrm{Sp}(u) = \{\lambda \in \mathbb{K} \mid \ker(u - \lambda\,\mathrm{Id}_E) \neq \{0\}\}.$$ - En dimension finie, $\mathrm{Sp}(u)$ est l'ensemble des racines de $\chi_u$ **dans $\mathbb{K}$** : il dépend donc du corps (on écrit parfois $\mathrm{Sp}_\mathbb{K}(u)$). - $\mathrm{Sp}(u)$ est fini et $|\mathrm{Sp}(u)| \leq \dim E$. - Exemple : la rotation d'angle $\theta \notin \{0, \pi\}$ dans $\mathbb{R}^2$ n'a aucune valeur propre réelle ($\mathrm{Sp}_\mathbb{R}(u) = \varnothing$), mais $\mathrm{Sp}_\mathbb{C}(u) = \{e^{i\theta}, e^{-i\theta}\}$. #### 5. Somme d'une famille finie de sous-espaces propres **Théorème** : des vecteurs propres associés à des valeurs propres **deux à deux distinctes** forment une famille **libre**. **Corollaire** : la somme des sous-espaces propres est **directe**, $$\sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(u)} E_\lambda(u) = \bigoplus_{\lambda \in \mathrm{Sp}(u)} E_\lambda(u).$$ Preuve (idée) : si $\sum_i x_i = 0$ avec $x_i \in E_{\lambda_i}$ et $\lambda_i$ distincts, l'application de $\prod_{j \neq k}(u - \lambda_j\,\mathrm{Id}_E)$ isole $x_k$ et donne $\prod_{j \neq k}(\lambda_k - \lambda_j)\,x_k = 0$, d'où $x_k = 0$. Conséquence : $\dim \sum_{\lambda} E_\lambda = \sum_\lambda \dim E_\lambda \leq \dim E$, et $u$ est **diagonalisable** si et seulement si $E = \bigoplus_{\lambda \in \mathrm{Sp}(u)} E_\lambda(u)$ (ou encore $\sum_\lambda \dim E_\lambda = \dim E$). #### 6. Valeur propre et polynôme Si $x$ est un vecteur propre de $u$ pour la valeur propre $\lambda$ et si $P \in \mathbb{K}[X]$, alors $$P(u)(x) = P(\lambda)\,x :$$ $x$ est vecteur propre de $P(u)$ pour la valeur propre $P(\lambda)$. Sur un corps algébriquement clos (ou par trigonalisation), $$\mathrm{Sp}\big(P(u)\big) = \{P(\lambda) \mid \lambda \in \mathrm{Sp}(u)\}.$$ En particulier $\lambda \in \mathrm{Sp}(u) \Rightarrow \lambda^k \in \mathrm{Sp}(u^k)$, et si $P$ est un polynôme annulateur de $u$ ($P(u) = 0$), alors $P(\lambda) = 0$ pour tout $\lambda \in \mathrm{Sp}(u)$. #### 7. Valeur propre, vecteur propre et spectre d'une matrice carrée Les définitions s'adaptent mot pour mot aux matrices : $\lambda \in \mathbb{K}$ est **valeur propre** de $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ s'il existe une **colonne non nulle** $X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})$ telle que $AX = \lambda X$. Alors $$\mathrm{Sp}(A) = \{\lambda \in \mathbb{K} \mid \det(A - \lambda I_n) = 0\},$$ ensemble des racines du polynôme caractéristique $\chi_A(X) = \det(XI_n - A)$. - Si $u$ est représenté par $A = \mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u)$ dans une base $\mathcal{B}$, alors $\mathrm{Sp}(u) = \mathrm{Sp}(A)$ : le spectre est un **invariant de similitude**, indépendant de la base. - Tous les résultats des sections précédentes (sous-espaces propres $= \ker(A - \lambda I_n)$, somme directe, diagonalisabilité, valeurs propres de $P(A)$) restent valables. #### 8. Exemple récapitulatif Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ (endomorphisme de $\mathbb{R}^2$). - $\chi_A(X) = (X - 2)^2$ : $\mathrm{Sp}(A) = \{2\}$, valeur propre double. - Sous-espace propre : $E_2 = \ker(A - 2I_2) = \ker \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, de dimension $1$. - $\dim E_2 = 1 < 2 = \dim \mathbb{R}^2$ : $A$ **n'est pas diagonalisable** (le bloc $1$ hors diagonale l'empêche). - Avec $P(X) = X^2$ : $\mathrm{Sp}(A^2) = \{4\}$ et $A^2 = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ : on vérifie que $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ est encore vecteur propre de $A^2$ pour la valeur propre $4 = P(2)$.

#### 1. Définition : matrice carrée et endomorphisme Pour $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, le **polynôme caractéristique** de $A$ est $$\chi_A(X) = \det(X I_n - A).$$ C'est un polynôme de degré $n$, **unitaire** (son coefficient dominant vaut $1$). Pour un endomorphisme $u$ d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$, on pose $\chi_u = \chi_{\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u)}$ dans une base $\mathcal{B}$ quelconque : la définition est légitime car le résultat ne dépend pas de la base (voir §8). *Convention* : certains ouvrages définissent $\det(A - XI_n) = (-1)^n \chi_A(X)$ ; on utilise ici $\det(XI_n - A)$, ce qui rend $\chi_A$ unitaire. #### 2. Notations - $\chi_A$, $\chi_u$ (parfois notés $P_A$, $P_u$, ou $\det(XI - A)$). - Pour un endomorphisme : $\chi_u = \chi_{\mathrm{Mat}(u)}$ ; $\chi_u$ et $\chi_A$ sont des polynômes de $\mathbb{K}[X]$. - Évaluation en $0$ : $\chi_A(0) = \det(-A) = (-1)^n \det(A)$, ce qui relie les sections 1 et 3. #### 3. Coefficients de degré $0$ et $n-1$ Pour $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, $$\chi_A(X) = X^n - \mathrm{tr}(A)\, X^{n-1} + \cdots + (-1)^n \det(A).$$ - **Coefficient de $X^{n-1}$** : $-\mathrm{tr}(A)$ (l'opposé de la trace). - **Coefficient constant** : $(-1)^n \det(A)$ (terme de degré $0$). - Exemple : pour $n = 2$, $\chi_A(X) = X^2 - \mathrm{tr}(A)X + \det(A)$. #### 4. Valeurs propres et racines du polynôme caractéristique $\lambda \in \mathbb{K}$ est valeur propre de $A$ (ou de $u$) si et seulement si $\det(A - \lambda I_n) = 0$, c'est-à-dire si et seulement si $\lambda$ est **racine de $\chi_A$** : $$\mathrm{Sp}(A) = \{\lambda \in \mathbb{K} \mid \chi_A(\lambda) = 0\}.$$ En dimension finie, les valeurs propres sont donc exactement les racines de $\chi_A$ **dans $\mathbb{K}$** — d'où l'importance du corps de travail. #### 5. Cas des matrices réelles Si $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, alors $\chi_A \in \mathbb{R}[X]$ : ses racines complexes éventuelles vont **par paires conjuguées**. Plus précisément : - si $\lambda \in \mathbb{C}$ est valeur propre de $A$ de vecteur propre $X \in \mathbb{C}^n$, alors $\overline{\lambda}$ est valeur propre de vecteur propre $\overline{X}$, avec la même multiplicité ; - $\mathrm{Sp}_\mathbb{R}(A)$ peut être vide (exemple : rotation d'angle $\theta \notin \{0,\pi\}$, dont le polynôme $X^2 - 2\cos\theta\, X + 1$ n'a pas de racine réelle), alors que $\mathrm{Sp}_\mathbb{C}(A) = \{e^{i\theta}, e^{-i\theta}\}$ ; - une matrice réelle de **taille impaire** a toujours au moins une valeur propre réelle (polynôme de degré impair à coefficients réels). #### 6. Multiplicité d'une valeur propre - **Multiplicité algébrique** $m_a(\lambda)$ : ordre de multiplicité de $\lambda$ comme racine de $\chi_A$. Sur $\mathbb{C}$, $\sum_\lambda m_a(\lambda) = n$ (le polynôme est scindé). - **Multiplicité géométrique** $m_g(\lambda) = \dim E_\lambda = \dim \ker(A - \lambda I_n)$. - On a toujours $1 \leq m_g(\lambda) \leq m_a(\lambda)$ (voir §7). #### 7. Majoration de la dimension d'un sous-espace propre **Théorème** : pour toute valeur propre $\lambda$, $$\dim E_\lambda \leq m_a(\lambda).