Analyse

#### 1. Technique de comparaison série-intégrale Soit $f : [n_0, +\infty[ \to \mathbb{R}_+$ **positive, décroissante et continue**. Alors, pour $n \geq n_0$ : $$\int_{n_0+1}^{n+1} f(t)\,dt \;\leq\; \sum_{k=n_0+1}^{n} f(k) \;\leq\; \int_{n_0}^{n} f(t)\,dt.$$ *Preuve* : sur $[k-1, k]$, $f(t) \geq f(k)$, donc $\int_{k-1}^{k} f \geq f(k)$ ; sur $[k, k+1]$, $f(t) \leq f(k)$, donc $\int_k^{k+1} f \leq f(k)$ ; on somme ces encadrements. **Conséquence** : la série $\sum f(k)$ converge si et seulement si l'intégrale $\int f$ converge. Application : la **série de Riemann** $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$ ; pour $\alpha = 1$, $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln n \to \gamma$ (constante d'Euler). #### 2. Formule de Stirling $$n! \;\sim\; \sqrt{2\pi n}\,\left(\frac{n}{e}\right)^n \quad (n \to +\infty),$$ c'est-à-dire $\ln(n!) = n\ln n - n + \frac{1}{2}\ln(2\pi n) + o(1)$ (démonstration typique via les intégrales de Wallis, admise ici). **Utilisations** : obtenir des équivalents et des $\mathcal{O}$ pour les termes généraux, par exemple $\binom{2n}{n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$, ou étudier les séries dont le terme fait intervenir $n!$, $u^n/n!$, coefficients binomiaux, etc. #### 3. Règle de d'Alembert Soit $\sum u_n$ une série à termes **strictement positifs** telle que $\frac{u_{n+1}}{u_n} \to \ell$. - Si $\ell < 1$ : la série **converge** (absolument). - Si $\ell > 1$ : la série **diverge** (grossièrement, $u_{n+1} \geq u_n$ à partir d'un rang, le terme général ne tend pas vers $0$). - Si $\ell = 1$ : **on ne peut pas conclure** ($\sum \frac{1}{n}$ diverge, $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, avec $\ell = 1$ dans les deux cas). *Idée de preuve* (cas $\ell < 1$) : soit $q$ avec $\ell < q < 1$ ; à partir d'un rang $N$, $u_{n+1} \leq q\,u_n$, donc $u_n \leq u_N q^{n-N}$ : comparaison à une série géométrique. #### 4. Théorème spécial des séries alternées **Théorème** : soit $(u_n)$ une suite **réelle positive, décroissante, de limite nulle**. Alors la série alternée $\sum (-1)^n u_n$ **converge**. De plus, si $R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} (-1)^k u_k$ désigne le reste d'ordre $n$ : $$|R_n| \leq u_{n+1} \quad \text{et} \quad R_n \text{ est du \textbf{signe du premier terme négligé}} \ ((-1)^{n+1} u_{n+1}).$$ *Preuve* : les sommes partielles d'indices pairs et impairs encadrent $S$ ; le reste vérifie $R_n = (-1)^{n+1}(u_{n+1} - u_{n+2} + \cdots)$, la parenthèse étant positive (croissances des sommes alternées) et majorée par $u_{n+1}$. Exemple : $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ converge, de reste de signe $(-1)^{n+1}$ et $|R_n| \leq \frac{1}{n+1}$. #### 5. Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes Le **produit de Cauchy** de $\sum_{n \geq 0} a_n$ et $\sum_{n \geq 0} b_n$ est la série $\sum_{n \geq 0} c_n$ avec $c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}$. **Théorème** : si $\sum a_n$ et $\sum b_n$ sont **absolument convergentes**, alors $\sum c_n$ est **absolument convergente** et $$\sum_{n \geq 0} c_n = \left(\sum_{n \geq 0} a_n\right)\left(\sum_{n \geq 0} b_n\right).$$ *Idée de preuve* : pour les sommes partielles, $\sum_{n=0}^{N} c_n$ est la somme des $a_k b_j$ avec $k + j \leq N$ (triangle) ; par convergence absolue, les termes $\sum |a_k b_j|$ sur le carré $n, m \leq N$ tendent vers $\left(\sum|a_n|\right)\left(\sum|b_n|\right)$ (produit de sommes finies, puis passage à la limite), ce qui contrôle le passage du triangle au carré. Exemple : $\left(\sum \frac{x^n}{n!}\right)\left(\sum \frac{y^n}{n!}\right) = \sum \frac{(x+y)^n}{n!}$, d'où $e^x e^y = e^{x+y}$. #### 6. Estimation des sommes partielles et des restes (fonction monotone) Grâce à la comparaison série-intégrale, pour $f$ positive décroissante continue : - **Séries divergentes** (sommes partielles) : $\sum_{k=1}^{n} f(k) = \int_1^{n} f(t)\,dt + C + o(1)$ pour une constante $C$. Exemple : $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \ln n + \gamma + o(1)$ où $\gamma \approx 0{,}577$ est la constante d'Euler. - **Séries convergentes** (restes) : pour $f$ positive décroissante continue, $$\int_{n+1}^{+\infty} f(t)\,dt \;\leq\; R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} f(k) \;\leq\; \int_{n}^{+\infty} f(t)\,dt,$$ et on en déduit des **équivalents de restes** : pour $f(t) = \frac{1}{t^2}$, $R_n \sim \frac{1}{n}$ ; pour $f(t) = \frac{1}{t \ln^2 t}$, $R_n \sim \frac{1}{\ln n}$. Ces estimations permettent de choisir $n$ pour atteindre une précision donnée. #### 7. Transformation d'Abel **Sommation par parties** : pour des suites $(a_k)$, $(b_k)$ et $A_k = \sum_{j=0}^{k} a_j$ : $$\sum_{k=0}^{n} a_k b_k = A_n b_n + \sum_{k=0}^{n-1} A_k (b_k - b_{k+1}).$$ **Conséquences (critères d'Abel et de Dirichlet)** : la série $\sum a_n b_n$ converge si - les sommes partielles $A_n$ sont **bornées**, $b_n \to 0$ et $(b_n)$ décroît vers $0$ (**Dirichlet**) — exemple : $\sum \frac{z^n}{n}$ converge pour $|z| = 1$, $z \neq 1$, car $|\sum_{k \leq n} z^k|$ est bornée ; - $\sum a_n$ **converge** et $(b_n)$ est monotone bornée (**Abel**). **Transformation d'Abel au sens fort** : si $\sum a_n$ converge, alors $\sum a_n x^n$ converge **uniformément sur $[0, 1]$** (on écrit $a_n x^n = a_n(1-x^n)$ et on somme par parties) — clé de la continuité à gauche en $1$ de la somme d'une série entière à la frontière du disque de convergence.

#### 1. Convergence simple d'une suite de fonctions Soient $X$ un ensemble et $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions de $X$ dans $\mathbb{K}$ ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). La suite $(f_n)$ **converge simplement** vers $f$ définie sur $X$ si $$\forall x \in X, \quad f_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} f(x).$$ La convergence est ponctuelle : le rang de convergence peut **dépendre de $x$**. Exemple : $f_n(x) = \frac{x}{n}$ sur $[0, 1]$ converge uniformément vers $0$ ($\sup_{[0,1]} |f_n| = \frac{1}{n} \to 0$) ; sur $\mathbb{R}$ en revanche, la convergence n'est que simple ($\sup_{x \in \mathbb{R}} |f_n(x)| = +\infty$). Contre-exemple : $x^n$ sur $[0,1]$ converge simplement mais pas uniformément ($\sup_{[0,1]} |f_n - f| = 1$). #### 3. La convergence uniforme entraîne la convergence simple **Immédiat** : si $\sup_{x \in X} |f_n(x) - f(x)| \to 0$, alors pour chaque $x$ fixé, $|f_n(x) - f(x)| \leq \sup_{X} |f_n - f| \to 0$, donc $f_n(x) \to f(x)$. **La réciproque est fausse** : $x^n$ sur $[0, 1]$ (simple, pas uniforme). **Intérêt de la convergence uniforme** : elle **préserve la continuité** (limite uniforme de fonctions continues = continue), permet l'**interversion limite-intégrale** ($\int f_n \to \int f$ sur un segment) et, sous une hypothèse de dérivées, l'**interversion limite-dérivée**. #### 4. Norme de la convergence uniforme sur l'espace des fonctions bornées Sur $\mathcal{B}(X, \mathbb{K})$, l'espace des fonctions **bornées** de $X$ dans $\mathbb{K}$ : $$\|f\|_\infty = \sup_{x \in X} |f(x)|$$ définit une norme (la **norme de la convergence uniforme**, ou norme sup). Pour des fonctions bornées $f_n$ et $f$ : $$f_n \to f \text{ uniformément} \iff \|f_n - f\|_\infty \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0.$$ Remarque : même si chaque $f_n$ est bornée, la limite simple peut être non bornée — dans ce cas la suite n'est pas convergente dans $\mathcal{B}(X, \mathbb{K})$. L'espace $\mathcal{B}(X, \mathbb{K})$ muni de $\|\cdot\|_\infty$ est **complet** (toute suite de Cauchy y converge). #### 5. Convergence simple, uniforme, normale d'une série de fonctions Soit $\sum u_n$ une série de fonctions de $X$ dans $\mathbb{K}$, de sommes partielles $S_N = \sum_{n=0}^{N} u_n$ et de reste $R_N(x) = \sum_{n=N+1}^{+\infty} u_n(x)$ : - **convergence simple** : pour tout $x$, la série numérique $\sum u_n(x)$ converge ; on note $S(x) = \sum u_n(x)$ ; - **convergence uniforme** : $R_N \to 0$ uniformément, i.e. $\sup_{x \in X} |R_N(x)| \to 0$ (équivalent : $S_N \to S$ uniformément) ; - **convergence normale** : la série $\sum \|u_n\|_\infty$ **converge**, où $\|u_n\|_\infty = \sup_{x \in X} |u_n(x)|$. #### 6. La convergence normale entraîne la convergence uniforme **Théorème** : si $\sum u_n$ converge normalement sur $X$, alors elle converge **uniformément** (et simplement) sur $X$. *Preuve* : pour tous $x \in X$ et $N \in \mathbb{N}$, $$|R_N(x)| = \left|\sum_{n=N+1}^{+\infty} u_n(x)\right| \leq \sum_{n=N+1}^{+\infty} \|u_n\|_\infty = \sum_{n=N+1}^{+\infty} \|u_n\|_\infty \xrightarrow[N \to +\infty]{} 0$$ (reste d'une série numérique convergente, indépendant de $x$). De plus, chaque $u_n$ bornée et $\sum \|u_n\|_\infty < +\infty$ entraîne que $S = \sum u_n$ est bornée (somme absolument bornée). **Attention** : la réciproque est fausse — $\sum \frac{(-1)^n x^2}{n^2 + x^2}$ peut converger uniformément sans converger normalement ; exemple classique : $\sum \frac{(-1)^n}{n} x^n$ sur $[0,1]$ converge uniformément (Abel) mais $\sum \|u_n\|_\infty = \sum \frac{1}{n}$ diverge. #### 7. Utilisation d'une majoration uniforme pour établir la convergence normale **Critère pratique** : si l'on trouve une suite $(M_n)$ de réels positifs telle que $$|u_n(x)| \leq M_n \quad \text{pour tout } x \in X \text{ et tout } n, \qquad \text{et} \quad \sum_{n} M_n \text{ converge},$$ alors la série $\sum u_n$ **converge normalement** (donc uniformément) sur $X$ : c'est la généralisation du critère de comparaison, appelée aussi **critère de Weierstrass**. Exemples : - $\sum \frac{\sin(nx)}{n^2}$ sur $\mathbb{R}$ : $\left|\frac{\sin(nx)}{n^2}\right| \leq \frac{1}{n^2}$ et $\sum \frac{1}{n^2} < +\infty$ → convergence normale, donc uniforme, et la somme est continue sur $\mathbb{R}$ ; - $\sum \frac{x^n}{n!}$ sur tout segment $[-R, R]$ : $|u_n(x)| \leq \frac{R^n}{n!}$ et $\sum \frac{R^n}{n!} < +\infty$ (d'Alembert) → convergence normale sur tout segment ; la convergence est même normale sur $\mathbb{R}$ avec $M_n = \frac{R^n}{n!}$ fixant $R = |x|$... plus simplement, normale sur tout borné. #### 8. La convergence normale entraîne la convergence absolue en tout point **Théorème** : si $\sum u_n$ converge normalement sur $X$, alors pour **tout** $x \in X$, la série numérique $\sum u_n(x)$ est **absolument convergente** : $$\sum_{n=0}^{+\infty} |u_n(x)| \leq \sum_{n=0}^{+\infty} \|u_n\|_\infty < +\infty.$$ La convergence normale est donc le mode de convergence **le plus fort** des trois : $$\text{normale} \implies \text{uniforme} \implies \text{simple}, \qquad \text{normale} \implies \text{absolue en chaque point},$$ et les réciproques sont fausses en général. Exemple : $\sum \frac{\sin(nx)}{n^2}$ est normalement convergente, donc absolument convergente en chaque $x$, uniformément convergente, de somme continue.

