Calcul différentiel

#### 1. Dérivée en un point selon un vecteur Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^p$, $f : \Omega \to \mathbb{R}$, $a \in \Omega$ et $v \in \mathbb{R}^p$ (avec $a + tv \in \Omega$ pour $t$ voisin de $0$). La **dérivée de $f$ en $a$ selon le vecteur $v$** est, lorsqu'elle existe, $$D_v f(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h v) - f(a)}{h} \in \mathbb{R}.$$ Elle se calcule en restreignant $f$ à la droite affine $a + \mathbb{R}v$ : c'est la dérivée usuelle de la fonction d'une variable $t \mapsto f(a + tv)$ en $t = 0$. Remarque : $D_v f(a)$ est **homogène en $v$** lorsque la différentielle existe ($D_{\lambda v} f(a) = \lambda D_v f(a)$), mais l'existence de $D_v f(a)$ pour tout $v$ ne suffit pas à faire de $v \mapsto D_v f(a)$ une forme linéaire. #### 2. Dérivées partielles d'ordre 1 Pour $v = e_i$ ($i$-ième vecteur de la base canonique de $\mathbb{R}^p$), la dérivée selon $e_i$ s'appelle la **dérivée partielle d'ordre 1** de $f$ en $a$ (par rapport à la $i$-ème variable) : $$\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = \partial_i f(a) = D_{e_i} f(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a_1, \ldots, a_i + h, \ldots, a_p) - f(a)}{h}.$$ Concrètement, on **gèle** les autres variables et on dérive la fonction d'une variable obtenue. Exemple : pour $f(x, y) = x^2 y + e^{xy}$ : $\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = 2xy + y e^{xy}$, $\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = x^2 + x e^{xy}$. #### 3. Classe $\mathcal{C}^1$ sur $\Omega$ Une fonction $f : \Omega \to \mathbb{R}$ est de **classe $\mathcal{C}^1$ sur $\Omega$** si ses dérivées partielles d'ordre $1$ **existent** en tout point de $\Omega$ et sont **continues** sur $\Omega$. On note $\mathcal{C}^1(\Omega, \mathbb{R})$ l'ensemble de ces fonctions. Exemples : toute fonction polynomiale ou rationnelle (définie là où le dénominateur ne s'annule pas) est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ donc $\mathcal{C}^1$ ; les restrictions de telles fonctions aussi. #### 4. Opérations sur les fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ L'ensemble $\mathcal{C}^1(\Omega, \mathbb{R})$ est stable par : - **combinaisons linéaires** : $\lambda f + \mu g$ ; - **produit** : $\frac{\partial (fg)}{\partial x_i} = \frac{\partial f}{\partial x_i} g + f\,\frac{\partial g}{\partial x_i}$ (règle de Leibniz, variable par variable) ; - **quotient** : $f/g$ est de classe $\mathcal{C}^1$ là où $g \neq 0$ ; - **composition « chaîne simple »** : si $\varphi : J \to \mathbb{R}^p$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur l'intervalle $J$ et $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert contenant $\varphi(J)$, alors $f \circ \varphi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $J$ et $$(f \circ \varphi)'(t) = \sum_{i=1}^{p} \frac{\partial f}{\partial x_i}(\varphi(t))\, \varphi_i'(t).$$ #### 5. Développement limité d'ordre 1 ; continuité **Théorème** : si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\Omega$ et $a \in \Omega$, alors $f$ admet en $a$ un **développement limité d'ordre $1$** : $$f(a + h) = f(a) + \sum_{i=1}^{p} \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)\, h_i + o\big(\|h\|\big) \quad (h \to 0, \ h \text{ petit}).