$$ Preuve (idée) : on complète une base de $E_\lambda$ en une base de $E$ ; la matrice de $u$ y est triangulaire par blocs avec le bloc $\lambda I_r$ en haut à gauche, donc $(X - \lambda)^r$ divise $\chi_u$, d'où $r = \dim E_\lambda \leq m_a(\lambda)$. Conséquence : $u$ est diagonalisable si et seulement si $m_g(\lambda) = m_a(\lambda)$ pour toute valeur propre $\lambda$ (ou $\sum_\lambda \dim E_\lambda = n$). #### 8. Polynôme caractéristique et similitude Si $B = P^{-1}AP$ ($A$ et $B$ semblables), alors $$\chi_B(X) = \det(XI_n - P^{-1}AP) = \det\big(P^{-1}(XI_n - A)P\big) = \det(XI_n - A) = \chi_A(X).$$ Deux matrices semblables ont le **même polynôme caractéristique** (et donc même trace, même déterminant, même spectre). C'est ce qui rend $\chi_u$ indépendant de la base. **Attention** : la réciproque est fausse — $\chi_A = \chi_B$ n'implique pas que $A$ et $B$ soient semblables (contre-exemple : $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $I_2$ ont tous deux $(X-1)^2$ pour polynôme caractéristique). #### 9. Cayley-Hamilton **Théorème de Cayley-Hamilton** : le polynôme caractéristique est un **polynôme annulateur**, $$\chi_u(u) = 0 \quad \text{et} \quad \chi_A(A) = 0.$$ Conséquences : - le **polynôme minimal** $\pi_A$ divise $\chi_A$ ; - si $A$ est inversible, $A^{-1}$ est un polynôme en $A$ : de $\chi_A(A) = 0$ et $\det A \neq 0$ on isole $I_n$ (par exemple, pour $n = 2$ : $A^{-1} = \frac{\mathrm{tr}(A)I_2 - A}{\det A}$) ; - les puissances $A^k$ se réduisent par division euclidienne par $\chi_A$ (combinaison linéaire de $I_n, A, \ldots, A^{n-1}$). #### 10. Exemple récapitulatif Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$. - $\chi_A(X) = X^2 - \mathrm{tr}(A)X + \det(A) = X^2 - 5X - 2$ (unitaire, degré $2$ ; coefficient constant $(-1)^2(-2) = -2$). - Valeurs propres : racines $X^2 - 5X - 2 = 0$, soit $\lambda_\pm = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$, deux réels distincts : $m_a = 1$ et $m_g = 1$ pour chacune, $A$ est diagonalisable. - Cayley-Hamilton : $A^2 - 5A - 2I_2 = 0$, ce qu'on vérifie par le calcul ($A^2 = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix}$). - Inverse : $A^{-1} = \frac{5I_2 - A}{2} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3/2 & 1/2 \end{pmatrix}$, et $A \cdot A^{-1} = I_2$.

#### 1. Définition de la diagonalisabilité d'un endomorphisme Soit $u \in \mathcal{L}(E)$, avec $\dim E = n < +\infty$. On dit que $u$ est **diagonalisable** s'il existe une **base de $E$ constituée de vecteurs propres** de $u$. Dans une telle base, la matrice de $u$ est diagonale, les coefficients diagonaux étant les valeurs propres (chacune répétée $\dim E_\lambda$ fois). - Équivalent : $u$ est semblable à une matrice diagonale, i.e. il existe une base $\mathcal{B}$ telle que $\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u)$ soit diagonale. - Exemples : l'identité, les homothéties, les **projecteurs** ($u^2 = u$, toujours diagonalisables), les **symétries** ($u^2 = \mathrm{Id}$). Un endomorphisme **nilpotent non nul** n'est pas diagonalisable. #### 2. Définition pour une matrice carrée, application au calcul des puissances $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est **diagonalisable** s'il existe $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ et une matrice diagonale $D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ telles que $$A = P D P^{-1}.$$ Les colonnes de $P$ sont des vecteurs propres de $A$, et les $\lambda_i$ les valeurs propres associées. **Application — calcul des puissances** : comme $D^k = \mathrm{diag}(\lambda_1^k, \ldots, \lambda_n^k)$, $$A^k = P D^k P^{-1} = P\,\mathrm{diag}(\lambda_1^k, \ldots, \lambda_n^k)\,P^{-1}.$$ Le calcul de $A^k$ se ramène à $n$ puissances scalaires. Plus généralement, pour tout polynôme $Q$, $Q(A) = P\,\mathrm{diag}(Q(\lambda_1), \ldots, Q(\lambda_n))\,P^{-1}$ (calcul fonctionnel). #### 3. Diagonalisabilité et sous-espaces propres **Théorème** : $u$ est diagonalisable si et seulement si $$E = \bigoplus_{\lambda \in \mathrm{Sp}(u)} E_\lambda(u),$$ c'est-à-dire si et seulement si la somme des sous-espaces propres est directe et vaut $E$ tout entier. De façon équivalente : $$\sum_{\lambda \in \mathrm{Sp}(u)} \dim E_\lambda(u) = n = \dim E.$$ **Méthode** : on calcule $\chi_u$, on détermine $\mathrm{Sp}(u)$, puis on vérifie que $\dim E_\lambda = m_a(\lambda)$ pour chaque valeur propre (la dimension du sous-espace propre se calcule comme $n - \mathrm{rg}(u - \lambda\,\mathrm{Id}_E)$). Cas particulier important : si $u$ possède $n$ **valeurs propres deux à deux distinctes**, alors $u$ est automatiquement diagonalisable (chaque $\dim E_\lambda \geq 1 = m_a(\lambda)$). #### 4. Diagonalisabilité et polynôme caractéristique - **Condition nécessaire** : $\chi_u$ doit être **scindé sur $\mathbb{K}$**. S'il a une racine hors de $\mathbb{K}$ (exemple : $X^2 + 1$ sur $\mathbb{R}$), $u$ n'est pas diagonalisable sur $\mathbb{K}$ (il peut l'être sur une extension, par exemple $\mathbb{C}$). - **Cas 1 — racines simples** : si $\chi_u$ est scindé et **à racines simples** (n racines distinctes), alors $u$ est diagonalisable. - **Cas 2 — racines multiples** : $\chi_u$ scindé ne suffit pas ; il faut en plus l'égalité $\dim E_\lambda = m_a(\lambda)$ pour chaque $\lambda$. Contre-exemple : $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ a pour polynôme caractéristique $(X-1)^2$ (scindé), mais $\dim E_1 = 1 < 2 = m_a(1)$ : $A$ n'est pas diagonalisable. - **Lien avec les polynômes annulateurs** : $u$ est diagonalisable si et seulement s'il possède un polynôme annulateur **scindé à racines simples** (exemple : un projecteur vérifie $X^2 - X = X(X-1)$). #### 5. Exemple récapitulatif Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$. - $\chi_A(X) = (X-2)(X-3)$ : scindé à racines simples $\{2, 3\}$ → $A$ est diagonalisable. - Sous-espaces propres : $E_2 = \ker(A - 2I_2) = \ker\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ et $E_3 = \ker(A - 3I_2) = \ker\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. On a bien $E_2 \oplus E_3 = \mathbb{R}^2$ et $\dim E_2 + \dim E_3 = 1 + 1 = 2$. - Avec $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (colonnes $= $ vecteurs propres), $A = P\,\mathrm{diag}(2, 3)\,P^{-1}$ et $P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. - Puissances : $A^k = P\,\mathrm{diag}(2^k, 3^k)\,P^{-1} = \begin{pmatrix} 2^k & 3^k - 2^k \\ 0 & 3^k \end{pmatrix}$, ce qui donne bien $A$ pour $k = 1$.