#### 1. Continuité de la limite d'une suite de fonctions **Théorème** : si $(f_n)$ est une suite de fonctions **continues** sur $I$ (intervalle de $\mathbb{R}$, ou plus généralement une partie d'un espace vectoriel normé) qui converge **uniformément** vers $f$ sur $I$, alors $f$ est **continue** sur $I$. *Preuve ($\varepsilon/3$)* : soient $a \in I$ et $\varepsilon > 0$. On choisit $n$ tel que $\sup_I |f_n - f| \leq \varepsilon/3$ ; par continuité de $f_n$ en $a$, il existe $\delta > 0$ tel que $|x - a| \leq \delta \Rightarrow |f_n(x) - f_n(a)| \leq \varepsilon/3$. Alors, pour $|x - a| \leq \delta$ : $$|f(x) - f(a)| \leq |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(a)| + |f_n(a) - f(a)| \leq \varepsilon.$$ **En pratique** : la convergence uniforme sur tout $I$ est rare ; on vérifie souvent la convergence **uniforme sur tout segment** $[a, b] \subset I$ (« convergence localement uniforme »), ce qui suffit pour la continuité sur $I$ tout entier. *Exemple* : $f_n(x) = \sum_{j=0}^{n} \frac{x^j}{j!}$ converge simplement vers $e^x$ sur $\mathbb{R}$ et uniformément sur tout segment $[-A, A]$ (reste majoré par $\frac{A^{n+1}}{(n+1)!} e^A \to 0$) : la limite $e^x$ est continue sur $\mathbb{R}$. *Contre-exemple* : $f_n(x) = x^n$ sur $[0, 1]$ converge simplement vers une fonction discontinue : la convergence n'est pas uniforme. #### 2. Intégration sur un segment de la limite **Théorème** : si $(f_n)$ est une suite de fonctions **continues** sur $[a, b]$ qui converge **uniformément** vers $f$ sur $[a, b]$, alors $f$ est continue sur $[a, b]$ et $$\int_a^b f_n(t)\,dt \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_a^b f(t)\,dt,$$ c'est-à-dire qu'on peut **permuter limite et intégrale** : $\lim_n \int_a^b f_n = \int_a^b \lim_n f_n$. *Preuve* : $\left|\int_a^b f_n - \int_a^b f\right| \leq (b - a)\, \sup_{[a,b]} |f_n - f| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. **En pratique** : on vérifie la convergence uniforme sur le segment d'intégration (ou, si l'intégrale porte sur $[a, x]$, uniformément sur tout segment contenant $[a, x]$, ce qui donne la continuité de $x \mapsto \int_a^x f$). *Exemple* : $f_n(t) = \sum_{j=0}^{n} \frac{t^j}{j!} \to e^t$ uniformément sur $[0, 1]$ (reste $\leq \frac{e}{(n+1)!} \to 0$), donc $\int_0^1 f_n(t)\,dt \to \int_0^1 e^t\,dt = e - 1$, et par permutation $\sum_{j=0}^{+\infty} \frac{1}{(j+1)!\,(j+1)} = e - 1$. #### 3. Dérivabilité de la limite d'une suite de fonctions **Théorème (dérivation des limites)** : soient $I$ un intervalle et $(f_n)$ une suite de fonctions de **classe $\mathcal{C}^1$** sur $I$ telles que : 1. $(f_n)$ **converge simplement** vers $f$ sur $I$ ; 2. $(f_n')$ **converge uniformément** vers une fonction $g$ sur $I$ (en pratique : sur tout segment de $I$). Alors $f$ est de **classe $\mathcal{C}^1$** sur $I$ et $f' = g$. *Preuve* : pour $a \in I$, $f_n(x) = f_n(a) + \int_a^x f_n'(t)\,dt$ ; $(f_n')$ converge uniformément vers $g$ donc $g$ est continue, et par le théorème d'intégration $f_n(x) \to f(a) + \int_a^x g(t)\,dt$. Par unicité de la limite simple, $f(x) = f(a) + \int_a^x g(t)\,dt$, donc $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et $f' = g$. **En pratique** : on vérifie la convergence uniforme de $(f_n')$ sur tout segment de $I$. **Attention** : la convergence uniforme de $(f_n)$ seule ne suffit pas : $f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{n} \to 0$ uniformément sur $\mathbb{R}$ mais $f_n'(x) = \cos(nx)$ ne converge (nulle part) ; la limite $0$ est dérivable mais $f' \neq \lim f_n'$. *Exemple* : $f_n(x) = \sum_{j=0}^{n} \frac{x^j}{j!}$ : $f_n \to e^x$ simplement sur $\mathbb{R}$ et $f_n'(x) = f_{n-1}(x) \to e^x$ uniformément sur tout segment ; donc $(e^x)' = e^x$. #### 4. Extension aux suites de fonctions de classe $\mathcal{C}^k$ **Théorème** : soient $k \geq 1$, $(f_n)$ une suite de fonctions de classe $\mathcal{C}^k$ sur $I$ telles que : - $(f_n^{(j)})$ **converge simplement** sur $I$ (ou sur tout segment) pour $0 \leq j \leq k-1$, vers $f^{(j)}$ ; - $(f_n^{(k)})$ **converge uniformément** (sur tout segment de $I$) vers $g$. Alors $f$ est de **classe $\mathcal{C}^k$** sur $I$ et $f^{(j)} = \lim_n f_n^{(j)}$ pour $0 \leq j \leq k$ : on peut **permuter limite et dérivation** jusqu'à l'ordre $k$. *Preuve* : récurrence sur $k$ à partir du théorème de dérivation des limites appliqué à $(f_n^{(k-1)})$ (dont la dérivée $(f_n^{(k)})$ converge uniformément). *Exemple* : $f_n(x) = \sum_{j=0}^{n} \frac{x^j}{j!}$ : pour tout $k$, $f_n^{(j)} \to e^x$ simplement pour $j < k$ et $f_n^{(k)} \to e^x$ uniformément sur tout segment ; donc $e^x$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ et $(e^x)^{(k)} = e^x$ pour tout $k$. #### 5. Exemple récapitulatif Soit $f_n(x) = \sum_{j=0}^{n} \frac{x^j}{j!}$ sur $\mathbb{R}$. - **Continuité** : $f_n \to e^x$ uniformément sur tout segment (reste majoré par $\frac{A^{n+1}}{(n+1)!}e^A$ sur $[-A, A]$), donc $e^x$ est continue. - **Intégration** : $\int_0^1 f_n(t)\,dt \to \int_0^1 e^t\,dt = e - 1$, soit $\sum_{j=0}^{+\infty} \frac{1}{(j+1)! (j+1)} = e - 1$. - **Dérivation** : $f_n' = f_{n-1} \to e^x$ uniformément sur tout segment, donc $(e^x)' = e^x$. - **Classe $\mathcal{C}^k$** : par récurrence, $e^x$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ et $(e^x)^{(k)} = e^x$.

Les théorèmes ci-dessous sont les traductions des théorèmes sur les suites de fonctions aux séries : il suffit d'appliquer les résultats des sommes partielles $S_N = \sum_{n=0}^{N} f_n$ (la convergence uniforme de la série équivaut à celle de la suite $(S_N)$). #### 1. Continuité de la somme d'une série de fonctions **Théorème** : si les $f_n$ sont **continues** sur $I$ et si la série $\sum f_n$ **converge uniformément** sur $I$, alors sa somme $S = \sum_{n \geq 0} f_n$ est **continue** sur $I$. *Preuve* : les sommes partielles $S_N$ sont continues (somme finie de fonctions continues) et convergent uniformément vers $S$ ; on applique le théorème de continuité de la limite uniforme. **En pratique** : on vérifie la convergence **uniforme sur tout segment** de $I$ (souvent obtenue par une **convergence normale** sur tout segment), ce qui suffit pour la continuité sur $I$. *Exemple* : $\sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n!}$ converge normalement sur tout segment $[-A, A]$ ($\sum \frac{A^n}{n!} < +\infty$), donc sa somme $e^x$ est continue sur $\mathbb{R}$ ; $\sum \frac{\sin(nx)}{n^2}$ converge normalement sur $\mathbb{R}$, sa somme est continue. #### 2. Théorème de la double limite **Théorème** : soient $I$ un intervalle de la forme $[c, a[$ (ou $]a, c]$, ou $[c, +\infty[$), $(f_n)$ des fonctions définies sur $I$ telles que : 1. $\sum f_n$ **converge uniformément** sur $I$ ; 2. pour tout $n$, $f_n$ admet une **limite** $\ell_n$ en $a$ (borne de $I$, éventuellement infinie). Alors la série $\sum \ell_n$ **converge**, la somme $S = \sum f_n$ admet une **limite en $a$**, et $$\lim_{x \to a} \sum_{n \geq 0} f_n(x) = \sum_{n \geq 0} \lim_{x \to a} f_n(x) = \sum_{n \geq 0} \ell_n :$$ on peut **permuter la limite et la somme infinie**. *Preuve (Cauchy)* : la convergence uniforme donne $\sup_{x \in I} \left|\sum_{n=p}^{q} f_n(x)\right| \to 0$ pour $q \geq p \to +\infty$ ; en faisant tendre $x$ vers $a$ (chaque $f_n$ admet une limite), $\left|\sum_{n=p}^{q} \ell_n\right| \leq \sup_{x \in I} \left|\sum_{n=p}^{q} f_n(x)\right|$, donc $\sum \ell_n$ vérifie le critère de Cauchy. Puis un découpage en trois $\varepsilon$ conclut : $$\left|S(x) - \sum_{n \geq 0} \ell_n\right| \leq |R_N(x)| + \left|\sum_{n=0}^{N} f_n(x) - \sum_{n=0}^{N} \ell_n\right| + \sum_{n > N} |\ell_n|.$$ *Exemple* : $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^2 + x^2}$ sur $I = [0, +\infty[$ : chaque $\ell_n = 0$, convergence uniforme sur $[0, +\infty[$ (reste $\leq \sum_{n > N} \frac{1}{n^2} \to 0$), donc $\lim_{x \to +\infty} \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^2 + x^2} = 0$. *Contre-exemple montrant l'importance de l'hypothèse* : $\sum_{n \geq 0} x^n(1 - x)$ sur $[0, 1[$ : chaque $\ell_n = 0$, mais $S(x) = 1$ pour $x \in [0, 1[$, donc $\lim_{x \to 1^-} S(x) = 1 \neq 0 = \sum \ell_n$ : la convergence n'est pas uniforme sur $[0, 1[$. #### 3. Intégration de la somme d'une série de fonctions sur un segment **Théorème** : si les $f_n$ sont **continues** sur $[a, b]$ et si $\sum f_n$ **converge uniformément** sur $[a, b]$, alors $$\int_a^b \left(\sum_{n \geq 0} f_n(t)\right) dt = \sum_{n \geq 0} \left(\int_a^b f_n(t)\,dt\right),$$ la série des intégrales étant convergente : on peut **permuter l'intégrale et la somme**. *Preuve* : les sommes partielles $S_N$ convergent uniformément vers $S$ ; or $\int_a^b S_N = \sum_{n=0}^{N} \int_a^b f_n$ (linéarité), et le théorème d'intégration des limites uniformes donne $\int_a^b S_N \to \int_a^b S$. *Exemple* : $\sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{n!}$ converge uniformément sur $[0, 1]$ (normalement), donc $$\int_0^1 e^t\,dt = \sum_{n \geq 0} \int_0^1 \frac{t^n}{n!}\,dt = \sum_{n \geq 0} \frac{1}{(n+1)!\,(n+1)} = \sum_{n \geq 0} \frac{1}{(n+1)!} = e - 1.$$ #### 4. Dérivation de la somme d'une série de fonctions **Théorème (dérivation terme à terme)** : soient $I$ un intervalle et $(f_n)$ une suite de fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ telles que : 1. la série $\sum f_n$ **converge simplement** en au moins un point de $I$ (et donc partout si les sommes partielles convergent simplement sur $I$) ; 2. la série des dérivées $\sum f_n'$ **converge uniformément** (en pratique : sur tout segment de $I$). Alors la somme $S = \sum f_n$ est de **classe $\mathcal{C}^1$** sur $I$ et $$S'(x) = \sum_{n \geq 0} f_n'(x) \quad \text{pour tout } x \in I,$$ on peut **permuter la dérivation et la somme**. *Preuve* : on applique le théorème de dérivation des limites aux sommes partielles $S_N$ (qui convergent simplement vers $S$, et dont les dérivées $\sum_{n=0}^{N} f_n'$ convergent uniformément). **En pratique** : on vérifie la convergence uniforme de $\sum f_n'$ sur tout segment de $I$. **Attention** : la convergence uniforme de la série $\sum f_n$ seule ne suffit pas (cf. $\sum \frac{\sin(nx)}{n}$, qui converge simplement mais dont la somme n'est pas dérivable partout avec $\sum \cos(nx)/n$ divergent en presque tout point). *Exemple* : $\sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n!}$ : convergence simple sur $\mathbb{R}$, $\sum_{n \geq 1} \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$ converge normalement sur tout segment, donc $S'(x) = \sum_{n \geq 1} \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} = S(x)$ : on retrouve $(e^x)' = e^x$ par dérivation terme à terme. #### 5. Extension à la classe $\mathcal{C}^k$ **Théorème** : soient $k \geq 1$ et $(f_n)$ des fonctions de classe $\mathcal{C}^k$ sur $I$ telles que : - $\sum f_n^{(j)}$ **converge simplement** sur $I$ pour $0 \leq j \leq k-1$ (en particulier $\sum f_n$) ; - $\sum f_n^{(k)}$ **converge uniformément** (en pratique : sur tout segment de $I$). Alors $S = \sum f_n$ est de **classe $\mathcal{C}^k$** sur $I$ et pour $0 \leq j \leq k$ : $$S^{(j)} = \sum_{n \geq 0} f_n^{(j)}$$ (permutation de la dérivation et de la somme jusqu'à l'ordre $k$). Preuve par récurrence à partir du théorème de dérivation terme à terme appliqué à $\sum f_n^{(k-1)}$. **En pratique** : la convergence **normale sur tout segment** de $\sum f_n^{(k)}$ est le critère le plus employé (avec $\sum f_n$ simplement convergente). #### 6. Exemple récapitulatif Soit $S(x) = \sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n!}$ sur $\mathbb{R}$. - **Continuité** : convergence normale sur tout segment $[-A, A]$ ($\sum \frac{A^n}{n!} < +\infty$), donc $S$ est continue sur $\mathbb{R}$. - **Double limite** : pour étudier $\lim_{x \to +\infty}$... plutôt, sur $[0, 1]$, la convergence normale donne $\lim_{x \to 1} S(x) = \sum_{n \geq 0} \frac{1}{n!} = e$ (chaque $f_n(x) = x^n/n!$ a pour limite $\frac{1}{n!}$ en $1$ et $\sum \frac{1}{n!}$ converge : cohérent). - **Intégration** : $\int_0^1 S(t)\,dt = \sum_{n \geq 0} \frac{1}{(n+1)! (n+1)} = e - 1$. - **Dérivation** : $S'(x) = \sum_{n \geq 1} \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} = S(x)$ (dérivation terme à terme, série des dérivées normalement convergente sur tout segment) et $S(0) = 1$ : $S = \exp$. - **Classe $\mathcal{C}^k$** : pour tout $k$, $S$ est de classe $\mathcal{C}^k$ et $S^{(k)} = S$.