$$ *Preuve (esquisse)* : par le théorème des accroissements finis à plusieurs variables — écrire $f(a + h) - f(a)$ comme somme des variations le long des axes (chemin en escalier), chaque variation étant contrôlée par une dérivée partielle continue. **Conséquence** : une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\Omega$ est **continue sur $\Omega$** (le DL d'ordre 1 donne $f(a + h) \to f(a)$ quand $h \to 0$). *Attention* : l'existence des dérivées partielles en un point ne suffit pas — la fonction $g(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ prolongée par $g(0,0) = 0$ admet des dérivées partielles en $(0,0)$ (toutes nulles) mais n'y est pas continue. #### 6. Différentielle de $f$ en $a$ **Définition** : si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\Omega$ et $a \in \Omega$, la **différentielle de $f$ en $a$**, notée $\mathrm{d}f(a)$, est la **forme linéaire** sur $\mathbb{R}^p$ : $$\mathrm{d}f(a) : h = (h_1, \ldots, h_p) \longmapsto \sum_{i=1}^{p} \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)\, h_i,$$ c'est-à-dire $\mathrm{d}f(a) \cdot h = \langle \nabla f(a), h \rangle$ où $\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_p}(a)\right)$ est le **gradient** de $f$ en $a$. Avec cette notation, le DL d'ordre 1 s'écrit $f(a + h) = f(a) + \mathrm{d}f(a)\cdot h + o(\|h\|)$, et $D_v f(a) = \mathrm{d}f(a)\cdot v$ pour tout vecteur $v$. *Exemple* : pour $f(x, y) = x^2 y$ en $a = (1, 0)$ : $\mathrm{d}f(a)\cdot(h_1, h_2) = 2xy|_a h_1 + x^2|_a h_2 = 0 \cdot h_1 + 1 \cdot h_2 = h_2$. #### 7. Exemple récapitulatif Soit $f(x, y) = x^2 y + e^{xy}$ sur $\Omega = \mathbb{R}^2$. - Dérivées partielles : $\partial_x f = 2xy + y e^{xy}$, $\partial_y f = x^2 + x e^{xy}$, continues sur $\mathbb{R}^2$ : $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ (même $\mathcal{C}^{\infty}$). - Différentielle en $a = (1, 0)$ : $\partial_x f(1,0) = 0$, $\partial_y f(1,0) = 1 + e^0 = 1 + 1 = 2$... par le calcul : $\partial_y f(1, 0) = 1^2 + 1 \cdot e^{0} = 2$. Donc $\mathrm{d}f(1, 0)\cdot(h_1, h_2) = 2 h_2$, et $$f(1 + h_1, h_2) = 1 + 2 h_2 + o(\|(h_1, h_2)\|).$$ - Dérivée selon $v = (1, 1)$ en $(1, 0)$ : $D_v f(1, 0) = \mathrm{d}f(1,0)\cdot(1,1) = 2$.

#### 1. Dérivabilité en un point Soient $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, $a \in I$ et $f : I \to \mathbb{R}^n$ (ou à valeurs dans un espace vectoriel normé). On dit que $f$ est **dérivable en $a$** si le **taux d'accroissement** $$\frac{f(t) - f(a)}{t - a}$$ admet une **limite finie** dans $\mathbb{R}^n$ lorsque $t \to a$, $t \neq a$ ; cette limite est la **dérivée** $f'(a)$ de $f$ en $a$. **Caractérisation par le DL d'ordre un** : $f$ est dérivable en $a$ si et seulement s'il existe un vecteur $v \in \mathbb{R}^n$ tel que $$f(t) = f(a) + (t - a)\, v + o(t - a) \quad (t \to a),$$ et alors $v = f'(a)$. (Le « $o$ » est pris pour la norme de $\mathbb{R}^n$.) **Traduction par les coordonnées** (dans la base canonique) : en notant $f = (f_1, \ldots, f_n)$, $$f \text{ dérivable en } a \iff f_1, \ldots, f_n \text{ dérivables en } a, \qquad \text{et alors } f'(a) = \begin{pmatrix} f_1'(a) \\ \vdots \\ f_n'(a) \end{pmatrix}.