#### 1. Caractérisation par un polynôme annulateur scindé à racines simples **Théorème** : $u \in \mathcal{L}(E)$ (avec $\dim E < +\infty$) est **diagonalisable si et seulement si** il existe un polynôme annulateur de $u$ qui est **scindé sur $\mathbb{K}$ et à racines simples**. - *Sens direct* : si $u$ est diagonalisable et $\mathrm{Sp}(u) = \{\lambda_1, \ldots, \lambda_r\}$, alors $P(X) = \prod_{i=1}^{r}(X - \lambda_i)$ est annulateur : sur chaque $E_{\lambda_i}$, le facteur $(u - \lambda_i\,\mathrm{Id}_E)$ s'annule, et les facteurs commutent entre eux. - *Réciproque* : si $P(u) = 0$ avec $P = \prod_{i=1}^{r}(X - \lambda_i)$ et $\lambda_i$ distincts, le lemme de décomposition des noyaux (voir §2) donne $E = \bigoplus_{i=1}^{r} \ker(u - \lambda_i\,\mathrm{Id}_E) = \bigoplus_{i=1}^{r} E_{\lambda_i}$, donc $u$ est diagonalisable. - Exemples : un **projecteur** ($u^2 = u$) admet $X^2 - X = X(X-1)$, scindé à racines simples ; une **symétrie** ($u^2 = \mathrm{Id}$) admet $(X-1)(X+1)$ ; un endomorphisme nilpotent non nul n'admet que des annulateurs à racine $0$ multiple (comme $X^r$), donc n'est pas diagonalisable. #### 2. Lemme de décomposition des noyaux **Lemme** : soient $P_1, \ldots, P_r \in \mathbb{K}[X]$ **premiers entre eux deux à deux** et $P = P_1 \cdots P_r$. Alors $$\ker P(u) = \bigoplus_{i=1}^{r} \ker P_i(u).$$ *Idée de preuve* : pour chaque $i$, les polynômes $P_i$ et $\prod_{j \neq i} P_j$ sont premiers entre eux ; par Bézout, il existe $U_i, V_i$ tels que $U_i P_i + V_i \prod_{j \neq i} P_j = 1$, d'où un projecteur $p_i = \big(V_i \prod_{j \neq i} P_j\big)(u)$ sur $\ker P_i(u)$, et la somme est directe. Application fondamentale : avec $P_i = X - \lambda_i$, on retrouve la décomposition en sous-espaces propres de la section 1. Le lemme sert aussi à décomposer $E$ selon les facteurs du polynôme minimal (décomposition de Dunford). #### 3. Endomorphisme induit sur un sous-espace stable Si $F$ est un sous-espace **stable** par $u$, l'endomorphisme **induit** $u_{|F} : F \to F$ est bien défini. **Si $u$ est diagonalisable, alors $u_{|F}$ est diagonalisable pour tout sous-espace stable $F$.** *Preuve* : tout polynôme annulateur de $u$ annule aussi $u_{|F}$ ; en particulier $u_{|F}$ admet le polynôme scindé à racines simples de la section 1, donc est diagonalisable par la même caractérisation. Conséquences : les sous-espaces propres $E_\lambda$, les noyaux $\ker P(u)$ et les images $\mathrm{Im}\,P(u)$ sont stables par $u$ ; les endomorphismes induits correspondants sont donc diagonalisables. #### 4. Caractérisation par le produit $\prod_{\lambda \in \mathrm{Sp}(u)}(X - \lambda)$ **Théorème** : $u$ est diagonalisable si et seulement si le polynôme $$P_u(X) = \prod_{\lambda \in \mathrm{Sp}(u)} (X - \lambda),$$ produit des $(X - \lambda)$ pour $\lambda$ parcourant le **spectre** de $u$ (chaque valeur propre avec l'exposant $1$), est un **polynôme annulateur** de $u$. C'est le cas particulier « minimal » de la section 1 : $P_u$ est scindé à racines simples par construction, et c'est le plus petit candidat possible (on ne peut pas retirer de facteur sans perdre une valeur propre). De façon équivalente : $$u \text{ diagonalisable} \iff \text{le polynôme minimal } \pi_u \text{ est scindé à racines simples}.$$ À comparer avec le polynôme caractéristique $\chi_u = \prod_{\lambda}(X - \lambda)^{m_a(\lambda)}$ : la diagonalisabilité exige que les **exposants** $m_a(\lambda)$ retombent à $1$ dans $\pi_u$ (ou, de façon équivalente, que $\dim E_\lambda = m_a(\lambda)$ pour tout $\lambda$). #### 5. Exemple récapitulatif - $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ : $\chi_A(X) = (X-1)(X-2)$ ; par Cayley-Hamilton, $(A - I_2)(A - 2I_2) = 0$, ce qu'on vérifie directement : $(A - I_2)(A - 2I_2) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0$. Le polynôme $(X-1)(X-2)$ est scindé à racines simples et annulateur : $A$ est diagonalisable, avec $E = \ker(A - I_2) \oplus \ker(A - 2I_2)$ (lemme des noyaux). - $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ : $\chi_A = (X-1)^2$ ; le polynôme minimal est $(X-1)^2$, qui n'est pas à racines simples : le produit $P_u(X) = X - 1$ (spectre $\{1\}$) n'est pas annulateur (car $A - I_2 \neq 0$), donc $A$ **n'est pas diagonalisable**. - **Projecteur** : $p^2 = p$, donc $P(X) = X(X-1)$ est annulateur et $E = \ker p \oplus \ker(p - \mathrm{Id}_E) = \ker p \oplus \mathrm{Im}\,p$ : $p$ est diagonalisable, et la restriction de $p$ à tout sous-espace stable (par exemple $\ker p$) reste diagonalisable.