#### 1. Série entière de la variable réelle, de la variable complexe Une **série entière** est une série de fonctions de la forme $$\sum_{n \geq 0} a_n z^n, \qquad (a_n) \in \mathbb{K}^{\mathbb{N}},$$ où $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ (variable réelle, $z = x$) ou $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ (variable complexe). Le terme général dépend de $z$ : le comportement de la série (convergence absolue, divergence) dépend du module $|z|$ — c'est tout l'objet du rayon de convergence. #### 2. Lemme d'Abel et définition du rayon de convergence **Lemme d'Abel** : s'il existe $z_0$ tel que la suite $(a_n z_0^n)$ soit **bornée**, alors pour tout $z$ tel que $|z| < |z_0|$, la série $\sum a_n z^n$ est **absolument convergente**. *Preuve* : posons $M = \sup_n |a_n z_0^n|$ ; alors $$|a_n z^n| = |a_n z_0^n| \cdot \left|\frac{z}{z_0}\right|^n \leq M \left|\frac{z}{z_0}\right|^n,$$ et $\sum M \left|\frac{z}{z_0}\right|^n$ est une série géométrique convergente. **Définition du rayon de convergence** : $$R = \sup\{r \in \mathbb{R}_+ \mid (a_n r^n) \text{ est bornée}\} \;\in\; [0, +\infty].$$ Le lemme d'Abel montre que $\sum a_n z^n$ converge absolument pour $|z| < R$ (en prenant $z_0$ de module $r$ avec $|z| < r < R$). #### 3. Convergence absolue si $|z| < R$, divergence grossière si $|z| > R$ **Théorème** : - si $|z| < R$, la série $\sum a_n z^n$ **converge absolument** ; - si $|z| > R$, la suite $(a_n z^n)$ n'est **pas bornée** (sinon $|z|$ contredirait la définition de $R$ comme borne supérieure), donc le terme général $a_n z^n$ **ne tend pas vers $0$** : la série **diverge grossièrement** ; - sur le cercle $|z| = R$ : **tous les comportements sont possibles** (à étudier au cas par cas). Cas extrêmes : $R = +\infty$ (convergence absolue pour tout $z$) ; $R = 0$ (aucune convergence hors $z = 0$). #### 4. Intervalle ouvert et disque ouvert de convergence - **Variable complexe** : la série converge absolument sur le **disque ouvert** $\{z \in \mathbb{C} \mid |z| < R\}$ (et diverge grossièrement en dehors du disque fermé). - **Variable réelle** : la série converge absolument sur l'**intervalle ouvert de convergence** $]-R, R[$. - Aux bornes ($x = \pm R$ en variable réelle) : à étudier séparément, chaque série ayant son comportement propre. Exemples avec $R = 1$ : $\sum x^n$ diverge en $x = \pm 1$ ; $\sum \frac{x^n}{n^2}$ converge en $x = \pm 1$ ; $\sum \frac{x^n}{n}$ converge en $-1$, diverge en $+1$. #### 5. Rayon et domination / équivalence des coefficients Soient $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ de rayons $R_a$ et $R_b$ : - **si $a_n = O(b_n)$, alors $R_a \geq R_b$** : en effet, si $(b_n r^n)$ est bornée, alors $|a_n r^n| \leq C |b_n r^n|$ est bornée, donc $r \leq R_a$ pour tout $r \leq R_b$, d'où $R_b \leq R_a$ ; - **si $a_n \sim b_n$, alors $R_a = R_b$** (équivalence = domination dans les deux sens) ; - le résultat s'applique en particulier si $a_n = o(b_n)$ (ce qui donne aussi $R_a \geq R_b$). **Exemple du cours** : pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$, $$R\left(\sum_{n \geq 0} n^{\alpha} x^n\right) = 1,$$ car la suite $(n^{\alpha} r^n)$ est bornée si et seulement si $0 \leq r \leq 1$ (croissances comparées : pour $r > 1$, $r^n$ l'emporte sur $n^{\alpha}$ ; pour $r \leq 1$, $n^{\alpha} r^n \leq n^{|\alpha|}$ sur $\{n : r = 1\}$... plus précisément bornée car $n^{\alpha}$ croît polynomialement et $r^n$ décroît géométriquement quand $r < 1$). #### 6. Application de la règle de d'Alembert au calcul du rayon Si $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \to \ell$ (avec $\ell \in [0, +\infty]$), alors $$R = \frac{1}{\ell} \quad \text{(conventions : } \frac{1}{0} = +\infty, \ \frac{1}{+\infty} = 0).$$ *Preuve* : on applique d'Alembert à la série numérique $\sum |a_n|\,|z|^n$ de rapport $$\frac{|a_{n+1}|\,|z|^{n+1}}{|a_n|\,|z|^n} \to \ell\,|z| :$$ convergence si $\ell |z| < 1$ (i.e. $|z| < 1/\ell$), divergence grossière si $\ell |z| > 1$ ; d'où le rayon. Exemples : $\sum \frac{x^n}{n!}$ : $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{1}{n+1} \to 0$, donc $R = +\infty$ ; $\sum n!\, x^n$ : $\frac{a_{n+1}}{a_n} = n+1 \to +\infty$, donc $R = 0$ ; $\sum \frac{x^n}{n}$ : $\to 1$, donc $R = 1$. #### 7. Rayon de convergence de la somme et du produit de Cauchy Soient $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ de rayons $R_a$ et $R_b$ : - **Somme** $\sum (a_n + b_n) z^n$ : $R_s \geq \min(R_a, R_b)$. De plus, si $R_a \neq R_b$, alors $R_s = \min(R_a, R_b)$ (la série de plus petit rayon impose sa divergence grossière au-delà). *Attention* : si $R_a = R_b$, l'égalité peut échouer par **cancellation** : pour $a_n = 1 + 2^n$, $b_n = -2^n$ (tous deux de rayon $\frac{1}{2}$), $a_n + b_n = 1$ donne $R_s = 1 > \frac{1}{2}$. - **Produit de Cauchy** $\sum c_n z^n$ avec $c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}$ : $R_c \geq \min(R_a, R_b)$, car sur $|z| < \min(R_a, R_b)$ les deux séries convergent absolument, donc leur produit de Cauchy aussi (théorème du produit de Cauchy) ; égalité si $R_a \neq R_b$. *Exemple* : $(1 + z)(1 - z) = 1 - z^2$ : $R_a = R_b = 1$ et $R_c = 1$. #### 8. Exemple récapitulatif | Série | Coefficients | Rayon | Comportement aux bornes ($R = 1$) | |---|---|---|---| | $\sum n^{\alpha} x^n$ | $a_n = n^{\alpha}$ | $1$ | converge aux deux bornes si $\alpha < 0$, seulement en $-1$ si $-1 < \alpha < 0$... (à vérifier au cas par cas) | | $\sum \frac{x^n}{n!}$ | $\frac{1}{n!}$ | $+\infty$ | — | | $\sum n!\, x^n$ | $n!$ | $0$ | — | | $\sum \frac{x^n}{n}$ | $\frac{1}{n}$ | $1$ | converge en $-1$ (alternée), diverge en $+1$ | | $\sum \frac{x^n}{n^2}$ | $\frac{1}{n^2}$ | $1$ | converge en $\pm 1$ | Calculs de rayon par d'Alembert : $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \to \ell$ donne $R = 1/\ell$.