$$ La dérivation des fonctions vectorielles est donc une dérivation **coordonnée par coordonnée**. #### 2. Dérivabilité sur un intervalle ; interprétation cinématique $f$ est **dérivable sur $I$** si elle est dérivable en tout point de $I$ (dérivabilité à droite et à gauche aux extrémités le cas échéant) ; la fonction $t \mapsto f'(t)$ est la fonction dérivée. **Interprétation cinématique** : si $f(t)$ est la position à l'instant $t$ d'un point mobile dans l'espace, alors $f'(t)$ est le **vecteur vitesse** à l'instant $t$, et $\|f'(t)\|$ est la **vitesse scalaire**. Exemple : $f(t) = (R\cos(\omega t), R\sin(\omega t))$ (mouvement circulaire de rayon $R$, vitesse angulaire $\omega$) : $f'(t) = R\omega(-\sin(\omega t), \cos(\omega t))$ et $\|f'(t)\| = R\omega$ (vitesse constante). #### 3. Combinaison linéaire de fonctions dérivables Si $f, g : I \to \mathbb{R}^n$ sont dérivables en $a$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$, alors $\lambda f + \mu g$ est dérivable en $a$ et $$(\lambda f + \mu g)'(a) = \lambda f'(a) + \mu g'(a).$$ Les fonctions dérivables de $I$ dans $\mathbb{R}^n$ forment donc un sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions, et la dérivation est une application **linéaire** sur cet espace (vers les fonctions dérivées). #### 4. Dérivée de $L(f)$, $L$ linéaire **Théorème** : si $L : \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^n$ est **linéaire** et si $f : I \to \mathbb{R}^p$ est dérivable en $a$, alors $L \circ f$ est dérivable en $a$ et $$(L \circ f)'(a) = L\big(f'(a)\big).$$ *Preuve* : le DL de $f$ en $a$, combiné à la linéarité (qui transforme le $o(t-a)$ par linéarité et donne $L(hv) = h\,L(v)$), donne $L(f(t)) = L(f(a)) + (t - a)\, L(f'(a)) + o(t - a)$. *Exemple* : pour $f(t) = (x(t), y(t))$ et $L = $ produit par une matrice fixe $A$ : $(Af)'(t) = A\,f'(t)$. #### 5. Dérivée d'une expression bilinéaire ou $p$-linéaire **Théorème** : si $B : \mathbb{R}^p \times \mathbb{R}^q \to \mathbb{R}^r$ est **bilinéaire** (ou **continument bilinéaire**) et si $f : I \to \mathbb{R}^p$, $g : I \to \mathbb{R}^q$ sont dérivables en $a$, alors $B(f, g)$ est dérivable en $a$ et $$\big(B(f, g)\big)'(a) = B\big(f'(a), g(a)\big) + B\big(f(a), g'(a)\big).$$ *Preuve (idée)* : écrire $B(f(t), g(t)) - B(f(a), g(a)) = B(f(t) - f(a), g(t)) + B(f(a), g(t) - g(a))$ et diviser par $t - a$ en utilisant la bilinéarité et la bornitude locale. **Cas $p$-linéaire** : pour $M$ **$p$-linéaire** et $f_1, \ldots, f_p$ dérivables : $$\big(M(f_1, \ldots, f_p)\big)' = \sum_{i=1}^{p} M(f_1, \ldots, f_i', \ldots, f_p)$$ (dérivée « à la Leibniz », une dérivée par emplacement). **Applications** : - **Produit scalaire** : si $f, g : I \to \mathbb{R}^n$ sont dérivables, $$\big(\langle f, g \rangle\big)' = \langle f', g \rangle + \langle f, g' \rangle ;$$ en particulier $\big(\|f\|^2\big)' = 2\langle f', f \rangle$ : si $\|f\|$ est constante (mouvement circulaire), alors $f'(t) \perp f(t)$ pour tout $t$. - **Déterminant** : si $f_1, \ldots, f_n : I \to \mathbb{R}^n$ sont dérivables, $$\big(\det(f_1, \ldots, f_n)\big)' = \sum_{i=1}^{n} \det(f_1, \ldots, f_i', \ldots, f_n)$$ (dérivée du **wronskien**). Exemple : pour un système fondamental de solutions d'une équation différentielle linéaire, $\det(f_1, \ldots, f_n)$ est soit constamment nul, soit jamais nul (formule de Liouville). #### 6. Dérivée de $f \circ \varphi$ (composée scalaire-vectorielle) **Théorème** : si $\varphi : I \to \mathbb{R}$ est dérivable en $t_0$ (à valeurs **réelles**) et si $f : J \to \mathbb{R}^n$ est dérivable en $\varphi(t_0)$ (avec $\varphi(I) \subset J$), alors $f \circ \varphi : I \to \mathbb{R}^n$ est dérivable en $t_0$ et $$(f \circ \varphi)'(t_0) = \varphi'(t_0)\, f'\big(\varphi(t_0)\big).