#### 1. Définition Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ avec $\dim E = n$. On dit que $u$ est **trigonalisable** s'il existe une base $\mathcal{B}$ de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est **triangulaire supérieure** : $$\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u) = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & * \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n \end{pmatrix}.$$ Les coefficients diagonaux $\lambda_i$ sont alors les **valeurs propres** de $u$, chacune répétée $m_a(\lambda)$ fois. Tout endomorphisme diagonalisable est trigonalisable (une matrice diagonale est triangulaire) ; la réciproque est fausse (voir §4). Pour une matrice : $A$ est trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure. #### 2. Trace et déterminant Si $u$ est trigonalisable et que $T = \mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u)$ est triangulaire de diagonale $(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$, alors $$\mathrm{tr}(u) = \mathrm{tr}(T) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \quad\text{et}\quad \det(u) = \det(T) = \prod_{i=1}^{n} \lambda_i.$$ La trace (resp. le déterminant) vaut donc la **somme** (resp. le **produit**) des valeurs propres comptées avec leur multiplicité. Comme la trace et le déterminant sont des invariants de similitude, ces formules restent vraies dans n'importe quelle base, et coïncident avec les coefficients du polynôme caractéristique (voir §4). Plus généralement, $\mathrm{tr}(u^k) = \sum_i \lambda_i^k$, car $u^k$ est semblable à $T^k$, triangulaire de diagonale $(\lambda_1^k, \ldots, \lambda_n^k)$. #### 3. Application aux matrices carrées Les résultats se transposent aux matrices : $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est trigonalisable s'il existe $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ et une matrice triangulaire supérieure $T$ telles que $A = P T P^{-1}$. Concrètement, même lorsque $A$ n'est pas diagonalisable mais seulement trigonalisable (exemple : un bloc de Jordan $\begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}$), on peut encore : - **calculer les puissances** : $A^k = P\,T^k\,P^{-1}$, où $T^k$ est triangulaire supérieure et se calcule aisément (par exemple en écrivant $T = \lambda I_n + N$ avec $N$ nilpotent et en développant par le binôme) ; - **lire la trace et le déterminant** sur la diagonale ; - **retrouver le polynôme caractéristique** comme $\prod_i (X - \lambda_i)$. #### 4. Équivalence trigonalisable et polynôme caractéristique scindé **Théorème** : $u$ (ou $A$) est trigonalisable sur $\mathbb{K}$ **si et seulement si** son polynôme caractéristique est **scindé sur $\mathbb{K}$** : $$\chi_u(X) = \prod_{i=1}^{n}(X - \lambda_i), \quad \lambda_i \in \mathbb{K}.$$ *Idée de preuve* : - *Sens direct* : si $u$ est représenté par une matrice triangulaire $T$ de diagonale $(\lambda_i)$, alors $\chi_u = \det(XI_n - T) = \prod_i (X - \lambda_i)$, qui est scindé. - *Réciproque* : par récurrence sur $n$. $\chi_u$ scindé admet une racine $\lambda_1$, donc un vecteur propre $e_1$ ; on complète en une base dans laquelle la matrice est $\begin{pmatrix} \lambda_1 & * \\ 0 & B \end{pmatrix}$, avec $\chi_B$ lui-même scindé, et on conclut par hypothèse de récurrence. Conséquence : $u$ est **diagonalisable** si et seulement s'il est **trigonalisable** et $\dim E_\lambda = m_a(\lambda)$ pour toute valeur propre $\lambda$. #### 5. Cas de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ Le corps $\mathbb{C}$ est **algébriquement clos** (théorème de d'Alembert-Gauss) : tout polynôme de $\mathbb{C}[X]$ est scindé. Par le théorème de la section 4, **toute matrice (ou tout endomorphisme) sur $\mathbb{C}$ est trigonalisable**. C'est ce qui garantit sur $\mathbb{C}$ les résultats généraux : trace = somme des valeurs propres, déterminant = produit des valeurs propres, $\mathrm{tr}(u^k) = \sum \lambda_i^k$, la décomposition de Dunford ($u = d + n$ avec $d$ diagonalisable et $n$ nilpotent qui commutent) et, en affinant, la réduction de Jordan. *Contraste* : sur $\mathbb{R}$, une matrice peut ne pas être trigonalisable (la rotation $R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ a pour polynôme caractéristique $X^2 + 1$, non scindé sur $\mathbb{R}$), alors qu'elle l'est sur $\mathbb{C}$. #### 6. Exemple récapitulatif - $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ est déjà triangulaire supérieure : elle est trigonalisable, $\chi_A = (X-2)^2$ est scindé, $\mathrm{tr}(A) = 4 = 2 + 2$ et $\det(A) = 4 = 2 \times 2$. Elle n'est pas diagonalisable car $\dim E_2 = 1 < 2$. - $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ (bloc de Jordan) : trigonalisable sur $\mathbb{C}$ (et sur $\mathbb{R}$), $\chi_A = (X-1)^3$, $\mathrm{tr}(A) = 3$, $\det(A) = 1$. - $R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ : $\chi_R = X^2 + 1$ n'est pas scindé sur $\mathbb{R}$, donc $R$ n'est **pas trigonalisable sur $\mathbb{R}$**, mais elle l'est sur $\mathbb{C}$ (diagonalisable, valeurs propres $\pm i$).

#### 1. Une isométrie conserve la norme Soit $E$ un espace euclidien (espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$). Un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ est une **isométrie vectorielle** (ou endomorphisme orthogonal) si elle **conserve la norme** : $$\|u(x)\| = \|x\| \quad \text{pour tout } x \in E.$$ Elle conserve aussi les distances : $\|u(x) - u(y)\| = \|x - y\|$. Une isométrie est **injective** ($u(x) = 0 \Rightarrow \|x\| = 0 \Rightarrow x = 0$), donc **bijective** en dimension finie ; en particulier $u^{-1}$ est aussi une isométrie. #### 2. Exemples : symétries, réflexions, rotations - **Symétrie orthogonale** par rapport à un sous-espace $F$ : $s_{|F} = \mathrm{Id}_F$ et $s_{|F^\perp} = -\mathrm{Id}_{F^\perp}$. C'est une isométrie. - **Réflexion** : symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan $H$, $s_H(x) = x - 2\,\dfrac{\langle x, n \rangle}{\|n\|^2}\,n$ où $n$ est un vecteur normal à $H$ ; c'est une isométrie de déterminant $-1$. - **Rotations du plan** : matrices $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$, isométries de déterminant $+1$ ; l'identité et la symétrie centrale $-\mathrm{Id}$ en sont des cas particuliers. - Dans $\mathbb{R}^3$ : rotations d'axe une droite, réflexions par rapport à un plan, symétries orthogonales, retournements. #### 3. Une isométrie conserve le produit scalaire $u$ est une isométrie si et seulement si $$\langle u(x), u(y) \rangle = \langle x, y \rangle \quad \text{pour tous } x, y \in E.$$ Cela découle de la **formule de polarisation** $\langle x, y \rangle = \frac{1}{4}\big(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2\big)$, qui exprime le produit scalaire à partir de la norme. En particulier, une isométrie **conserve l'orthogonalité** : $x \perp y \Rightarrow u(x) \perp u(y)$. #### 4. Image d'une base orthonormée par une isométrie **Théorème** : $u$ est une isométrie si et seulement si l'image par $u$ de **toute** base orthonormée est une base orthonormée. Traduction matricielle : si $\mathcal{B}$ est une base orthonormée et $A = \mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u)$, alors $u$ est une isométrie si et seulement si **les colonnes de $A$ forment une famille orthonormée**, ce qui équivaut à $$A^{\mathsf{T}} A = I_n \iff A^{-1} = A^{\mathsf{T}} \iff A A^{\mathsf{T}} = I_n.