Dans toute la fiche, $\sum_{n \geq 0} a_n x^n$ désigne une série entière réelle de **rayon de convergence $R > 0$**, de somme $S$ définie sur l'**intervalle ouvert de convergence** $]-R, R[$. #### 1. Convergence normale sur tout segment inclus dans l'intervalle ouvert **Théorème** : pour tout segment $[a, b] \subset \,]-R, R[$, la série entière $\sum a_n x^n$ **converge normalement** sur $[a, b]$. *Preuve* : posons $r = \max(|a|, |b|) < R$ et choisissons $\rho$ tel que $r < \rho < R$. La série $\sum |a_n| \rho^n$ converge (convergence absolue dans l'intervalle ouvert), donc la suite $(a_n \rho^n)$ tend vers $0$ et est **bornée** : soit $M$ tel que $|a_n| \rho^n \leq M$. Alors, pour $x \in [a, b]$ : $$|a_n x^n| \leq \frac{M}{\rho^n}\, r^n = M \left(\frac{r}{\rho}\right)^n,$$ et $\sum M \left(\frac{r}{\rho}\right)^n$ est une série géométrique convergente ($0 \leq \frac{r}{\rho} < 1$) : d'où la convergence **normale** sur $[a, b]$, indépendante du point $x$. C'est l'outil central : toutes les propriétés de régularité ci-dessous s'en déduisent en appliquant les théorèmes sur les séries de fonctions (continuité, intégration, dérivation). #### 2. Continuité de la somme sur l'intervalle ouvert **Théorème** : la somme $S$ d'une série entière est **continue sur $]-R, R[$**. *Preuve* : les polynômes partiels $S_N(x) = \sum_{n=0}^{N} a_n x^n$ sont continus, et ils convergent **uniformément** sur tout segment $[a, b] \subset \,]-R, R[$ (convergence normale, section 1) : la limite uniforme de fonctions continues est continue. Comme tout point de $]-R, R[$ est intérieur à un tel segment, $S$ est continue en tout point de $]-R, R[$. #### 3. Primitivation d'une série entière **Théorème** : la série entière **primitivée** $$G(x) = \sum_{n \geq 0} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}$$ a le **même rayon de convergence** $R$ que $\sum a_n x^n$, et $G$ est une **primitive** de $S$ sur $]-R, R[$ : $G'(x) = S(x)$ pour tout $x \in \,]-R, R[$. La primitivation se fait **terme à terme** ($\int_0^x t^n dt = \frac{x^{n+1}}{n+1}$), et l'égalité des rayons vient du fait que multiplier les coefficients par $\frac{1}{n+1}$ ne change pas le caractère borné des suites $(a_n r^n)$ (les facteurs $n$ et $\frac{1}{n+1}$ sont « absorbés », voir §6). Conséquence : toute série entière de rayon $R > 0$ admet des primitives sur $]-R, R[$, toutes de la forme $G + c$ ; en particulier on peut intégrer terme à terme sur tout segment : $$\int_a^b S(t)\,dt = \sum_{n \geq 0} a_n \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1}.$$ #### 4. Caractère $\mathcal{C}^{\infty}$ et dérivation terme à terme **Théorème** : la somme $S$ d'une série entière de rayon $R > 0$ est de **classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $]-R, R[$**, et pour tout $k \geq 0$ : $$S^{(k)}(x) = \sum_{n \geq k} n(n-1)\cdots(n-k+1)\, a_n\, x^{n-k} = \sum_{n \geq k} \frac{n!}{(n-k)!}\, a_n\, x^{n-k},$$ la série dérivée étant elle-même une série entière de **même rayon $R$** (voir §6), normalement convergente sur tout segment de $]-R, R[$. *Preuve* : la série dérivée $\sum_{n \geq 1} n a_n x^{n-1}$ a le même rayon $R$ ; elle converge normalement sur tout segment de $]-R, R[$ (section 1) ; les polynômes partiels $S_N$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ et leurs dérivées $\sum_{n=1}^{N} n a_n x^{n-1}$ convergent uniformément sur tout segment : le théorème de dérivation des limites donne $S' = \sum n a_n x^{n-1}$ sur $]-R, R[$. La récurrence sur $k$ conclut au caractère $\mathcal{C}^{\infty}$. **Exemples** : $\sum \frac{x^n}{n!}$ de somme $\exp$ ($R = +\infty$, $S' = S$) ; $\sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ de somme $\sin$ ; $\sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ de somme $\cos$. #### 5. Coefficients et dérivées successives en 0 **Théorème (unicité des coefficients)** : si $S(x) = \sum_{n \geq 0} a_n x^n$ est de rayon $R > 0$, alors pour tout $n \geq 0$ : $$a_n = \frac{S^{(n)}(0)}{n!}.$$ *Preuve* : en évaluant la série dérivée d'ordre $k$ en $0$, tous les termes s'annulent sauf celui d'ordre $k$ : $S^{(k)}(0) = k!\, a_k$. Conséquences : - **unicité du développement en série entière** : deux séries entières de rayon $> 0$ qui coïncident sur un intervalle contenant $0$ ont les mêmes coefficients ; - la série entière de somme $S$ est nécessairement la **série de Taylor** de $S$ en $0$ ; - *attention* : une fonction de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ n'admet pas forcément un développement en série entière (l'exemple classique $x \mapsto e^{-1/x^2}$ prolongé par $0$ en $0$ a toutes ses dérivées nulles en $0$ sans être nulle) : la série de Taylor peut converger vers autre chose que la fonction. #### 6. Relation $R\left(\sum a_n x^n\right) = R\left(\sum n a_n x^n\right)$ **Théorème** : la série dérivée (et la série primitivée) d'une série entière a le **même rayon de convergence** que la série initiale : $$R\left(\sum_{n \geq 1} n\, a_n x^{n-1}\right) = R\left(\sum_{n \geq 0} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}\right) = R\left(\sum_{n \geq 0} a_n x^n\right) = R.$$ *Preuve* (pour la série dérivée) : - $R_{d} \leq R$ : si $(n a_n r^n)$ est bornée, alors $(a_n r^n) = \frac{1}{n}(n a_n r^n)$ l'est aussi, donc $r \leq R$ ; - $R_{d} \geq R$ : soit $r < R$ ; choisissons $\rho$ avec $r < \rho < R$. La suite $\left(n \left(\frac{r}{\rho}\right)^{n-1}\right)$ est bornée (croissances comparées), et $$|n\, a_n r^{n-1}| = n \left(\frac{r}{\rho}\right)^{n-1} |a_n| \rho^{n-1} \leq C\, |a_n| \rho^{n-1},$$ avec $\sum |a_n| \rho^{n-1} < +\infty$ (convergence absolue dans l'intervalle ouvert) : la suite $(n a_n r^{n-1})$ est bornée, donc $r \leq R_d$. D'où l'égalité. Même raisonnement pour la primitivation (le facteur $\frac{1}{n+1}$ est encore « absorbé »). #### 7. Exemple récapitulatif Soit $S(x) = \sum_{n \geq 1} \frac{x^n}{n}$ (rayon $R = 1$ par d'Alembert : $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{n}{n+1} \to 1$). - **Convergence normale sur tout segment** $[-r, r] \subset \,]-1, 1[$ (section 1) ; en $x = 1$, divergence (harmonique) ; en $x = -1$, convergence (série alternée) : $S(-1) = -\ln 2$. - **Somme** : sur $]-1, 1[$, $S(x) = -\ln(1 - x)$ (reconnue comme primitive de $\sum x^n = \frac{1}{1-x}$). - **Dérivation terme à terme** : $S'(x) = \sum_{n \geq 1} x^{n-1} = \frac{1}{1-x}$ sur $]-1, 1[$ (la série dérivée $\sum n x^{n-1}$ a le même rayon $1$). - **Coefficients** : $a_n = \frac{1}{n} = \frac{S^{(n)}(0)}{n!}$, donc $S^{(n)}(0) = (n-1)!$ — cohérent avec les dérivées de $-\ln(1-x)$ en $0$. - **Primitivation** : $\sum_{n \geq 1} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$ est une primitive de $S$ sur $]-1, 1[$, de rayon $1$.

#### 1. Fonction développable en série entière sur $]-r, r[$ Une fonction $f : \,]-r, r[ \to \mathbb{K}$ est **développable en série entière (DSE)** sur $]-r, r[$ s'il existe une suite $(a_n) \in \mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ telle que $$f(x) = \sum_{n \geq 0} a_n x^n \quad \text{pour tout } x \in \,]-r, r[.$$ La somme d'une série entière de rayon $\geq r$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $]-r, r[$ ; en particulier **toute fonction DSE est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$** sur $]-r, r[$, et ses coefficients vérifient nécessairement $a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$. #### 2. Série de Taylor d'une fonction de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ Pour $f$ de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ au voisinage de $0$, la **série de Taylor** de $f$ en $0$ est la série entière $$\sum_{n \geq 0} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\, x^n.$$ $f$ est développable en série entière sur $]-r, r[$ **si et seulement si** cette série a un rayon de convergence $\geq r$ **et** sa somme coïncide avec $f$ sur $]-r, r[$, c'est-à-dire si le reste de Taylor tend vers $0$. **Attention** : la classe $\mathcal{C}^{\infty}$ **ne suffit pas** : la fonction $f(x) = e^{-1/x^2}$ (prolongée par $f(0) = 0$) est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ avec $f^{(n)}(0) = 0$ pour tout $n$ : sa série de Taylor est nulle et ne redonne pas $f$. #### 3. Formule de Taylor avec reste intégral Pour $f$ de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur un voisinage de $0$ et $x$ dans ce voisinage : $$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}\, x^k + R_n(x), \qquad R_n(x) = \int_0^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}\, (x - t)^n\, dt.$$ Majoration utile : si $|f^{(n+1)}(t)| \leq M$ sur $[0, x]$, alors $$|R_n(x)| \leq \frac{M\, |x|^{n+1}}{(n+1)!}.$$ **Critère pratique de DSE** : si $\frac{|f^{(n+1)}(t)|}{(n+1)!}|x|^{n+1} \to 0$ uniformément (par exemple $|f^{(n+1)}| \leq M^{n+1}$ sur le segment), alors $R_n(x) \to 0$ et $f$ est DSE au voisinage de $0$. #### 4. Unicité du développement en série entière **Théorème** : si $f(x) = \sum a_n x^n = \sum b_n x^n$ sur $]-r, r[$ (avec $r > 0$), alors $a_n = b_n$ pour tout $n$ ; de plus $a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$. *Preuve* : les deux séries ont la même somme, donc $a_n = \frac{S^{(n)}(0)}{n!} = b_n$ (caractérisation des coefficients par les dérivées successives en $0$ d'une série entière). Conséquence : **le** DSE d'une fonction, s'il existe, est sa série de Taylor — il n'y a pas à le « deviner » autrement. #### 5. Développements des fonctions usuelles | Fonction | DSE | Domaine | |---|---|---| | $e^x$ | $\sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n!}$ | $x \in \mathbb{R}$ | | $\cos x$ | $\sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ | $x \in \mathbb{R}$ | | $\sin x$ | $\sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ | $x \in \mathbb{R}$ | | $\mathrm{ch}\, x$ | $\sum_{n \geq 0} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ | $x \in \mathbb{R}$ | | $\mathrm{sh}\, x$ | $\sum_{n \geq 0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ | $x \in \mathbb{R}$ | | $\arctan x$ | $\sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$ | $|x| \leq 1$ | | $\ln(1+x)$ | $\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n}\, x^n$ | $-1 < x \leq 1$ | | $(1+x)^{\alpha}$ | $1 + \sum_{n \geq 1} \binom{\alpha}{n} x^n$, $\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$ | $|x| < 1$ | Méthodes : formule de Taylor avec reste intégral (exp, cos, sin : reste majoré par $\frac{M^{n+1}|x|^{n+1}}{(n+1)!} \to 0$) ; dérivation/primitivation terme à terme (arctan = primitive de $\frac{1}{1+x^2} = \sum (-1)^n x^{2n}$ ; $\ln(1+x)$ = primitive de $\frac{1}{1+x} = \sum (-1)^n x^n$) ; binôme généralisé pour $(1+x)^{\alpha}$ (équation différentielle ou reste intégral). #### 6. Développement en série entière à l'aide d'une équation différentielle linéaire **Méthode** : pour développer $f$ solution d'une équation différentielle linéaire (par exemple $y' = a(x) y + b(x)$ ou $y'' + p(x) y' + q(x) y = 0$ avec $p, q$ polynomiales), on : 1. pose $y(x) = \sum_{n \geq 0} a_n x^n$ (série entière indéterminée) ; 2. écrit les équations des dérivées terme à terme (dérivation/primitivation légitimes) ; 3. **identifie les coefficients** par puissances croissantes de $x$, ce qui donne des relations de récurrence sur les $(a_n)$, les premiers coefficients étant fixés par les **conditions initiales** ; 4. détermine le rayon de convergence de la série obtenue et vérifie qu'elle satisfait l'équation. *Exemple* : $y' = y$, $y(0) = 1$. En posant $y = \sum a_n x^n$ : $\sum_{n \geq 0} (n+1) a_{n+1} x^n = \sum_{n \geq 0} a_n x^n$, d'où $(n+1) a_{n+1} = a_n$, soit $a_n = \frac{a_0}{n!} = \frac{1}{n!}$ : $y(x) = \sum \frac{x^n}{n!} = e^x$ (rayon $+\infty$ par d'Alembert). #### 7. Unicité de la solution d'un problème de Cauchy adapté **Théorème** : le **problème de Cauchy linéaire** $$y' = a(x)\, y + b(x), \qquad y(x_0) = y_0,$$ avec $a, b$ **continues** sur un intervalle $I$ contenant $x_0$, admet une **unique** solution définie sur $I$. **Utilisation dans la méthode des séries entières** : le système de récurrence sur les coefficients $(a_n)$ (issues de l'identification) détermine **tous** les $a_n$ à partir des conditions initiales ; comme le DSE obtenu converge et résout l'équation avec les bonnes conditions initiales, il est, **par unicité du problème de Cauchy**, la solution cherchée. Ainsi l'identification + unicité justifient que le DSE trouvé est bien la fonction visée (et pas une simple solution formelle). *Exemple* : $y'' + y = 0$, $y(0) = 0$, $y'(0) = 1$. Identification : $(n+2)(n+1) a_{n+2} + a_n = 0$, $a_0 = 0$, $a_1 = 1$, d'où $a_{2p} = 0$ et $a_{2p+1} = \frac{(-1)^p}{(2p+1)!}$ : $y(x) = \sum_{p \geq 0} \frac{(-1)^p x^{2p+1}}{(2p+1)!} = \sin x$ (rayon $+\infty$), et c'est l'unique solution du problème de Cauchy. #### 8. Exemple récapitulatif Développons $f(x) = \arctan x$ : $f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} = \sum_{n \geq 0} (-1)^n x^{2n}$ pour $|x| < 1$ (série géométrique). Par **primitivation terme à terme** (légitime : convergence normale sur tout segment de $]-1, 1[$) : $$\arctan x = \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}, \quad |x| < 1,$$ avec convergence en $x = \pm 1$ (séries alternées) — d'où la formule $\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots$. L'unicité du DSE garantit qu'aucun autre développement n'est possible sur $]-1, 1[$.