$$ La dérivée de la composée est le produit de la dérivée scalaire par le vecteur dérivé. *Preuve* : composer les DL $f(y) = f(y_0) + (y - y_0) f'(y_0) + o(y - y_0)$ et $\varphi(t) = \varphi(t_0) + (t - t_0)\varphi'(t_0) + o(t - t_0)$. *Exemple* : $f(t) = (\cos t, \sin t)$ et $\varphi(u) = u^2$ : $(f \circ \varphi)(u) = (\cos u^2, \sin u^2)$ et $(f \circ \varphi)'(u) = 2u\,(-\sin u^2, \cos u^2)$. #### 7. Fonction de classe $\mathcal{C}^k$ sur un intervalle $f : I \to \mathbb{R}^n$ est de **classe $\mathcal{C}^1$** sur $I$ si $f$ est dérivable sur $I$ et si $f'$ est **continue** sur $I$ ; de classe $\mathcal{C}^k$ si les dérivées successives $f', f'', \ldots, f^{(k)}$ existent et sont continues sur $I$ ; $\mathcal{C}^{\infty}$ si c'est vrai pour tout $k$. **Caractérisation par les coordonnées** : $f$ est de classe $\mathcal{C}^k$ sur $I$ si et seulement si ses fonctions coordonnées $f_1, \ldots, f_n$ sont de classe $\mathcal{C}^k$ sur $I$ (les dérivées se calculant coordonnée par coordonnée). Tous les théorèmes ci-dessus (combinaisons linéaires, $L(f)$, $B(f,g)$, $M(f_1, \ldots, f_p)$, $f \circ \varphi$) restent valables en remplaçant « dérivable » par « de classe $\mathcal{C}^k$ ». #### 8. Exemple récapitulatif Soit $f(t) = (\cos t, \sin t)$ et $g(t) = (\cos 2t, \sin 2t)$ sur $\mathbb{R}$. - $f$ et $g$ sont de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ (coordonnées $\mathcal{C}^{\infty}$), avec $f'(t) = (-\sin t, \cos t)$, $g'(t) = (-2\sin 2t, 2\cos 2t)$. - **Produit scalaire** : $\langle f(t), g(t) \rangle = \cos t \cos 2t + \sin t \sin 2t = \cos t$ (formule de linéarisation). Par la formule bilinéaire : $\big(\langle f, g \rangle\big)'(t) = \langle f'(t), g(t) \rangle + \langle f(t), g'(t) \rangle = (-\sin t \cos 2t + \cos t \sin 2t) + (-2\cos t \sin 2t + 2\sin t \cos 2t) =$ $\sin t \cos 2t - \cos t \sin 2t = \sin(t - 2t) = -\sin t$, cohérent avec $(\cos t)' = -\sin t$. - **Déterminant** : $\det(f(t), f'(t)) = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$ (aire algébrique du parallélogramme position-vitesse, constante pour un cercle parcouru à vitesse unitaire). - **Composée** : $f \circ (t \mapsto 2t) = g$, et $(f \circ (2\,\mathrm{id}))'(t) = 2\,f'(2t) = g'(t)$ : on retrouve la dérivée de $g$.

#### 1. Dérivée de $t \mapsto f(x_1(t), \ldots, x_p(t))$ Soit $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{R}^p$, et $x_1, \ldots, x_p$ des fonctions dérivables sur un intervalle $I$ telles que $x(t) = (x_1(t), \ldots, x_p(t)) \in \Omega$ pour tout $t \in I$. Alors la composée $g = f \circ x$ est **dérivable** sur $I$ et $$g'(t) = \sum_{i=1}^{p} \frac{\partial f}{\partial x_i}\big(x(t)\big)\, x_i'(t) = \mathrm{d}f\big(x(t)\big) \cdot x'(t).$$ *Preuve* : le développement limité d'ordre 1 de $f$ en $x(t)$ donne $f(x(t + h)) - f(x(t)) = \mathrm{d}f(x(t))\big(x(t+h) - x(t)\big) + o(\|x(t+h) - x(t)\|)$, et $x(t+h) - x(t) = h\,x'(t) + o(h)$, d'où le résultat en divisant par $h$. #### 2. Application : dérivées partielles de la composée Soient $\Omega \subset \mathbb{R}^p$ ouvert, $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\Omega$, et $x_1, \ldots, x_p$ des fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert $\Omega'$ de $\mathbb{R}^n$ à valeurs dans un domaine où $f$ est définie. La fonction $$g : (u_1, \ldots, u_n) \longmapsto f\big(x_1(u_1, \ldots, u_n), \ldots, x_p(u_1, \ldots, u_n)\big)$$ est de **classe $\mathcal{C}^1$** sur $\Omega'$ et ses dérivées partielles s'obtiennent par $$\frac{\partial g}{\partial u_j}(u) = \sum_{i=1}^{p} \frac{\partial f}{\partial x_i}\big(x(u)\big)\, \frac{\partial x_i}{\partial u_j}(u), \qquad 1 \leq j \leq n.