$$ De telles matrices sont dites **orthogonales** : leurs colonnes (et leurs lignes) sont orthonormées. #### 5. Le groupe orthogonal L'ensemble des isométries vectorielles de $E$ est un **groupe pour la composition**, noté $\mathrm{O}(E)$ : sous-groupe de $\mathrm{GL}(E)$. En matrices (dans une base orthonormée), $$\mathrm{O}(n) = \{A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mid A^{\mathsf{T}}A = I_n\}.$$ - **Déterminant** : pour $A \in \mathrm{O}(n)$, $\det(A)^2 = \det(A^{\mathsf{T}})\det(A) = \det(A^{\mathsf{T}}A) = 1$, donc $\det(A) = \pm 1$ : une isométrie préserve les volumes en valeur absolue. - Le sous-ensemble $\mathrm{SO}(E) = \{u \in \mathrm{O}(E) \mid \det u = 1\}$ (matrices : $\mathrm{SO}(n)$) est le **groupe spécial orthogonal** (rotations), sous-groupe distingué d'indice $2$ de $\mathrm{O}(E)$. #### 6. Notation $\mathrm{O}(E)$ - $\mathrm{O}(E)$ désigne le groupe orthogonal de l'espace euclidien $E$ ; on écrit $\mathrm{O}(n)$ ou $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ pour la version matricielle, et $\mathrm{SO}(E)$ / $\mathrm{SO}(n)$ pour le sous-groupe de déterminant $1$. - **Attention** : $\mathrm{O}(E)$ dépend du produit scalaire choisi sur $E$ : deux produits scalaires différents définissent deux groupes orthogonaux différents. - Toute isométrie de $E$ est un automorphisme : $\mathrm{O}(E) \subset \mathrm{GL}(E)$, et $|\det u| = 1$ pour tout $u \in \mathrm{O}(E)$. #### 7. Stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace stable **Théorème** : si $F$ est un sous-espace **stable** par une isométrie $u$, alors $F^\perp$ est aussi stable par $u$. *Preuve* : soit $y \in F^\perp$ et $x \in F$. Comme $u$ est bijective et $F$ stable, $u(F) \subset F$ et $\dim u(F) = \dim F$, donc $u(F) = F$ : il existe $x' \in F$ avec $x = u(x')$. Alors $$\langle u(y), x \rangle = \langle u(y), u(x') \rangle = \langle y, x' \rangle = 0,$$ d'où $u(y) \in F^\perp$. Conséquence : $E = F \oplus F^\perp$ avec $F$ et $F^\perp$ stables : dans une base adaptée, la matrice de $u$ est diagonale par blocs $\begin{pmatrix} A_F & 0 \\ 0 & A_{F^\perp} \end{pmatrix}$ avec $A_F \in \mathrm{O}(F)$ et $A_{F^\perp} \in \mathrm{O}(F^\perp)$. C'est le point de départ de la réduction des isométries (classification des rotations de $\mathbb{R}^3$, réduction en blocs de rotation/réflexion). #### 8. Exemple récapitulatif - **Réflexion d'axe la droite $y = x$** dans $\mathbb{R}^2$ : $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. On vérifie $A^{\mathsf{T}}A = I_2$ et $\det A = -1$ : c'est une isométrie ; l'image de la base canonique, $(e_2, e_1)$, est bien une base orthonormée. - **Rotation** $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ : $R_\theta^{\mathsf{T}}R_\theta = I_2$, $\det R_\theta = 1$, $R_\theta^{-1} = R_{-\theta} = R_\theta^{\mathsf{T}}$. - **Stabilité de l'orthogonal** : pour la rotation de $\mathbb{R}^3$ d'axe $Oz$ (angle $\theta$), le plan $F = \mathrm{Vect}(e_1, e_2)$ est stable, et l'axe $F^\perp = \mathrm{Vect}(e_3)$ est lui aussi stable (les vecteurs de l'axe sont fixes) : la matrice est $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

#### 1. Définition et interprétation en colonnes et lignes Une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est **orthogonale** si $$A^{\mathsf{T}} A = I_n \iff A^{-1} = A^{\mathsf{T}} \iff A A^{\mathsf{T}} = I_n.$$ - **Interprétation en colonnes** : $A^{\mathsf{T}}A = I_n$ signifie que les colonnes $C_1, \ldots, C_n$ de $A$ vérifient $C_i \cdot C_j = \delta_{ij}$ (produit scalaire canonique de $\mathbb{R}^n$) : les colonnes forment une **famille orthonormée**, donc une base orthonormée. - **Interprétation en lignes** : $AA^{\mathsf{T}} = I_n$ signifie de même que les **lignes** de $A$ forment une base orthonormée. - Exemples : $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, et plus généralement toute matrice de permutation. #### 2. Caractérisation comme matrice de changement de base orthonormée **Théorème** : une matrice $P$ est orthogonale si et seulement si c'est la **matrice de passage** d'une base orthonormée à une autre base orthonormée. En effet, les colonnes de $P$ sont les coordonnées dans $\mathcal{B}$ des vecteurs de $\mathcal{B}'$ ; elles forment une base orthonormée ssi $\mathcal{B}'$ est orthonormée, ssi $P^{\mathsf{T}}P = I_n$. Conséquence : si $G$ est la matrice de Gram d'une famille de vecteurs, elle se transforme en $G' = P^{\mathsf{T}} G P$ lors d'un changement de base orthonormée — et $G' = G$ lorsque la famille est elle-même orthonormée. #### 3. Caractérisation d'une isométrie par sa matrice dans une base orthonormée **Théorème** : soit $\mathcal{B}$ une base orthonormée de $E$ et $A = \mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u)$. Alors $u$ est une **isométrie vectorielle** si et seulement si $A$ est **orthogonale**. Cela découle de la section 1 : $u$ conserve le produit scalaire ssi l'image de la base orthonormée $\mathcal{B}$ est une base orthonormée, ssi les colonnes de $A$ sont orthonormées. Ainsi, dans une base orthonormée, les isométries et les matrices orthogonales sont les deux faces d'une même notion. #### 4. Terminologie - **Automorphisme orthogonal** / **isométrie vectorielle** / **endomorphisme orthogonal** : endomorphisme $u$ d'un espace euclidien qui conserve la norme (ou, de façon équivalente, le produit scalaire) : $\langle u(x), u(y) \rangle = \langle x, y \rangle$ pour tous $x, y$. - En dimension finie, un tel endomorphisme est automatiquement **bijectif** (isométrie injective). - Version matricielle : **matrice orthogonale** (section 1). La terminologie « automorphisme » insiste sur le fait que $u \in \mathrm{GL}(E)$. #### 5. Groupe orthogonal L'ensemble des matrices orthogonales est un groupe pour le produit matriciel, noté $$\mathrm{O}(n) = \{A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mid A^{\mathsf{T}}A = I_n\},$$ aussi noté $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ ; c'est un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$. Stabilité : si $A, B \in \mathrm{O}(n)$, alors $(AB)^{\mathsf{T}}(AB) = B^{\mathsf{T}}A^{\mathsf{T}}AB = I_n$, et $A^{-1} = A^{\mathsf{T}} \in \mathrm{O}(n)$. Côté endomorphismes, le groupe correspondant est $\mathrm{O}(E)$, isomorphe à $\mathrm{O}(n)$ par le choix d'une base orthonormée. #### 6. Déterminant d'une matrice orthogonale Pour $A \in \mathrm{O}(n)$, $$\det(A)^2 = \det(A^{\mathsf{T}})\det(A) = \det(A^{\mathsf{T}}A) = \det(I_n) = 1,$$ donc $\det(A) = \pm 1$. L'application $\det : \mathrm{O}(n) \to \{-1, 1\}$ est un morphisme de groupes. Interprétation géométrique : $|\det A| = 1$ : une matrice orthogonale **conserve les volumes** (au signe près). #### 7. Groupe spécial orthogonal Le **groupe spécial orthogonal** est $$\mathrm{SO}(n) = \{A \in \mathrm{O}(n) \mid \det A = 1\},$$ aussi noté $\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$ (version endomorphismes : $\mathrm{SO}(E)$). C'est