Dans cette fiche, $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ et $z$ désigne une variable complexe. #### 1. Continuité de la somme sur le disque ouvert de convergence **Théorème** : soit $\sum_{n \geq 0} a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R > 0$ et $S(z) = \sum_{n \geq 0} a_n z^n$ sa somme sur le **disque ouvert de convergence** $D = \{z \in \mathbb{C} \mid |z| < R\}$. Alors $S$ est **continue sur $D$**. *Preuve* : la série entière converge **normalement sur tout disque fermé** $\bar{D}_r = \{z \mid |z| \leq r\}$ avec $r < R$ : en effet, en choisissant $\rho$ avec $r < \rho < R$, la suite $(a_n \rho^n)$ est bornée (elle tend vers $0$), donc $|a_n z^n| \leq |a_n| r^n \leq M \left(\frac{r}{\rho}\right)^n$ pour $|z| \leq r$, et $\sum M \left(\frac{r}{\rho}\right)^n$ converge. La convergence normale implique la convergence uniforme sur $\bar{D}_r$, et les polynômes partiels sont continus : la somme est continue sur chaque $\bar{D}_r$, donc sur $D$ tout entier (tout point de $D$ est intérieur à un tel disque fermé). **En pratique** : pour étudier $S$ en un point $z_0 \in D$, on travaille sur un disque fermé de rayon $r$ avec $|z_0| < r < R$. #### 2. Développement de $\frac{1}{1-z}$ sur le disque unité ouvert **Théorème** : la série géométrique complexe $$\sum_{n \geq 0} z^n$$ a pour rayon de convergence $R = 1$ (d'Alembert : $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = 1$), et pour tout $z$ du **disque unité ouvert** $|z| < 1$ : $$\sum_{n \geq 0} z^n = \frac{1}{1 - z}.$$ *Preuve* : pour $N \in \mathbb{N}$, $\sum_{n=0}^{N} z^n = \frac{1 - z^{N+1}}{1 - z}$ ; si $|z| < 1$, $z^{N+1} \to 0$ (car $|z^{N+1}| = |z|^{N+1} \to 0$), d'où la limite $\frac{1}{1-z}$. Pour $|z| \geq 1$, le terme général $z^n$ ne tend pas vers $0$ (son module vaut $|z|^n \geq 1$) : la série **diverge grossièrement**. Ce développement est **unique** : c'est le DSE de $\frac{1}{1-z}$ en $0$. **Utilisations** : développer $\frac{1}{1+z} = \sum (-1)^n z^n$, $\frac{1}{1 - z^2} = \sum z^{2n}$, $\frac{z}{(1-z)^2} = \sum_{n \geq 1} n z^n$ (dérivation terme à terme), ou démontrer les développements de $\frac{1}{1+x^2}$ et de $\arctan$ en variable réelle. #### 3. Développement de $\exp(z)$ sur $\mathbb{C}$ **Théorème** : la série exponentielle complexe $$\exp(z) = \sum_{n \geq 0} \frac{z^n}{n!}$$ a un rayon de convergence **infini** (d'Alembert : $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{1}{n+1} \to 0$) : elle **converge absolument pour tout $z \in \mathbb{C}$**, et sa somme — l'**exponentielle complexe** — est **continue sur $\mathbb{C}$** (théorème de la section 1, valable sur tout disque fermé). Propriétés obtenues par les séries entières : - **Dérivation terme à terme** : $\exp'(z) = \sum_{n \geq 1} \frac{z^{n-1}}{(n-1)!} = \exp(z)$ (même rayon pour la série dérivée), et $\exp(0) = 1$ ; - **Équation fonctionnelle** : par le **produit de Cauchy** de deux séries absolument convergentes, $$\exp(a)\exp(b) = \sum_{n \geq 0}\left(\sum_{k=0}^{n} \frac{a^k}{k!}\,\frac{b^{n-k}}{(n-k)!} \right) = \sum_{n \geq 0} \frac{(a+b)^n}{n!} = \exp(a + b),$$ le coefficient intérieur étant $\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k} = \frac{(a+b)^n}{n!}$ (binôme) ; - **Lien avec les fonctions réelles** : pour $\theta \in \mathbb{R}$, $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ (les parties réelle et imaginaire de la série complexe sont les séries réelles de $\cos$ et $\sin$), d'où $|e^{i\theta}| = 1$ et la formule de Moivre ; - $\exp(\bar{z}) = \overline{\exp(z)}$, $\exp(z) \neq 0$ pour tout $z$ (car $\exp(z)\exp(-z) = \exp(0) = 1$). #### 4. Exemple récapitulatif - $\frac{1}{1-z}$ : DSE $\sum z^n$ sur $|z| < 1$ ; en $z = \frac{i}{2}$, $\sum \left(\frac{i}{2}\right)^n = \frac{1}{1 - i/2} = \frac{4 + 2i}{5}$ (convergence absolue, $\left|\frac{i}{2}\right| = \frac{1}{2} < 1$). - $\exp(i) = \sum_{n \geq 0} \frac{i^n}{n!}$ : convergence absolue ($R = +\infty$) ; $\exp(i) = \cos 1 + i \sin 1 \approx 0{,}540 + 0{,}841\,i$. - Somme $\sum_{n \geq 0} \frac{z^n}{n!}$ en $z$ et $\bar{z}$ : $\exp(z)\exp(\bar{z}) = \exp(z + \bar{z}) = \exp(2\mathrm{Re}\,z) = |\exp(z)|^2$, ce qui redonne $|\exp(z)| = e^{\mathrm{Re}\,z}$ (module de l'exponentielle complexe).

#### 1. Cadre : fonctions continues par morceaux sur un intervalle semi-ouvert ou ouvert Soit $I$ un intervalle de la forme $[a, b[$, $]a, b]$, $]a, b[$ ou même non borné, et $f : I \to \mathbb{K}$ **continue par morceaux** sur $I$. L'intégrale $\int_I f$ est dite **convergente** si, pour un (et alors tout) découpage de $I$ en sous-segments et intervalles ouverts, toutes les intégrales obtenues convergent ; dans le cas contraire elle est **divergente**. Concrètement, pour $\int_a^b f$ avec $f$ continue par morceaux sur $[a, b[$, on étudie la **convergence en $b$** : $\int_a^b f$ converge si $x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$ admet une limite finie quand $x \to b^-$ (indépendamment du point $b$ artificiel choisi : le théorème de Chasles garantit la cohérence). Un intervalle ouvert peut nécessiter l'étude **aux deux bornes** : $\int_a^b f$ converge si et seulement si $\int_a^c f$ et $\int_c^b f$ convergent (pour tout $c$ intermérieur). #### 2. Intégrale convergente ou divergente en $b$, en $a$ Soit $f$ continue par morceaux sur $[a, b[$. On dit que $\int_a^b f(t)\,dt$ est **convergente en $b$** si $x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$ admet une limite finie quand $x \to b^-$ ; on note alors $$\int_a^b f(t)\,dt = \lim_{x \to b^-} \int_a^x f(t)\,dt.$$ Dans le cas contraire, l'intégrale est **divergente en $b$**. On définit de même la convergence en $a$ pour $f$ définie sur $]a, b]$ ($x \to a^+$). Une intégrale sur $]a, b[$ converge si elle converge en $a$ **et** en $b$. Exemples : $\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{t}}$ converge en $0$ (vaut $2$) ; $\int_0^1 \frac{dt}{t}$ diverge en $0$. #### 3. Propriétés des intégrales généralisées Pour les intégrales convergentes : - **Linéarité** : $\int_a^b (\lambda f + \mu g) = \lambda \int_a^b f + \mu \int_a^b g$ (la somme de deux intégrales convergentes de même nature est convergente) ; - **Positivité** : si $f \geq 0$ et $\int_a^b f$ converge, alors $\int_a^b f \geq 0$ ; - **Croissance** : si $f \leq g$ et les deux intégrales convergent, alors $\int_a^b f \leq \int_a^b g$ ; - **Relation de Chasles** : $\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f$ dès que deux des trois intégrales convergent (la troisième l'est alors aussi). *Attention* : l'intégrale $\int_a^b f$ d'une fonction à valeurs complexes est définie par séparabilité (parties réelle et imaginaire), et $\int_a^b |f|$ convergeant entraîne $\int_a^b f$ converge (absolue convergence). #### 4. Intégration par parties sur un intervalle quelconque **Théorème** : soient $f, g$ de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux sur $[a, b[$ telles que le produit $f g$ admette une **limite finie en $b$** (et en $a$ le cas échéant). Alors les intégrales $\int_a^b f g'$ et $\int_a^b f' g$ sont **de même nature** (convergentes ou divergentes ensemble), et en cas de convergence : $$\lim_{x \to b^-} f(x) g(x) - \lim_{x \to a^+} f(x) g(x) = \int_a^b f(t) g'(t)\,dt + \int_a^b f'(t) g(t)\,dt.$$ *Preuve* : sur $[a, x]$, $[f g]_a^x = \int_a^x f g' + \int_a^x f' g$ (IPP usuelle sur un segment) ; le membre de gauche a une limite finie en $b$ par hypothèse, donc les deux intégrales convergent ensemble (difference of two functions with limits), et on passe à la limite. *Exemple* : $\int_1^{+\infty} \frac{\ln t}{t^2}\,dt$ : avec $f = \ln t$, $g' = \frac{1}{t^2}$, on a $f g = \frac{\ln t}{t} \to 0$, donc $\int_1^{+\infty} \frac{\ln t}{t^2}\,dt = \int_1^{+\infty} \frac{1}{t^2} \cdot \frac{1}{t}\,dt$... plus précisément l'IPP donne $\int_1^{X} \frac{\ln t}{t^2} dt = \left[-\frac{\ln t}{t}\right]_1^X + \int_1^X \frac{dt}{t^2} \to 0 + 1 = 1$ : l'intégrale converge et vaut $1$. #### 5. Même nature de $\int f g'$ et $\int f' g$ (cas général) **Théorème** : si $f g$ n'admet **pas** de limite finie en $b$, alors $\int_a^b f g'$ et $\int_a^b f' g$ sont encore de **même nature** (toutes deux divergentes) : en effet, si l'une convergeait, l'autre convergerait aussi (même argument que ci-dessus) et $f g$ aurait une limite finie en $b$ — contradiction. Le critère « existence de limites finies de $f g$ aux bornes » assure donc la même nature dans **tous les cas**, avec en prime l'égalité de la section 4. Exemple : $\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t} \ln t$... pour $f = \ln t$, $g = t$ : $f g = t \ln t \to +\infty$ (pas de limite finie) et $\int f' g = \int \frac{t}{t} dt = +\infty$ diverge comme $\int f g' = \int \ln t\, dt$ : même nature (divergentes). #### 6. Changement de variable (cas croissant) **Théorème** : si $\varphi : \,]\alpha, \beta[ \to \,]a, b[$ est une bijection **strictement croissante de classe $\mathcal{C}^1$** (donc $\varphi' > 0$), et si $f$ est continue sur $]a, b[$, alors les intégrales $$\int_a^b f(t)\,dt \quad \text{et} \quad \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(u))\, \varphi'(u)\, du$$ sont **de même nature**, et **égales en cas de convergence**. *Preuve (idée)* : pour $x \in \,]a, b[$ et $u_x = \varphi^{-1}(x)$, le changement de variable sur le segment $[a, x]$ (cas usuel) donne $\int_a^x f = \int_{\alpha}^{u_x} f(\varphi(u))\varphi'(u)\,du$ ; on étudie ensuite les limites quand $x \to b^-$, i.e. $u_x \to \beta^-$ (la bijection croissante envoie les bornes sur les bornes). **En pratique** : ce théorème permet de traiter un changement de variable « à bornes infinies ou singulières » : on prouve d'abord sur un segment intérieur, puis on passe aux limites. *Exemple* : $\int_0^{+\infty} \frac{dt}{1 + t^2} = \frac{\pi}{2}$ : avec $t = \tan u$, $\varphi : \,]0, \frac{\pi}{2}[ \to \,]0, +\infty[$ croissante $\mathcal{C}^1$, $\int_0^{+\infty} \frac{dt}{1+t^2} = \int_0^{\pi/2} du = \frac{\pi}{2}$ — les deux intégrales sont de même nature (convergentes) et égales. #### 7. Adaptation au cas d'un changement de variable strictement décroissant Si $\varphi : \,]\alpha, \beta[ \to \,]a, b[$ est une bijection **strictement décroissante de classe $\mathcal{C}^1$** (donc $\varphi' < 0$), et $f$ continue sur $]a, b[$, alors les intégrales $\int_a^b f(t)\,dt$ et $\int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(u))\, \varphi'(u)\, du$ sont encore de **même nature** et égales en cas de convergence — **à ceci près** que la formule sur un segment comporte l'inversion des bornes : pour $u \mapsto \varphi(u)$ décroissante, $$\int_{\varphi(\beta^+)}^{\varphi(\alpha^-)} f(t)\,dt = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(u)) \varphi'(u)\, du,$$ les bornes étant « croisées ». *Exemple* : $\int_0^1 e^{-t}\,dt$ avec $t = \frac{1}{u}$, $\varphi : \,]1, +\infty[ \to \,]0, 1[$ décroissante : $\int_0^1 e^{-t} dt = \int_{+\infty}^{1} e^{-1/u}\left(-\frac{du}{u^2}\right) = \int_1^{+\infty} \frac{e^{-1/u}}{u^2}\,du$ — les deux intégrales sont de même nature et égales. #### 8. Exemple récapitulatif Étudions $\int_0^1 \ln(1 - x)\,dx$ (intervalle semi-ouvert, singularité en $1$). Par IPP avec $f = \ln(1-t)$, $g' = 1$ : $f g = (1 - t)\ln(1 - t) \to 0$ en $1^-$, donc $$\int_0^1 \ln(1-x)\,dx = \left[(x-1)\ln(1-x) - x\right]_0^1 + \int_0^1 \frac{x - 1}{1 - x}\,dx = -1 \quad \text{(par le critère de même nature)}.$$ Par changement de variable $t = 1 - u$ (décroissant) : $\int_0^1 \ln(1-x)\,dx = \int_1^0 \ln(u)(-du) = \int_0^1 \ln u\, du = -1$ — cohérent, et l'intégrale $\int_0^1 \ln u\, du$ converge (IPP identique).

