Comparaison des normes

Sommaire du cours

#### 1. Normes équivalentes Deux normes $N$ et $N'$ sur un même espace vectoriel $E$ sont **équivalentes** (noté $N \sim N'$) s'il existe $\alpha, \beta > 0$ telles que $$\alpha\, N(x) \leq N'(x) \leq \beta\, N(x) \quad \text{pour tout } x \in E.$$ C'est une relation d'équivalence sur l'ensemble des normes de $E$ (réflexive, symétrique, transitive). Intuition : les deux normes « voient » la géométrie de $E$ à des déformations homothétiques près. #### 2. Invariance du caractère borné et de la convergence **Théorème** : si $N$ et $N'$ sont équivalentes, alors : - une partie de $E$ est **bornée pour $N$** si et seulement si elle est bornée pour $N'$ (l'inégalité $\alpha N \leq N' \leq \beta N$ transmet les majorations) ; - une suite de $E$ **converge pour $N$** si et seulement si elle converge pour $N'$, et **vers la même limite** ($\|u_n - \ell\| \to 0 \iff N'(u_n - \ell) \to 0$). Autrement dit, la convergence, la bornitude et la continuité sont des notions **topologiques**, inchangées quand on remplace une norme par une norme équivalente. #### 3. Utilisation de suites pour montrer que deux normes ne sont pas équivalentes **Critère** : s'il existe une suite $(u_n)$ qui converge (ou est bornée) pour l'une des normes mais **pas** pour l'autre, alors les normes ne sont pas équivalentes. Exemple fondamental sur $\mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})$ muni de $\|f\|_\infty = \sup_{[0,1]}|f|$ et $\|f\|_1 = \int_0^1 |f(t)|\,dt$ : la suite $f_n(t) = t^n$ vérifie $$\|f_n\|_1 = \frac{1}{n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \quad \text{mais} \quad \|f_n\|_\infty = 1 \text{ pour tout } n.$$ La suite converge vers $0$ pour $\|\cdot\|_1$ mais pas pour $\|\cdot\|_\infty$ : les deux normes **ne sont pas équivalentes** (et $f_n$ est bornée pour les deux, mais sa limite pour $\|\cdot\|_1$ n'est pas une limite pour $\|\cdot\|_\infty$). **Remarque** : sur un espace vectoriel de **dimension finie**, toutes les normes sont équivalentes (théorème admis) — c'est pourquoi ce type de contre-exemple vit toujours en dimension infinie. #### 4. Comparaison effective de deux normes Des comparaisons **effectives** (avec constantes explicites) donnent l'équivalence : - Sur $\mathbb{K}^n$, pour $x = (x_1, \ldots, x_n)$ : $$\|x\|_\infty \leq \|x\|_2 \leq \|x\|_1 \leq n\,\|x\|_\infty, \qquad \|x\|_2 \leq \sqrt{n}\,\|x\|_\infty.$$ *Preuves rapides* : $\|x\|_\infty^2 = \max_i |x_i|^2 \leq \sum_i |x_i|^2 = \|x\|_2^2$ ; $\|x\|_2^2 = \sum_i |x_i|^2 \leq \left(\sum_i |x_i|\right)^2 = \|x\|_1^2$ ; $\|x\|_1 = \sum_i |x_i| \leq n \max_i |x_i| = n\|x\|_\infty$. - Sur $\mathcal{B}([0,1], \mathbb{K})$ : $\|f\|_1 = \int_0^1 |f(t)|\,dt \leq \int_0^1 \|f\|_\infty \,dt = \|f\|_\infty$, donc $\|f\|_1 \leq \|f\|_\infty$ — mais l'inégalité inverse n'existe pas (section 3) : les normes ne sont pas équivalentes sur cet espace de dimension infinie. - Sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ (normes induites de $\mathbb{K}^{n^2}$) : mêmes encadrements que sur $\mathbb{K}^{n^2}$, avec les constantes $n^2$ : $\|\cdot\|_\infty \leq \|\cdot\|_2 \leq \|\cdot\|_1 \leq n^2 \|\cdot\|_\infty$. **Utilisation typique** : pour montrer qu'une suite converge dans $(\mathbb{K}^n, \|\cdot\|_2)$, il suffit de la montrer dans $(\mathbb{K}^n, \|\cdot\|_\infty)$ (et réciproquement), puisque les normes sont équivalentes. #### 5. Exemple récapitulatif Dans $\mathbb{R}^2$, pour $x = (3, 4)$ : $\|x\|_1 = 7$, $\|x\|_2 = 5$, $\|x\|_\infty = 4$. Les encadrements $\|x\|_\infty \leq \|x\|_2 \leq \|x\|_1 \leq 2\|x\|_\infty$ donnent $4 \leq 5 \leq 7 \leq 8$ : tout est cohérent, et les trois normes sont équivalentes (dimension finie). Sur $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$, la suite $f_n(t) = t^n$ montre en revanche que $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_\infty$ ne sont pas équivalentes : une même suite peut converger dans une norme et diverger dans l'autre.

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Question 1/3

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