un **sous-groupe distingué** de $\mathrm{O}(n)$, d'indice $2$ : c'est le noyau du morphisme $\det$. Ses éléments sont les isométries **directes** (rotations) ; les éléments de $\mathrm{O}(n) \setminus \mathrm{SO}(n)$, de déterminant $-1$, sont les isométries **inverses** (réflexions, etc.). #### 8. Orientation et bases orthonormées directes Un espace euclidien **orienté** est muni d'une orientation, c'est-à-dire d'un choix de classe d'équivalence de bases (deux bases ont même orientation si le déterminant de leur matrice de passage est $> 0$). Une base orthonormée est **directe** si sa matrice de passage avec la base orthonormée de référence a un déterminant $+1$ ; sinon elle est **rétrograde** (ou indirecte). - Si $P \in \mathrm{O}(n)$ est la matrice de passage d'une base orthonormée $\mathcal{B}$ à une base orthonormée $\mathcal{B}'$ : $\det P = +1$ signifie que $\mathcal{B}'$ a la même orientation que $\mathcal{B}$ ; $\det P = -1$ qu'elle l'inverse. - Ainsi $\mathrm{SO}(n)$ est le groupe des **isométries préservant l'orientation** (rotations), et les éléments de déterminant $-1$ (réflexions) la renversent. Dans $\mathbb{R}^2$ : rotation $\leftrightarrow$ directe, réflexion $\leftrightarrow$ rétrograde ; dans $\mathbb{R}^3$, une base orthonormée directe suit la règle de la main droite. #### 9. Exemple récapitulatif - $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ : $A^{\mathsf{T}}A = I_2$, $\det A = 1$ : $A \in \mathrm{SO}(2)$, c'est la rotation d'angle $\pi/2$, qui envoie la base canonique (directe) sur la base orthonormée directe $(e_2, -e_1)$. - $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ : $B^{\mathsf{T}}B = I_2$, $\det B = -1$ : $B \in \mathrm{O}(2) \setminus \mathrm{SO}(2)$, réflexion d'axe $(Ox)$, qui **renverse l'orientation** (la base image $(e_1, -e_2)$ est rétrograde). - Matrice de passage $P_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ : orthogonale de déterminant $1$, c'est la matrice de passage entre deux bases orthonormées directes faisant l'angle $\theta$.

#### 1. Description des matrices de $\mathrm{O}_2(\mathbb{R})$ et $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ Soit $P$ un plan euclidien et $\mathcal{B}$ une base orthonormée. Les isométries de $P$ ont pour matrices les éléments de $$\mathrm{O}_2(\mathbb{R}) = \{A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \mid A^{\mathsf{T}}A = I_2\},$$ et on obtient la description complète : $$\mathrm{O}_2(\mathbb{R}) = \left\{ \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \;\middle|\; \theta \in \mathbb{R} \right\} \;\cup\; \left\{ \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix} \;\middle|\; \theta \in \mathbb{R} \right\}.$$ - Les matrices du **premier type** ont pour déterminant $1$ : elles forment $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R}) = \{A \in \mathrm{O}_2(\mathbb{R}) \mid \det A = 1\}$ — ce sont les matrices de rotations. - Les matrices du **second type** ont pour déterminant $-1$ (symétries orthogonales, réflexions). - *Idée de preuve* : les colonnes d'une matrice orthogonale forment une base orthonormée $(c_1, c_2)$ ; la deuxième colonne est $c_2 = \pm(-\sin\theta, \cos\theta)$ où $(\cos\theta, \sin\theta) = c_1$. #### 2. Commutativité de $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ Le groupe $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R}) = \{R_\theta \mid \theta \in \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}\}$ est **commutatif** : pour tous $\theta, \varphi$, $$R_\theta R_\varphi = R_{\theta + \varphi} = R_\varphi R_\theta,$$ et $R_\theta^{-1} = R_{-\theta}$. L'application $\theta \mapsto R_\theta$ est un **isomorphisme de groupes** de $(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}, +)$ sur $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$. *Attention* : $\mathrm{O}_2(\mathbb{R})$ tout entier n'est **pas** commutatif (une rotation et une réflexion ne commutent pas en général) ; seule la partie de déterminant $1$ l'est. #### 3. Rotation vectorielle d'un plan euclidien orienté, mesure d'un angle orienté Un plan euclidien **orienté** est muni d'un choix d'orientation (une base orthonormée directe de référence). Une **rotation vectorielle** de $P$ est une isométrie de déterminant $+1$ : $u \in \mathrm{SO}(P)$. Dans toute base orthonormée **directe**, sa matrice est $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ ; l'angle $\theta$ (modulo $2\pi$) ne dépend pas du choix de la base directe. **Mesure d'un angle orienté de vecteurs non nuls** : soient $x, y \in P \setminus \{0\}$. Il existe une **unique** rotation $r \in \mathrm{SO}(P)$ envoyant $\frac{x}{\|x\|}$ sur $\frac{y}{\|y\|}$ ; la **mesure** de l'angle orienté $(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y})$ est l'angle $\theta \in \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ de cette rotation. La mesure ne dépend que des **directions** de $x$ et $y$ (et non de leurs normes), et l'ensemble des angles orientés s'identifie à $\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$, avec l'addition : la composée de rotations d'angles $\theta$ et $\varphi$ est la rotation d'angle $\theta + \varphi$. #### 4. Classification des isométries vectorielles du plan euclidien **Théorème** : toute isométrie vectorielle d'un plan euclidien orienté $P$ est exactement l'une des deux : 1. une **rotation vectorielle** (déterminant $+1$), rotation d'angle $\theta \in \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ ; 2. une **symétrie orthogonale** (réflexion) par rapport à une droite vectorielle (déterminant $-1$). *Preuve* : soit $u$ une isométrie. Si $\det u = 1$, $u$ est une rotation (définition). Si $\det u = -1$, l'écriture de sa matrice (section 1) montre $\mathrm{tr}(u) = 0$, donc $\chi_u(X) = X^2 - 1$ : les valeurs propres $1$ et $-1$ existent dans $\mathbb{R}$, les droites propres $E_1$ et $E_{-1}$ sont orthogonales (vecteurs propres de valeurs propres distinctes d'une isométrie), et $u$ est la symétrie orthogonale par rapport à $E_1$. Remarque : toute réflexion est le produit de deux rotations, et toute rotation d'angle $\theta$ est le produit de deux réflexions d'axes faisant un angle de $\theta/2$ : $s_{D_1} \circ s_{D_2} = R_{2(\varphi_1 - \varphi_2)}$ si $D_i$ fait l'angle $\varphi_i$ avec l'axe. #### 5. Exemple récapitulatif - $R_{\pi/2}$ et $R_{\pi/3}$ commutent : $R_{\pi/2}R_{\pi/3} = R_{5\pi/6} = R_{\pi/3}R_{\pi/2}$. - La réflexion d'axe faisant l'angle $\varphi$ avec l'axe des abscisses a pour matrice (dans la base canonique) $S_\varphi = \begin{pmatrix} \cos 2\varphi & \sin 2\varphi \\ \sin 2\varphi & -\cos 2\varphi \end{pmatrix} \in \mathrm{O}_2(\mathbb{R}) \setminus \mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$. - Composée de deux réflexions : $S_{\varphi_1}S_{\varphi_2} = R_{2(\varphi_1 - \varphi_2)}$ ; par exemple $S_{\pi/4}\,S_0 = R_{\pi/2}$. - Angle orienté : dans le plan orienté canoniquement, la mesure de l'angle orienté $(\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ est $+\pi/2$, celle de $(\overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{e_1})$ est $-\pi/2$ : l'orientation choisie fixe le signe.