#### 1. Fonctions continues par morceaux sur un segment, sur un intervalle - **Sur un segment** $[a, b]$ : une fonction $f : [a, b] \to \mathbb{K}$ est **continue par morceaux (CPPM)** s'il existe un découpage $a = t_0 < t_1 < \cdots < t_p = b$ tel que $f$ soit continue sur chaque intervalle ouvert $]t_{i-1}, t_i[$ et admette des **limites finies** à droite en $t_{i-1}$ et à gauche en $t_i$. Exemples : les fonctions continues, les fonctions en escalier, $x \mapsto \mathbb{1}_{x > 0}(x)$ (valeur en $0$ sans importance), $x \mapsto |x|$ sur $[-1, 1]$. - **Sur un intervalle quelconque** $I \subset \mathbb{R}$ : $f$ est CPPM sur $I$ si $f$ est CPPM sur **tout segment** $[a, b] \subset I$. Exemple : la fonction partie entière $x \mapsto \lfloor x \rfloor$ est CPPM sur $\mathbb{R}$. Propriétés : l'ensemble des fonctions CPPM sur $I$ est un **espace vectoriel** stable par produit (les produits et sommes de CPPM sont CPPM). #### 2. Intégrale sur un segment d'une fonction continue par morceaux Soit $f$ CPPM sur $[a, b]$ et un découpage adapté $(t_i)$. Pour chaque morceau, $\tilde{f}_i$ désigne le **prolongement par continuité** de $f|_{]t_{i-1}, t_i[}$ au segment fermé $[t_{i-1}, t_i]$ (limite finie en chaque bout). On définit $$\int_a^b f(t)\,dt = \sum_{i=1}^{p} \int_{t_{i-1}}^{t_i} \tilde{f}_i(t)\,dt.$$ **Cette valeur ne dépend pas du découpage adapté choisi** (propriété admise, conséquence de Chasles et de l'invariance de l'intégrale par modification sur un ensemble fini de points). Cas particulier : si $f$ est continue, on retrouve l'intégrale usuelle. Exemple : $\int_{-1}^{1} \mathbb{1}_{x>0}(x)\,dx = \int_0^1 1\,dx = 1$ (la valeur en $0$ ne compte pas). #### 3. Extension des propriétés de l'intégrale d'une fonction continue Toutes les propriétés de l'intégrale des fonctions continues s'étendent aux CPPM sur $[a, b]$ : - **Linéarité** : $\int_a^b (\lambda f + \mu g) = \lambda \int_a^b f + \mu \int_a^b g$ ; - **Positivité** : $f \geq 0 \Rightarrow \int_a^b f \geq 0$ ; **croissance** : $f \leq g \Rightarrow \int_a^b f \leq \int_a^b g$ ; - **Inégalité triangulaire** : $\left|\int_a^b f\right| \leq \int_a^b |f|$ ($|f|$ est CPPM si $f$ l'est) ; - **Relation de Chasles** : $\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f$ ; - **Fonction d'intégration** : $x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$ est **continue** sur $[a, b]$, et de classe $\mathcal{C}^1$ en tout point où $f$ est continue (avec dérivée $f(x)$) ; - **Intégration par parties** : si $f, g$ sont CPPM et dérivables par morceaux avec $f'g$ et $fg'$ CPPM, la formule $\int_a^b f g' + \int_a^b f' g = [fg]_a^b$ reste valable en prenant les limites aux points de découpage (les valeurs aux points isolés n'influencent pas l'intégrale). De plus, toute fonction CPPM sur $[a, b]$ est **bornée**, et $\left|\int_a^b f\right| \leq (b - a) \sup_{[a,b]} |f|$. #### 4. Extension aux suites de fonctions de classe $\mathcal{C}^k$ et intégration des limites **Rappel du cadre** (lien avec les théorèmes sur les suites de fonctions) : si $(f_n)$ est une suite de fonctions **continues** sur $[a, b]$ convergeant **uniformément** vers $f$ sur $[a, b]$, alors $$\int_a^b f_n(t)\,dt \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_a^b f(t)\,dt$$ (permutation limite-intégrale). **Extension à l'ordre $\mathcal{C}^k$** : si les $f_n$ sont de classe $\mathcal{C}^k$ sur $[a, b]$, si $(f_n^{(j)})$ converge simplement vers $f^{(j)}$ pour $0 \leq j \leq k-1$ et si $(f_n^{(k)})$ converge **uniformément** vers $g$, alors $f$ est de classe $\mathcal{C}^k$, $f^{(k)} = g$, et pour tout $j \leq k$ : $$\int_a^b f_n^{(j)}(t)\,dt \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_a^b f^{(j)}(t)\,dt.$$ Le même résultat vaut pour une **série** $\sum f_n$ : convergence simple de $\sum f_n^{(j)}$ ($j < k$) + convergence uniforme de $\sum f_n^{(k)}$ permettent la permutation $\int \sum = \sum \int$ pour les dérivées jusqu'à l'ordre $k$. Ces extensions reposent sur la continuité de l'intégrale vis-à-vis de la norme de la convergence uniforme : $\left|\int_a^b (f_n - f)\right| \leq (b-a) \|f_n - f\|_\infty$. *Exemple* : $f_n(x) = \sum_{j=0}^{n} \frac{x^j}{j!} \to e^x$ uniformément sur $[0, 1]$, donc $\int_0^1 f_n \to \int_0^1 e^x = e - 1$, soit $\sum_{j \geq 0} \frac{1}{(j+1)!(j+1)} = e - 1$. #### 5. Exemple récapitulatif Soit $f : [-2, 2] \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = -1$ si $x < 0$, $f(x) = x$ si $x \geq 0$ : $f$ est CPPM (découpage en $0$ ; limite à gauche $-1$, à droite $0$ en $0$). Alors $$\int_{-2}^{2} f(t)\,dt = \int_{-2}^{0} (-1)\,dt + \int_{0}^{2} t\,dt = -2 + 2 = 0.$$ Le prolongement par continuité du morceau $]-2, 0[$ est la constante $-1$, celui de $]0, 2[$ est $x \mapsto x$ ; la valeur de $f$ en $0$ (ici $f(0) = 0$) ne modifie pas l'intégrale.

#### 1. Définition de la convergence Soit $f$ une fonction **continue par morceaux** sur $[a, +\infty[$. Pour $x \geq a$, l'intégrale $\int_a^x f(t)\,dt$ est définie (fonction continue par morceaux sur un segment). La fonction $$F : x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$$ est appelée **fonction d'intégration** (ou primitive généralisée). L'intégrale $\int_a^{+\infty} f(t)\,dt$ est dite **convergente** si $F(x)$ admet une **limite finie** lorsque $x \to +\infty$ ; dans le cas contraire, elle est **divergente**. En cas de convergence, on note $$\int_a^{+\infty} f(t)\,dt = \lim_{x \to +\infty} \int_a^x f(t)\,dt = \lim_{x \to +\infty} F(x).$$ **Notations** : $\int_a^{+\infty} f$, $\int_a^{+\infty} f(t)\,dt$. #### 2. Intégrale convergente ou divergente en $+\infty$ On dit que $\int_a^{+\infty} f$ est **convergente en $+\infty$** (resp. **divergente en $+\infty$**) selon que $F$ admet (resp. n'admet pas) une limite finie en $+\infty$. Exemples : - $\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2}$ **converge** (vaut $1$) : $F(x) = 1 - \frac{1}{x} \to 1$ ; - $\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t}$ **diverge** : $F(x) = \ln x \to +\infty$ ; - $\int_0^{+\infty} e^{-t}\,dt$ **converge** (vaut $1$) ; - $\int_0^{+\infty} \cos(t)\,dt$ **diverge** : $F(x) = \sin(x)$ n'a pas de limite en $+\infty$ (bien que $F$ soit bornée !). Pour $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ : convergence par séparabilité (parties réelle et imaginaire convergentes). #### 3. Cas des fonctions à valeurs positives : critère de majoration **Théorème** : si $f$ est CPPM sur $[a, +\infty[$ et **à valeurs positives** ($f(t) \geq 0$), alors $$\int_a^{+\infty} f(t)\,dt \text{ converge} \iff x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt \text{ est \textbf{majorée}}.$$ *Preuve* : $F$ est **croissante** (si $x_2 \geq x_1$, $F(x_2) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_2} f \geq 0$ par positivité de l'intégrale). Une fonction croissante admet une limite finie en $+\infty$ si et seulement si elle est majorée (alors la limite est $\sup_x F(x)$). Conséquence pratique : pour $f \geq 0$, il suffit d'exhiber un **majorant explicite** de $F$ (par exemple via la comparaison série-intégrale : $\int_a^{x+1} f \leq \sum_{k=a}^{x} f(k) \leq M$ pour une série convergente). Exemple : $\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2}$ : $F(x) = 1 - \frac{1}{x} \leq 1$, donc convergence. #### 4. Comparaison d'intégrales (théorème de comparaison) **Théorème** : si $f$ et $g$ sont CPPM sur $[a, +\infty[$ avec $$0 \leq f(t) \leq g(t) \quad \text{pour tout } t \geq a,$$ alors la **convergence de $\int_a^{+\infty} g$ implique celle de $\int_a^{+\infty} f$**. *Preuve* : pour tout $x \geq a$, $0 \leq \int_a^x f \leq \int_a^x g \leq \int_a^{+\infty} g = M$ (au sens : $F_f(x) \leq F_g(x) \leq M$ par croissance de $F_g$ et convergence de $\int g$). La fonction $F_f$ est croissante et majorée par $M$ : par le critère de majoration (section 3), $\int_a^{+\infty} f$ converge, et de plus $$0 \leq \int_a^{+\infty} f \leq \int_a^{+\infty} g.$$ **Contraposée** : si $\int_a^{+\infty} f$ diverge, alors $\int_a^{+\infty} g$ diverge. **Équivalents et domination** : si $f, g \geq 0$ et $f \sim g$ en $+\infty$, alors $\int f$ et $\int g$ sont **de même nature** (comparaison avec $2g$ puis $\frac{1}{2}g$ au voisinage de $+\infty$). Applications classiques : $\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^{\alpha}}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$ (comparaison série-intégrale) ; $\int_2^{+\infty} \frac{dt}{t \ln^2 t}$ converge ; $\int_0^{+\infty} e^{-t^2}\,dt$ converge car $e^{-t^2} \leq e^{-t}$ pour $t \geq 1$ et $\int_0^1 e^{-t^2}\,dt$ est usuelle. #### 5. Exemple récapitulatif Étudions $\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^3 + 1}$. - La fonction est continue positive sur $[1, +\infty[$. - **Comparaison** : $\frac{1}{t^3 + 1} \leq \frac{1}{t^3}$ pour $t \geq 1$. - Or $\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^3}$ **converge** (Riemann, $\alpha = 3 > 1$ ; ou $F(x) = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{x^2}\right) \leq \frac{1}{2}$ majorée). - Donc $\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^3 + 1}$ **converge**, et $0 \leq \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^3+1} \leq \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^3} = \frac{1}{2}$. - Par équivalent ($\frac{1}{t^3+1} \sim \frac{1}{t^3}$), les deux intégrales sont de même nature et les restes sont équivalents : $\int_x^{+\infty} \frac{dt}{t^3+1} \sim \frac{1}{2x^2}$.