$$ En termes matriciels, la jacobienne de $g \circ x$ est le **produit des jacobiennes** de $f$ et de $x$ (on dérive par rapport à chaque variable $u_j$, les autres étant gelées). #### 3. Cas particulier des coordonnées polaires Pour $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ ($r > 0$, $\theta \in \mathbb{R}$), posons $g(r, \theta) = f(r\cos\theta, r\sin\theta)$. La règle de la chaîne donne $$\frac{\partial g}{\partial r} = \cos\theta\,\frac{\partial f}{\partial x} + \sin\theta\,\frac{\partial f}{\partial y}, \qquad \frac{\partial g}{\partial \theta} = -r\sin\theta\,\frac{\partial f}{\partial x} + r\cos\theta\,\frac{\partial f}{\partial y},$$ et en inversant le système (pour $r > 0$) : $$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos\theta\,\frac{\partial g}{\partial r} - \frac{\sin\theta}{r}\,\frac{\partial g}{\partial \theta}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = \sin\theta\,\frac{\partial g}{\partial r} + \frac{\cos\theta}{r}\,\frac{\partial g}{\partial \theta}.$$ On en déduit notamment $$\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2 = \left(\frac{\partial g}{\partial r}\right)^2 + \frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial g}{\partial \theta}\right)^2.$$ #### 4. Caractérisation des fonctions constantes sur un ouvert convexe **Théorème** : soit $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert **convexe** $\Omega$ de $\mathbb{R}^p$. Alors $$f \text{ est constante sur } \Omega \iff \mathrm{d}f(a) = 0 \text{ pour tout } a \in \Omega \iff \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = 0 \ \forall i, \forall a.$$ *Preuve* : pour $a, b \in \Omega$, le segment $[a, b]$ est inclus dans $\Omega$ (convexité) ; la fonction $\varphi(t) = f(a + t(b - a))$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0, 1]$ avec $\varphi'(t) = \mathrm{d}f(a + t(b-a)) \cdot (b - a)$ (règle de la chaîne). Si $\mathrm{d}f \equiv 0$, alors $\varphi' \equiv 0$, donc $f(b) - f(a) = \varphi(1) - \varphi(0) = 0$ : $f$ est constante. Réciproquement, une fonction constante a toutes ses dérivées nulles. **Attention** : la convexité est essentielle — sur l'ouvert non convexe $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$, la fonction $f(x, y) = \arctan(y/x)$ (argument) a toutes ses dérivées partielles nulles localement... (elle est localement constante sur chaque demi-droite mais pas globalement constante). #### 5. Exemple récapitulatif Soit $f(x, y) = x^2 y$ et $x(t) = t^2$, $y(t) = t$ : $g(t) = f(x(t), y(t)) = t^4 \cdot t = t^5$ et $g'(t) = 5t^4$. La règle de la chaîne donne $g'(t) = 2x(t)y(t)\cdot 2t + x(t)^2 \cdot 1 = 4t^4 + t^4 = 5t^4$ : cohérent. Pour les polaires : $f(x, y) = x^2 + y^2$ devient $g(r, \theta) = r^2$, donc $\frac{\partial g}{\partial r} = 2r$, $\frac{\partial g}{\partial \theta} = 0$, et les formules inverses redonnent $\frac{\partial f}{\partial x} = \cos\theta \cdot 2r = 2x$ : cohérent avec $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x$.