#### 1. Endomorphisme autoadjoint d'un espace euclidien. Notations Soit $E$ un espace euclidien (réel, de dimension finie, produit scalaire $\langle\cdot,\cdot\rangle$). Un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ est **autoadjoint** (ou symétrique) si $$\langle u(x), y \rangle = \langle x, u(y) \rangle \quad \text{pour tous } x, y \in E.$$ L'ensemble des endomorphismes autoadjoints est noté $\mathcal{S}(E)$ : c'est un **sous-espace vectoriel** de $\mathcal{L}(E)$ (stable par combinaisons linéaires). Exemples : l'identité, les symétries orthogonales, les projections orthogonales ; si $v \in \mathcal{L}(E)$, l'endomorphisme $v^{\mathsf{T}} \circ v$ (souvent noté $v^{*} \circ v$) est autoadjoint. #### 2. Caractérisation des projecteurs orthogonaux **Théorème** : un projecteur $p$ ($p^2 = p$) est **orthogonal** si et seulement s'il est **autoadjoint**. *Esquisse de preuve* : $p^2 = p$ donne $E = \ker p \oplus \mathrm{Im}\,p$. Si $p$ est autoadjoint, alors $\ker p = (\mathrm{Im}\,p^{\mathsf{T}})^{\perp} = (\mathrm{Im}\,p)^{\perp}$ (car $p^{\mathsf{T}} = p$), donc $\mathrm{Im}\,p = (\ker p)^{\perp}$ : la projection se fait orthogonalement à $\mathrm{Im}\,p$. La réciproque est immédiate dans une base orthonormée adaptée. Ainsi : $p$ projecteur orthogonal $\iff p^2 = p$ **et** $p$ autoadjoint $\iff p^2 = p$ et $\ker p \perp \mathrm{Im}\,p$. #### 3. Caractérisation par la matrice dans une base orthonormée. Terminologie **Théorème** : si $\mathcal{B}$ est une base **orthonormée** de $E$ et $A = \mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u)$, alors $$u \text{ autoadjoint} \iff A^{\mathsf{T}} = A \quad (A \text{ symétrique}).$$ *Esquisse* : en notant $X, Y$ les colonnes de coordonnées, $\langle u(x), y \rangle = X^{\mathsf{T}}A^{\mathsf{T}}Y$ et $\langle x, u(y) \rangle = X^{\mathsf{T}}AY$ ; l'égalité pour tous $X, Y$ équivaut à $A^{\mathsf{T}} = A$. **Terminologie** : un endomorphisme autoadjoint s'appelle aussi **endomorphisme symétrique**. *Attention* : l'équivalence exige une base **orthonormée** (dans une base quelconque, la matrice d'un autoadjoint n'est pas nécessairement symétrique). Les matrices symétriques réelles forment le sous-espace $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. #### 4. Théorème spectral. Forme matricielle **Théorème spectral** : tout endomorphisme autoadjoint d'un espace euclidien est **orthodiagonalisable** : il existe une **base orthonormée de vecteurs propres** de $u$. En particulier, ses valeurs propres sont **réelles** et il existe $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ réels (comptés avec multiplicité) tels que $\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u)$ soit diagonale dans une base orthonormée $\mathcal{B}$. **Forme matricielle** : pour toute matrice symétrique $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$, il existe $P \in \mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ (matrice **orthogonale**, pas seulement inversible) telle que $$P^{\mathsf{T}} A P = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n), \quad \lambda_i \in \mathbb{R}.$$ *Éléments de preuve* : les valeurs propres d'un autoadjoint sont réelles (si $u(x) = \lambda x$ avec $x \neq 0$, $\lambda = \frac{\langle u(x), x \rangle}{\|x\|^2} \in \mathbb{R}$) ; les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont **orthogonaux** ; combiné à la trigonalisation et à la stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace stable, on construit la base orthonormée de vecteurs propres. C'est l'analogue euclidien de la diagonalisation : la matrice de passage est orthogonale au lieu d'être simplement inversible. #### 5. Endomorphisme autoadjoint positif, défini positif Soit $u \in \mathcal{S}(E)$ autoadjoint. On dit que $u$ est : - **positif** si $\langle u(x), x \rangle \geq 0$ pour tout $x \in E$ (notation $u \succeq 0$) ; - **défini positif** si $\langle u(x), x \rangle > 0$ pour tout $x \neq 0$ (notation $u \succ 0$). **Caractérisation spectrale** (conséquence directe du théorème spectral) : en notant $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ les valeurs propres de $u$, $$u \text{ positif} \iff \lambda_i \geq 0 \ \forall i, \qquad u \text{ défini positif} \iff \lambda_i > 0 \ \forall i.$$ En effet, dans une base orthonormée de vecteurs propres, $\langle u(x), x \rangle = \sum_i \lambda_i x_i^2$. Exemples : une projection orthogonale est positive (valeurs propres $0$ et $1$) ; $v^{\mathsf{T}} \circ v$ est positif, et défini positif dès que $v$ est inversible. #### 6. Matrice symétrique positive, définie positive Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. On dit que $A$ est : - **positive** si $X^{\mathsf{T}} A X \geq 0$ pour tout $X \in \mathbb{R}^n$ (notation $A \succeq 0$) ; - **définie positive** si $X^{\mathsf{T}} A X > 0$ pour tout $X \neq 0$ (notation $A \succ 0$). La forme quadratique associée est $Q(X) = X^{\mathsf{T}}AX$. **Caractérisation spectrale** (forme matricielle du théorème spectral) : $$A \text{ positive} \iff \text{toutes les valeurs propres de } A \text{ sont } \geq 0,$$ $$\qquad A \text{ définie positive} \iff \text{toutes les valeurs propres sont } > 0.$$ Conséquences : une matrice symétrique définie positive est inversible et de déterminant $> 0$ ; $\mathrm{tr}(A) \geq 0$ si $A$ est positive. *Attention* : être symétrique et avoir des coefficients positifs ne suffit pas (contre-exemple : $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ a pour valeurs propres $3$ et $-1$). #### 7. Exemple récapitulatif Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \in \mathcal{S}_2(\mathbb{R})$. - $\chi_A(X) = (X-1)(X-3)$ : valeurs propres $1$ et $3$, réelles et **distinctes**. - Vecteurs propres orthonormés : $\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ (valeur propre $3$) et $\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ (valeur propre $1$). Avec $P = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \in \mathrm{O}_2(\mathbb{R})$ : $P^{\mathsf{T}} A P = \mathrm{diag}(3, 1)$ — **théorème spectral**. - $A$ est **définie positive** (valeurs propres $> 0$) : la forme quadratique $Q(X) = 2x^2 + 2xy + 2y^2$ est $> 0$ pour $X \neq 0$. - **Projecteur orthogonal** : $p$ de matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ dans la base canonique (symétrique) : $p^2 = p$, valeurs propres $1$ et $0 \geq 0$ — projecteur orthogonal **positif** non défini.