#### 1. Théorème de convergence dominée **Théorème** : soient $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, $(f_n)$ une suite de fonctions **continues par morceaux sur $I$** convergeant **simplement** vers une fonction $f$ **continue par morceaux** sur $I$. S'il existe une fonction $\varphi : I \to \mathbb{R}_+$ **intégrable sur $I$** (continue par morceaux et d'intégrale absolument convergente) telle que $$|f_n(t)| \leq \varphi(t) \quad \text{pour tout } t \in I \text{ et tout } n \in \mathbb{N},$$ alors les fonctions $f_n$ et $f$ sont **intégrables sur $I$**, et $$\int_I f_n(t)\,dt \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_I f(t)\,dt.$$ *Remarques* : - en passant à la limite dans la domination, on obtient $|f(t)| \leq \varphi(t)$ : la fonction limite $f$ est donc intégrable (dominée par $\varphi$) ; - la **domination uniforme par une fonction intégrable indépendante de $n$** est l'hypothèse essentielle. Contre-exemple la montrant nécessaire : $f_n = n\,\mathbb{1}_{]0, 1/n[}$ sur $]0, 1[$ converge simplement vers $0$, mais $\int_0^1 f_n = 1 \not\to 0 = \int_0^1 0$, et aucune fonction intégrable ne peut dominer la famille ; - la démonstration repose sur un découpage de $I$ en segments et sur l'uniformité « évanescente » de la convergence sur les petits morceaux (détail hors programme). *Exemple* : sur $I = [0, 1]$, $f_n(t) = t^n$ : convergence simple vers $f$ valant $0$ sur $[0, 1[$ et $1$ en $1$ (CPPM), et $|f_n| \leq 1 = \varphi$ intégrable sur $[0,1]$ ; donc $\int_0^1 t^n\,dt = \frac{1}{n+1} \to 0 = \int_0^1 f$. #### 2. Théorème d'intégration terme à terme **Théorème** : soit $\sum_{n \geq 0} f_n$ une série de fonctions **intégrables sur $I$** (chaque $f_n$ étant CPPM et $\int_I |f_n| < +\infty$) telle que : 1. la série $\sum f_n$ **converge simplement** sur $I$ ; 2. sa somme $S = \sum_{n \geq 0} f_n$ soit **continue par morceaux** sur $I$ ; 3. la série $\sum_{n \geq 0} \left(\int_I |f_n(t)|\,dt\right)$ **converge**. Alors la fonction $S$ est **intégrable sur $I$** et on peut **permuter l'intégrale et la somme** : $$\int_I \left(\sum_{n \geq 0} f_n(t)\right) dt = \sum_{n \geq 0} \left(\int_I f_n(t)\,dt\right).$$ *Preuve (idée)* : on applique le théorème de convergence dominée à la suite des sommes partielles $S_N$, qui converge simplement vers $S$ (CPPM) et vérifie $$|S_N(t)| \leq \sum_{n=0}^{N} |f_n(t)| \leq \varphi(t) := \sum_{n=0}^{+\infty} |f_n(t)|,$$ où $\varphi$ est CPPM et intégrable (par le théorème d'intégration terme à terme appliqué aux séries $\sum |f_n|$, ou par croissance : $\int_I \varphi = \lim_N \sum_{n \leq N} \int_I |f_n| < +\infty$). Le TCD donne alors $\int_I S_N \to \int_I S$, soit la permutation. *Exemple* : $\sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{n!}$ sur $I = [0, 1]$ : chaque $f_n$ est intégrable, $\sum f_n$ converge simplement vers $e^t$ (CPPM), et $$\sum_{n \geq 0} \int_0^1 \frac{t^n}{n!}\,dt = \sum_{n \geq 0} \frac{1}{(n+1)!\,(n+1)} < +\infty$$ (convergence, comparable à $\sum \frac{1}{n!}$). Donc $\int_0^1 e^t\,dt = \sum_{n \geq 0} \frac{1}{(n+1)!\,(n+1)} = e - 1$. #### 3. Utilisation type du théorème de convergence dominée **Recette** pour calculer $\lim_n \int_I f_n$ : 1. identifier la limite simple $f$ et vérifier qu'elle est CPPM ; 2. chercher une fonction intégrable $\varphi$ dominante ($|f_n| \leq \varphi$), souvent à partir d'inégalités simples ($|t^n| \leq 1$ sur $[0,1]$, $|e^{-nt}| \leq e^{-t}$ pour $n \geq 1$ et $t \geq 0$, etc.) ; 3. conclure $\int_I f_n \to \int_I f$. La domination est aussi un critère d'**intégrabilité** : toute fonction CPPM majorée en module par une fonction intégrable est intégrable. *Exemple sur un intervalle infini* : $f_n(t) = e^{-t}\mathbb{1}_{t \leq n}(1 + t/n)^n \to e^{-t} \cdot e^{t}\mathbb{1}_{t\leq n} \to 1$... (exemple à manier) — plus simplement, $f_n(t) = \frac{n}{t} e^{-nt}$ sur $[1, +\infty[$ : $f_n \to 0$ simplement, et pour $n \geq 1$, $\frac{n}{t} e^{-nt} \leq e^{-t}$ (car $n e^{-nt} \leq e^{-t}$ pour $t \geq 1$, $n \geq 1$) avec $\int_1^{+\infty} e^{-t}\,dt < +\infty$ : donc $\int_1^{+\infty} f_n \to 0$. #### 4. Exemple récapitulatif Soit $f_n(t) = \frac{t^n}{1 + t^{2n}}$ sur $I = [0, +\infty[$. - **Limite simple** : $f_n(t) \to 0$ si $0 \leq t < 1$, $f_n(1) = \frac{1}{2}$, et pour $t > 1$, $f_n(t) = \frac{t^n}{t^{2n}} = \frac{1}{t^n} \to 0$. La limite $f$ (valant $\frac{1}{2}$ en $1$, $0$ ailleurs) est continue par morceaux. - **Domination** : $|f_n(t)| \leq 1$ pour $t \in [0, 1]$ ; pour $t \geq 1$ et $n \geq 2$, $f_n(t) \leq \frac{t^n}{t^{2n}} = \frac{1}{t^n} \leq \frac{1}{t^2}$. On peut donc prendre $\varphi(t) = 1$ sur $[0, 1]$ et $\varphi(t) = \frac{1}{t^2}$ sur $]1, +\infty[$ : $\varphi$ est CPPM et intégrable sur $[0, +\infty[$ ($\int_0^1 1\,dt + \int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^2} = 1 + 1 = 2$). - **Conclusion** : $f_n$ et $f$ sont intégrables sur $[0, +\infty[$ et $\int_0^{+\infty} f_n \to \int_0^{+\infty} f = 0$.

On considère une fonction $f$ définie sur $A \times I$ où $A$ et $I$ sont des intervalles de $\mathbb{R}$, à valeurs dans $\mathbb{K}$, et la fonction à paramètre $$F(x) = \int_I f(x, t)\,dt.$$ Tous les théorèmes reposent sur une **hypothèse de domination** : il existe $\varphi : I \to \mathbb{R}_+$ **intégrable sur $I$** (CPPM, $\int_I \varphi < +\infty$) qui majore les modules. #### 1. Théorème de continuité **Hypothèses** : 1. pour tout $t \in I$, $x \mapsto f(x, t)$ est **continue** sur $A$ ; 2. pour tout $x \in A$, $t \mapsto f(x, t)$ est **continue par morceaux** sur $I$ ; 3. il existe $\varphi$ **intégrable sur $I$** telle que $|f(x, t)| \leq \varphi(t)$ pour tout $(x, t) \in A \times I$. **Conclusion** : pour tout $x \in A$, $t \mapsto f(x, t)$ est intégrable sur $I$, et la fonction $F : x \mapsto \int_I f(x, t)\,dt$ est **définie et continue sur $A$**. *Preuve (caractérisation séquentielle)* : soit $(x_k)$ une suite de $A$ tendant vers $x$. Les fonctions $g_k = f(x_k, \cdot)$ sont CPPM, convergent simplement vers $g = f(x, \cdot)$ (continuité en $x$ pour chaque $t$), et $|g_k| \leq \varphi$ : le **théorème de convergence dominée** (pour les suites) donne $\int_I f(x_k, t)\,dt \to \int_I f(x, t)\,dt$, i.e. $F(x_k) \to F(x)$. #### 2. Théorème de convergence dominée à paramètre continu **Hypothèses** : $a$ est une borne de $A$ (éventuellement infinie) et : 1. pour tout $t \in I$, $f(x, t) \xrightarrow[x \to a]{} \ell(t)$ ; 2. pour tout $x \in A$, $t \mapsto f(x, t)$ est CPPM sur $I$, et $t \mapsto \ell(t)$ est CPPM sur $I$ ; 3. il existe $\varphi$ intégrable sur $I$ avec $|f(x, t)| \leq \varphi(t)$ pour tout $(x, t)$. **Conclusion** : $\ell$ est intégrable sur $I$ (et $|\ell(t)| \leq \varphi(t)$), et $$\int_I f(x, t)\,dt \xrightarrow[x \to a]{} \int_I \ell(t)\,dt :$$ on peut **permuter la limite en la borne et l'intégrale**. *Preuve* : extension directe du théorème de convergence dominée aux suites, via la caractérisation séquentielle des limites : pour toute suite $(x_k)$ de $A$ tendant vers $a$, la suite de fonctions $f(x_k, \cdot)$ converge simplement vers $\ell$ et est dominée par $\varphi$, donc $\int_I f(x_k, \cdot) \to \int_I \ell$ ; la convergence des intégrales pour toute suite équivaut à la convergence en $a$. C'est « une simple extension du théorème relatif aux suites de fonctions », comme le souligne l'énoncé. #### 3. Théorème de dérivation **Hypothèses** : 1. pour tout $t \in I$, $x \mapsto f(x, t)$ est de **classe $\mathcal{C}^1$** sur $A$ ; 2. pour tout $x \in A$, $t \mapsto f(x, t)$ est **intégrable** sur $I$ ; 3. pour tout $x \in A$, $t \mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x, t)$ est **continue par morceaux** sur $I$ ; 4. il existe $\varphi$ intégrable sur $I$ avec $\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x, t)\right| \leq \varphi(t)$ pour tout $(x, t) \in A \times I$ (domination de la **dérivée partielle**). **Conclusion** : la fonction $g : x \mapsto \int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x, t)\,dt$ est **définie et de classe $\mathcal{C}^1$** sur $A$, et pour tout $x \in A$ : $$g'(x) = \int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x, t)\,dt.$$ En particulier $F = \int_I f(x, \cdot)$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $A$ et $$F'(x) = \int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x, t)\,dt$$ (on peut **permuter la dérivation et l'intégration**). *Preuve (idée)* : pour $x, x + h \in A$, le théorème des accroissements finis donne $\frac{f(x+h, t) - f(x, t)}{h} = \frac{\partial f}{\partial x}(c_h, t)$ pour un $c_h$ entre $x$ et $x+h$ ; le quotient différentiel est donc dominé par $\varphi$, et sa limite simple en $h \to 0$ est $\frac{\partial f}{\partial x}(x, t)$ ; on conclut avec le théorème de convergence dominée à paramètre (section 2) appliqué à la borne $a = x$. #### 4. Extension à la classe $\mathcal{C}^k$ **Théorème** : si pour tout $t \in I$, $x \mapsto f(x, t)$ est de **classe $\mathcal{C}^k$** sur $A$ ; si pour $0 \leq j \leq k-1$, $t \mapsto \frac{\partial^j f}{\partial x^j}(x, t)$ est **intégrable** sur $I$ pour tout $x$ ; et si $t \mapsto \frac{\partial^k f}{\partial x^k}(x, t)$ est CPPM et **dominée** : $\left|\frac{\partial^k f}{\partial x^k}(x, t)\right| \leq \varphi(t)$ avec $\varphi$ intégrable, alors $F(x) = \int_I f(x, t)\,dt$ est de **classe $\mathcal{C}^k$** sur $A$ et, pour $0 \leq j \leq k$ : $$F^{(j)}(x) = \int_I \frac{\partial^j f}{\partial x^j}(x, t)\,dt.$$ Preuve par récurrence à partir du théorème de dérivation (l'hypothèse de domination de la dérivée d'ordre $k$ fournit la domination des dérivées d'ordres inférieurs sur les segments, grâce au théorème des accroissements finis). #### 5. Exemple récapitulatif Soit $F(x) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{1 + t}\,dt$ pour $x > 0$. - **Continuité sur $]0, +\infty[$** : soit $[m, +\infty[$ un sous-intervalle avec $m > 0$. Pour $x \geq m$ : $\left|\frac{e^{-xt}}{1+t}\right| \leq \frac{e^{-mt}}{1 + t} \leq e^{-mt} = \varphi(t)$, intégrable sur $[0, +\infty[$ ; et $t \mapsto \frac{e^{-xt}}{1+t}$ est continue. Donc $F$ est continue sur tout $[m, +\infty[$, i.e. sur $]0, +\infty[$. - **Dérivation** : $\frac{\partial}{\partial x}\frac{e^{-xt}}{1+t} = \frac{-t\,e^{-xt}}{1+t}$, et pour $x \geq m$ : $\left|\frac{-t e^{-xt}}{1+t}\right| \leq t e^{-mt} = \varphi(t)$, intégrable sur $[0, +\infty[$ ($\int_0^{+\infty} t e^{-mt} dt = \frac{1}{m^2}$). Donc $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]0, +\infty[$ et $F'(x) = -\int_0^{+\infty} \frac{t\,e^{-xt}}{1 + t}\,dt$. Comme $0 \leq \frac{t}{1+t} \leq 1$, $\int_0^{+\infty} \frac{t e^{-xt}}{1+t}\,dt \leq \int_0^{+\infty} e^{-xt}\,dt = \frac{1}{x}$ ; et comme $\frac{t}{1+t} \geq \frac{1}{2}$ pour $t \geq 1$, $\int_0^{+\infty} \frac{t e^{-xt}}{1+t}\,dt \geq \frac{1}{2}\int_1^{+\infty} e^{-xt}\,dt = \frac{e^{-x}}{2x}$. D'où l'encadrement $-\frac{1}{x} \leq F'(x) \leq -\frac{e^{-x}}{2x}$. - **Classe $\mathcal{C}^{\infty}$** : $\frac{\partial^k}{\partial x^k}\frac{e^{-xt}}{1+t} = \frac{(-t)^k e^{-xt}}{1+t}$, dominé par $t^k e^{-mt}$ (intégrable) pour $x \geq m$ : $F$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $]0, +\infty[$.