#### 1. Définition du gradient par ses coordonnées Dans $\mathbb{R}^p$ muni de sa **structure euclidienne canonique** (produit scalaire $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{p} x_i y_i$), toute forme linéaire sur $\mathbb{R}^p$ s'écrit de manière unique $h \mapsto \langle v, h \rangle$ pour un vecteur $v$. Pour $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{R}^p$ et $a \in \Omega$, la différentielle $\mathrm{d}f(a)$ étant une forme linéaire, il existe un unique vecteur $v$ tel que $\mathrm{d}f(a)\cdot h = \langle v, h \rangle$ pour tout $h$ : c'est le **gradient** de $f$ en $a$, défini par ses coordonnées $$\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \; \frac{\partial f}{\partial x_2}(a), \; \ldots, \; \frac{\partial f}{\partial x_p}(a)\right).$$ On note $\nabla f(a)$ (ou $\overrightarrow{\mathrm{grad}}\, f(a)$) ce vecteur de $\mathbb{R}^p$. #### 2. Relation $\mathrm{d}f(a)\cdot h = \langle \nabla f(a), h \rangle$ Par définition du gradient, pour tout $h = (h_1, \ldots, h_p) \in \mathbb{R}^p$ : $$\mathrm{d}f(a)\cdot h = \sum_{i=1}^{p} \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)\, h_i = \langle \nabla f(a), h \rangle.$$ En particulier, pour $h = v$ : $D_v f(a) = \mathrm{d}f(a)\cdot v = \langle \nabla f(a), v \rangle$ — la dérivée selon un vecteur quelconque s'obtient par produit scalaire avec le gradient. #### 3. Interprétation géométrique Si $\nabla f(a) \neq 0$, alors pour tout vecteur unitaire $v$ ($\|v\| = 1$) : $$D_v f(a) = \langle \nabla f(a), v \rangle = \|\nabla f(a)\| \cos(\widehat{\nabla f(a), v}) \leq \|\nabla f(a)\|,$$ avec **égalité si et seulement si $v = \frac{\nabla f(a)}{\|\nabla f(a)\|}$**. Autrement dit : - la dérivée de $f$ en $a$ est **maximale** selon le vecteur unitaire **colinéaire et de même sens** que $\nabla f(a)$, la valeur maximale étant $\|\nabla f(a)\|$ ; - elle est **minimale** (valeur $-\|\nabla f(a)\|$) selon le vecteur opposé ; - elle est **nulle** selon les vecteurs orthogonaux à $\nabla f(a)$ : la droite de direction orthogonale au gradient est la tangente à la **courbe (ou surface) de niveau** $\{x \mid f(x) = f(a)\}$. Si $\nabla f(a) = 0$ ($a$ point critique), toutes les dérivées directionnelles sont nulles. #### 4. Exemple récapitulatif Soit $f(x, y) = x^2 + y^2$ sur $\mathbb{R}^2$ : $\nabla f(x, y) = (2x, 2y)$, donc $\nabla f(1, 1) = (2, 2)$. La dérivée en $(1, 1)$ selon $v = (0, 1)$ vaut $D_v f(1,1) = \langle (2,2), (0,1) \rangle = 2$ ; elle est maximale selon $v = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)$ (valeur $\|\nabla f(1,1)\| = 2\sqrt{2}$) et nulle selon $v = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -1)$, orthogonal au gradient — cohérent : $v$ est tangent au cercle de niveau $x^2 + y^2 = 2$ passant par $(1, 1)$.

#### 1. Dérivées partielles d'ordre 2 et notations Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^p$ et $f : \Omega \to \mathbb{R}$ admettant des dérivées partielles d'ordre 1. Les **dérivées partielles d'ordre 2** de $f$ en $a$ sont les dérivées partielles en $a$ des fonctions $\partial_j f$, lorsqu'elles existent : $$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a) = \frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{\partial f}{\partial x_j}\right)(a), \qquad 1 \leq i, j \leq p.