#### 1. Produit d'un nombre fini d'espaces vectoriels Soient $E_1, \ldots, E_p$ des $\mathbb{K}$-espaces vectoriels. Le **produit** $$E = E_1 \times \cdots \times E_p = \{(x_1, \ldots, x_p) \mid x_i \in E_i\}$$ est muni des lois **coordonnée par coordonnée** : $$(x_1, \ldots, x_p) + (y_1, \ldots, y_p) = (x_1 + y_1, \ldots, x_p + y_p)$$ $$\qquad \lambda (x_1, \ldots, x_p) = (\lambda x_1, \ldots, \lambda x_p).$$ C'est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel, d'élément nul $(0_{E_1}, \ldots, 0_{E_p})$. Les applications $x \mapsto x_i$ (projections) et $x_i \mapsto (0, \ldots, 0, x_i, 0, \ldots, 0)$ (injections) sont **linéaires**. **Dimension** : si les $E_i$ sont de dimension finie, alors $$\dim(E_1 \times \cdots \times E_p) = \dim E_1 + \cdots + \dim E_p,$$ et une base de $E$ est donnée par les $n_1 + \cdots + n_p$ vecteurs $(0, \ldots, 0, e^{(i)}_j, 0, \ldots, 0)$ où $(e^{(i)}_j)_{j}$ parcourt une base de $E_i$. Exemple : $\mathbb{K}^p = \mathbb{K} \times \cdots \times \mathbb{K}$ ($p$ fois), de dimension $p$. #### 2. Somme, somme directe d'une famille finie de sous-espaces Soient $F_1, \ldots, F_p$ des sous-espaces vectoriels de $E$. Leur **somme** est $$F_1 + \cdots + F_p = \{x_1 + \cdots + x_p \mid x_i \in F_i\},$$ le plus petit sous-espace vectoriel contenant tous les $F_i$. La somme est **directe** — notée $F_1 \oplus \cdots \oplus F_p$ — si tout $x \in F_1 + \cdots + F_p$ s'écrit de **manière unique** comme $x = x_1 + \cdots + x_p$ avec $x_i \in F_i$, ce qui équivaut à : $$\text{la décomposition nulle est triviale} \iff x_1 + \cdots + x_p = 0 \Rightarrow x_i = 0 \ \forall i,$$ et, en dimension quelconque pour une famille finie, à $F_i \cap \sum_{j \neq i} F_j = \{0\}$ pour **chaque** $i$. *Attention* : pour $p \geq 3$, la condition $F_i \cap F_j = \{0\}$ pour tous $i \neq j$ (somme deux à deux directe) ne suffit **pas** dans $\mathbb{R}^2$, $F_1 = \mathrm{Vect}(e_1)$, $F_2 = \mathrm{Vect}(e_2)$, $F_3 = \mathrm{Vect}(e_1 + e_2)$ sont deux à deux en somme directe mais $F_1 + F_2 + F_3 = \mathbb{R}^2$ n'est pas une somme directe ($e_1 + e_2 \in F_3$ a deux décompositions). #### 3. Bases adaptées ; décomposition par partition d'une base - **Base adaptée à un sous-espace** : toute famille libre de $F \subset E$ (de dimension finie) peut être **complétée** en une base de $E$ : si $(e_1, \ldots, e_r)$ est une base de $F$, il existe $e_{r+1}, \ldots, e_n$ tels que $(e_1, \ldots, e_r, e_{r+1}, \ldots, e_n)$ soit une base de $E$ ; alors $E = F \oplus G$ où $G = \mathrm{Vect}(e_{r+1}, \ldots, e_n)$ — **tout sous-espace de dimension finie admet un supplémentaire** (non unique en général). - **Base adaptée à une décomposition** $E = F_1 \oplus \cdots \oplus F_p$ : la **réunion** de bases des $F_i$ est une base de $E$, et réciproquement les coordonnées de tout vecteur se lisent bloc par bloc. - **Décomposition par partition d'une base** : réciproquement, si $(e_1, \ldots, e_n)$ est une base de $E$ et si on **partitionne** cette base en familles $\mathcal{B}_1, \ldots, \mathcal{B}_p$ (avec $E_i = \mathrm{Vect}(\mathcal{B}_i)$), alors $$E = E_1 \oplus \cdots \oplus E_p.$$ *Preuve* : la réunion des $E_i$ engendre $E$ (les $e_k$ sont dans leur paquet) et l'unicité de l'écriture dans la base donne l'unicité de la décomposition (somme directe). Exemple : dans $\mathbb{R}^3$, base $(e_1, e_2, e_3)$, partition $\mathcal{B}_1 = (e_1, e_2)$, $\mathcal{B}_2 = (e_3)$ : $\mathbb{R}^3 = \mathrm{Vect}(e_1, e_2) \oplus \mathrm{Vect}(e_3)$. #### 4. Majoration $\dim(F_1 + \cdots + F_p) \leq \sum \dim F_i$ **Théorème** : si $F_1, \ldots, F_p$ sont des sous-espaces de **dimension finie** de $E$ : $$\dim(F_1 + \cdots + F_p) \;\leq\; \dim F_1 + \cdots + \dim F_p,$$ avec **égalité si et seulement si la somme est directe**. *Preuve* : soit $\mathcal{B}_i$ une base de $F_i$ ; la réunion des $\mathcal{B}_i$ est une famille **génératrice** de $F_1 + \cdots + F_p$ à $\sum \dim F_i$ éléments, qui en contient donc au plus autant : d'où la majoration. De plus, cette famille génératrice est **libre** si et seulement si la somme est directe (unicité des décompositions) — auquel cas c'est une base et l'égalité des dimensions a lieu ; réciproquement, si l'égalité a lieu, la famille génératrice de cardinal $\dim(F_1 + \cdots + F_p)$ est une base, donc libre, donc la somme est directe. *Attention* : pour $p \geq 3$, l'égalité des dimensions est bien équivalente à la directitude globale, mais les conditions deux à deux ($\dim(F_i + F_j) = \dim F_i + \dim F_j$) ne suffisent pas (contre-exemple de la section 2 : $1 + 1 + 1 = 3 > 2 = \dim(F_1 + F_2 + F_3)$). #### 5. Exemple récapitulatif Dans $E = \mathbb{R}^3$ (base canonique $(e_1, e_2, e_3)$), considérons $F_1 = \mathrm{Vect}(e_1, e_2)$ (plan), $F_2 = \mathrm{Vect}(e_3)$ (droite), $F_3 = \mathrm{Vect}(e_1 + e_2)$ (droite). - $F_1 + F_2 = \mathbb{R}^3$ et $F_1 \cap F_2 = \{0\}$ : $\mathbb{R}^3 = F_1 \oplus F_2$, et $(e_1, e_2, e_3)$ est une base adaptée à cette décomposition. - $F_1 + F_2 + F_3 = \mathbb{R}^3$ : $\dim = 2 \leq \dim F_1 + \dim F_2 + \dim F_3 = 4$, sans égalité — la somme n'est **pas** directe ($e_1 + e_2 \in F_1 \cap F_3$ mais $e_1 + e_2 \neq 0$). - Dans le produit $\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ : $\dim = 3$, et les injections identifient chaque facteur à un sous-espace en somme directe : le produit et la somme directe « disent la même chose » ici.

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