#### 1. Intégrale absolument convergente ; convergence absolue implique convergence Soit $f$ une fonction continue par morceaux sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. L'intégrale $\int_I f$ est **absolument convergente** si $\int_I |f|$ **converge**. **Théorème** : la convergence absolue **implique** la convergence : si $\int_I |f|$ converge, alors $\int_I f$ converge. De plus, on dispose de l'**inégalité triangulaire** : $$\left| \int_I f(t)\,dt \right| \leq \int_I |f(t)|\,dt.$$ *Preuve (cas $I = [a, b[$)* : pour tout $x \in [a, b[$, $$\left| \int_a^x f(t)\,dt \right| \leq \int_a^x |f(t)|\,dt \leq \int_a^b |f(t)|\,dt,$$ donc la fonction $x \mapsto \int_a^x f$ est majorée en module par la constante $\int_a^b |f|$... plus précisément, le **critère de Cauchy** s'applique : pour $x, y \geq a$, $\left|\int_x^y f\right| \leq \int_x^y |f| \leq \int_{\max(x,y)}^b |f| \to 0$, donc $x \mapsto \int_a^x f$ vérifie le critère de Cauchy en $b$ et converge. L'inégalité triangulaire s'obtient en passant à la limite dans $\left|\int_a^x f\right| \leq \int_a^x |f|$. #### 2. Notations ; intégrable en $b$, en $a$ On note $\int_I f$ ou $\int_I f(t)\,dt$ l'intégrale (généralisée) de $f$ sur $I$. Pour $I = [a, b[$ (resp. $I = ]a, b]$), on dit que $f$ est **intégrable en $b$** (resp. **en $a$**) si $\int_a^b |f(t)|\,dt$ converge (c'est-à-dire si $f$ est intégrable en cette borne au sens absolu). L'étude se fait par la définition : $x \mapsto \int_a^x |f|$ doit être majorée (borne $a$) ou admettre une limite finie en $b$. #### 3. Définition d'une fonction intégrable sur $I$ **Définition** : une fonction $f$ est **intégrable sur $I$** si elle est **continue par morceaux sur $I$** et si son intégrale sur $I$ est **absolument convergente** ($\int_I |f| < +\infty$). Exemples : $\frac{1}{\sqrt{t}}$ sur $]0, 1]$ est intégrable ($\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{t}} = 2 < +\infty$) ; $\frac{1}{t}$ sur $]0, 1]$ ne l'est pas (divergence logarithmique) ; $\frac{1}{t^2}$ sur $[1, +\infty[$ est intégrable ; $\frac{1}{t}$ sur $[1, +\infty[$ ne l'est pas. **Attention** : la convergence (simple) de $\int_I f$ ne suffit pas — il faut la convergence absolue : $\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\,dt$ converge (séries alternées / Dirichlet) mais n'est pas absolument convergente ($\int_1^{+\infty} \frac{|\sin t|}{t}\,dt = +\infty$), donc $\frac{\sin t}{t}$ n'est **pas intégrable** au sens de cette définition. #### 4. Espace vectoriel $\mathrm{L}^1(I, \mathbb{K})$ L'ensemble des fonctions **intégrables** sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ est noté $$\mathrm{L}^1(I, \mathbb{K}) = \{f \text{ CPPM sur } I \mid \int_I |f(t)|\,dt < +\infty\}.$$ C'est un **espace vectoriel** (sur $\mathbb{K}$) : si $f, g \in \mathrm{L}^1(I, \mathbb{K})$ et $\lambda \in \mathbb{K}$, alors $f + g$ et $\lambda f$ sont intégrables (via $|f + g| \leq |f| + |g|$ et $|\lambda f| = |\lambda||f|$, et l'inégalité $\int_I |f + g| \leq \int_I |f| + \int_I |g|$). L'application $f \mapsto \int_I |f|$ y joue le rôle d'une norme à la nuance près que $\int_I |f| = 0$ n'implique $f = 0$ que pour des fonctions continues (voir section 5) ; en général elle est « semi-norme » ($\int_I |f| = 0$ pour $f$ nulle hors d'un ensemble fini de points). Sur $\mathrm{L}^1$, l'intégrale $\int_I$ est une **forme linéaire positive**, et la convergence absolue est stable : si $|f| \leq g$ avec $g \in \mathrm{L}^1$, alors $f \in \mathrm{L}^1$. #### 5. Fonction positive d'intégrale nulle **Théorème** : si $f$ est **continue**, **intégrable** et **positive** sur $I$, et si $$\int_I f(t)\,dt = 0,$$ alors $f$ est **identiquement nulle** sur $I$. *Preuve* : par contraposée, si $f(x_0) > 0$ en un point $x_0 \in I$ (intérieur à $I$ ou point de continuité), la continuité fournit un sous-intervalle $[u, v] \subset I$ non réduit sur lequel $f \geq \frac{f(x_0)}{2} > 0$ ; alors $$\int_I f \geq \int_u^v f \geq (v - u)\,\frac{f(x_0)}{2} > 0,$$ contradiction. (Le résultat s'étend aux fonctions CPPM positives.) Application classique : si $\int_I |f| = 0$ pour $f$ continue, alors $f \equiv 0$ (appliquer le théorème à $|f|$, continue et positive). #### 6. Théorème de comparaison (domination asymptotique) Soient $f$ et $g$ CPPM sur $[a, +\infty[$ : - **si $f(t) = O(g(t))$ en $+\infty$ et si $g$ est intégrable en $+\infty$** (i.e. $\int_a^{+\infty} |g| < +\infty$), alors $f$ est **intégrable en $+\infty$** ; - **si $f \sim g$ en $+\infty$** (avec $g$ de signe constant au voisinage de $+\infty$), alors $f$ est intégrable en $+\infty$ **si et seulement si** $g$ l'est. *Preuve* : $f = O(g)$ donne $|f| \leq C|g|$ pour $t \geq A$ ; alors $\int_A^{+\infty} |f| \leq C \int_A^{+\infty} |g| < +\infty$ (domination) et $\int_a^A |f| < +\infty$ (fonction continue sur un segment), d'où l'intégrabilité de $f$. L'équivalence donne la domination dans les deux sens ($|f| \leq 2|g|$ et $|g| \leq 2|f|$ au voisinage de $+\infty$). *Application type* : pour décider de l'intégrabilité en $+\infty$ d'une fonction positive, on cherche un équivalent simple et on le compare aux fonctions de référence (section 7). #### 7. Fonctions de référence - **Riemann en $+\infty$** : $t \mapsto \frac{1}{t^{\alpha}}$ (sur $[1, +\infty[$) est intégrable si et seulement si $\alpha > 1$ : $\int_1^x \frac{dt}{t^{\alpha}} = \frac{x^{1-\alpha} - 1}{1 - \alpha}$ a une limite finie ssi $1 - \alpha < 0$ (et cas $\alpha = 1$ : $\ln x \to +\infty$). - **Riemann en $0^+$** : $t \mapsto \frac{1}{t^{\alpha}}$ (sur $]0, 1]$) est intégrable en $0^+$ si et seulement si $\alpha < 1$ : $\int_x^1 \frac{dt}{t^{\alpha}} = \frac{1 - x^{1-\alpha}}{1 - \alpha}$ a une limite finie ssi $1 - \alpha > 0$ (cas $\alpha = 1$ : $-\ln x \to +\infty$). - **Exponentielles** : $t \mapsto e^{-\alpha t}$ (sur $[1, +\infty[$) est intégrable en $+\infty$ pour $\alpha > 0$ : $\int_1^x e^{-\alpha t}\,dt = \frac{e^{-\alpha} - e^{-\alpha x}}{\alpha} \to \frac{e^{-\alpha}}{\alpha}$ (et non intégrable si $\alpha \leq 0$). - **Logarithme** : $t \mapsto \ln t$ (sur $]0, 1]$) est **intégrable en $0^+$** : $\int_x^1 \ln t\,dt = [-t\ln t + t]_x^1 \to -1$ (mais $t \mapsto \ln t$ n'est **pas** intégrable en $+\infty$). Règle pratique : à l'infini, tout est affaire de **croissances comparées** ($t^{\beta} e^{-\alpha t} \to 0$, $\frac{\ln t}{t^{\beta}} \to 0$ pour $\beta > 0$) ; en $0^+$, ce sont les **puissances** qui dominent le logarithme. #### 8. Exemple récapitulatif Étudions l'intégrabilité de $f(t) = \frac{1}{(1 + t)\sqrt{t}}$ sur $]0, +\infty[$. - **En $0^+$** : $f(t) \sim \frac{1}{\sqrt{t}}$, de la forme $\frac{1}{t^{\alpha}}$ avec $\alpha = \frac{1}{2} < 1$ : intégrable en $0^+$ (fonctions de référence). - **En $+\infty$** : $f(t) \sim \frac{1}{t\sqrt{t}} = \frac{1}{t^{3/2}}$, avec $\alpha = \frac{3}{2} > 1$ : intégrable en $+\infty$. - **Conclusion** : $f$ est intégrable sur $]0, +\infty[$ ($f$ est CPPM, et son intégrale est absolument convergente car $f \geq 0$), donc $f \in \mathrm{L}^1(]0, +\infty[, \mathbb{R})$.

Sommaire du cours

Teste-toi : 3 questions