$$ La notation $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a)$ se lit « dérivée de $\frac{\partial f}{\partial x_j}$ par rapport à $x_i$ » : on dérive d'abord selon $x_j$, puis selon $x_i$. Les dérivées avec $i = j$ sont $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}(a)$ ; les autres sont dites **croisées**. On note aussi $\partial_{ij}^2 f(a)$ ou $\partial_{i,j} f(a)$. #### 2. Fonction de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert $f$ est de **classe $\mathcal{C}^2$ sur $\Omega$** si ses dérivées partielles d'ordre 2 existent en tout point de $\Omega$ et sont **continues** sur $\Omega$ (ce qui équivaut à : toutes les dérivées partielles d'ordres $1$ et $2$ existent et sont continues). Les fonctions de classe $\mathcal{C}^2$ sont stables par combinaisons linéaires, produit, quotient (dénominateur non nul) et composition chaîne simple. #### 3. Théorème de Schwarz **Théorème** : si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\Omega$, alors pour tous $i, j$ et tout $a \in \Omega$ : $$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}(a),$$ c'est-à-dire que les dérivées croisées **ne dépendent pas de l'ordre des dérivations**. Ce théorème garantit la symétrie de la matrice hessienne (section 4) et se généralise aux fonctions de classe $\mathcal{C}^k$. #### 4. Matrice hessienne en un point Pour $f$ de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\Omega$ et $a \in \Omega$, la **matrice hessienne** de $f$ en $a$ est la matrice des dérivées partielles secondes, notée $$\mathrm{H}_f(a) = \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a)\right)_{1 \leq i, j \leq p}.$$ Elle est **symétrique** (théorème de Schwarz). Sa forme quadratique associée est $h \mapsto h^{\mathsf{T}}\, \mathrm{H}_f(a)\, h = \mathrm{d}^2 f(a)(h, h)$. #### 5. Formule de Taylor-Young à l'ordre 2 **Théorème** : si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\Omega$ et $a \in \Omega$, alors pour $h$ petit : $$f(a + h) = f(a) + \mathrm{d}f(a)(h) + \frac{1}{2}\, \mathrm{d}^2 f(a)(h, h) + o(\|h\|^2) \quad (h \to 0).$$ **Expression en termes de produit scalaire** : en notant $\nabla f(a)$ le gradient de $f$ en $a$, $$\mathrm{d}f(a)(h) = \langle \nabla f(a), h \rangle \quad \text{et} \quad \frac{1}{2}\, \mathrm{d}^2 f(a)(h, h) = \frac{1}{2}\, \langle \mathrm{H}_f(a)\, h, h \rangle = \frac{1}{2}\, \langle h, \mathrm{H}_f(a)\, h \rangle,$$ de sorte que la formule s'écrit $$f(a + h) = f(a) + \langle \nabla f(a), h \rangle + \frac{1}{2}\, \langle \mathrm{H}_f(a)\, h, h \rangle + o(\|h\|^2).$$ #### 6. Exemple récapitulatif Soit $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$ sur $\mathbb{R}^2$. Dérivées partielles d'ordre 1 : $\partial_x f = 3x^2 - 3y$, $\partial_y f = 3y^2 - 3x$ ; d'ordre 2 : $\partial_{xx}^2 f = 6x$, $\partial_{xy}^2 f = -3$, $\partial_{yy}^2 f = 6y$, toutes continues : $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$. En $a = (1, 1)$ (point critique : $\nabla f(1, 1) = 0$) : $\mathrm{H}_f(1, 1) = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}$, symétrique (Schwarz), définie positive (valeurs propres $3$ et $9$), et Taylor-Young donne $f(1 + h, 1 + k) = -1 + \frac{1}{2}(6h^2 - 6hk + 6k^2) + o(h^2 + k^2) = -1 + 3h^2 - 3hk + 3k^2 + o(\|(h,k)\|^2)$ : minimum local strict.

#### 1. Extremum local, extremum global Soient $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^p$, $f : \Omega \to \mathbb{R}$ et $a \in \Omega$. $f$ admet en $a$ un **maximum local** (resp. **minimum local**) s'il existe un voisinage $V$ de $a$ dans $\Omega$ tel que $f(x) \leq f(a)$ (resp. $f(x) \geq f(a)$) pour tout $x \in V$ ; l'extremum est **strict** si l'inégalité est stricte pour $x \neq a$. Si $D \subset \Omega$, $f$ admet un **maximum global** (resp. **minimum global**) sur $D$ en $a \in D$ si $f(x) \leq f(a)$ (resp. $\geq$) pour tout $x \in D$. #### 2. Point critique d'une application de classe $\mathcal{C}^1$ Pour $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur l'ouvert $\Omega$, un point $a \in \Omega$ est un **point critique** de $f$ si $\mathrm{d}f(a) = 0$, de manière équivalente si $\nabla f(a) = 0$ (toutes les dérivées partielles sont nulles en $a$). #### 3. Condition nécessaire : extremum implique point critique **Théorème** : si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur l'ouvert $\Omega$ et admet un **extremum local** en $a \in \Omega$, alors $a$ est un **point critique** de $f$. *Preuve* : $D_{e_i} f(a) = 0$ pour chaque dérivée partielle, car $t \mapsto f(a + t e_i)$ admet un extremum en $t = 0$ (dérivée nulle d'une fonction d'une variable en un extremum intérieur). **Attention** : la réciproque est fausse (un point critique peut être un point col, par exemple $f(x, y) = x^2 - y^2$ en $(0, 0)$). #### 4. Conditions du second ordre via la hessienne Soit $f$ de **classe $\mathcal{C}^2$** sur $\Omega$ et $a$ un **point critique** de $f$. On note $\mathrm{H}_f(a)$ la hessienne de $f$ en $a$, $\mathcal{S}_p^{++}(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices symétriques réelles **définies positives** et $\mathcal{S}_p^{+}(\mathbb{R})$ celles **positives** (semi-définies positives) : - **Si $\mathrm{H}_f(a) \in \mathcal{S}_p^{++}(\mathbb{R})$** (définie positive), alors $f$ atteint un **minimum local strict** en $a$ ; - **Si $\mathrm{H}_f(a) \notin \mathcal{S}_p^{+}(\mathbb{R})$** (non positive), alors $f$ **n'a pas de minimum local** en $a$. **Adaptation à un maximum local** : si $\mathrm{H}_f(a) \in \mathcal{S}_p^{--}(\mathbb{R})$ (définie négative), $f$ atteint un **maximum local strict** en $a$ ; si $\mathrm{H}_f(a) \notin \mathcal{S}_p^{-}(\mathbb{R})$ (non négative), $f$ **n'a pas de maximum local** en $a$. Lorsque la hessienne est semi-définie sans être définie, **on ne peut pas conclure** par ce critère. *Preuve (cas du minimum strict)* : le DL d'ordre 2 donne $f(a + h) = f(a) + \frac{1}{2}\, h^{\mathsf{T}} \mathrm{H}_f(a)\, h + o(\|h\|^2)$ ; si $\mathrm{H}_f(a)$ est définie positive, $h^{\mathsf{T}} \mathrm{H}_f(a) h \geq \lambda_{\min}\|h\|^2$ avec $\lambda_{\min} > 0$, donc $f(a + h) \geq f(a) + \frac{\lambda_{\min}}{2}\|h\|^2 - \varepsilon(h)\|h\|^2 > f(a)$ pour $h$ petit non nul. #### 5. Explicitation pour $p = 2$ (trace et déterminant) Pour $p = 2$, avec $\mathrm{H}_f(a) = \begin{pmatrix} r & s \\ s & t \end{pmatrix}$ symétrique, on note $\mathrm{tr} = r + t$ (trace) et $\Delta = rt - s^2$ (déterminant). Les valeurs propres sont réelles de produit $\Delta$ et de somme $\mathrm{tr}$, d'où : - $\Delta > 0$ et $\mathrm{tr} > 0$ : valeurs propres $> 0$, hessienne définie positive $\Rightarrow$ **minimum local strict** ; - $\Delta > 0$ et $\mathrm{tr} < 0$ : valeurs propres $< 0$, hessienne définie négative $\Rightarrow$ **maximum local strict** ; - $\Delta < 0$ : valeurs propres de signes opposés, point **col** (pas d'extremum) ; - $\Delta = 0$ : **on ne peut pas conclure** par ce critère (étude directe nécessaire). #### 6. Exemples de recherche d'extremums globaux sur une partie de $\mathbb{R}^p$ **Méthode** : pour chercher les extremums globaux de $f$ sur une partie $D$ (par exemple fermée bornée), on (1) résout $\nabla f = 0$ à l'intérieur de $D$ et discute les points critiques via la hessienne, (2) étudie $f$ sur le **bord** de $D$ (paramétrage ou réduction à des fonctions d'une variable), (3) compare les valeurs obtenues (le théorème des bornes atteintes garantit l'existence sur un fermé borné). *Exemple* : $f(x, y) = x^2 + y^2 - xy$ sur $D = [0, 1] \times [0, 1]$. Points critiques : $\partial_x f = 2x - y = 0$, $\partial_y f = 2y - x = 0$ donnent $(0, 0)$ ; hessienne $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ : $\Delta = 3 > 0$, $\mathrm{tr} = 4 > 0$ $\Rightarrow$ **minimum local strict**, $f(0, 0) = 0$. Sur le bord de $D$ : $f \in [0, 1]$ avec maxima $f(1, 0) = f(1, 1) = 1$. **Conclusion** : minimum global $0$ en $(0, 0)$, maximum global $1$ en $(1, 0)$ et $(1, 1)$ (théorème des bornes atteintes : $D$ est fermé borné).

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