Compléments sur les séries numériques

#### 1. Technique de comparaison série-intégrale Soit $f : [n_0, +\infty[ \to \mathbb{R}_+$ **positive, décroissante et continue**. Alors, pour $n \geq n_0$ : $$\int_{n_0+1}^{n+1} f(t)\,dt \;\leq\; \sum_{k=n_0+1}^{n} f(k) \;\leq\; \int_{n_0}^{n} f(t)\,dt.$$ *Preuve* : sur $[k-1, k]$, $f(t) \geq f(k)$, donc $\int_{k-1}^{k} f \geq f(k)$ ; sur $[k, k+1]$, $f(t) \leq f(k)$, donc $\int_k^{k+1} f \leq f(k)$ ; on somme ces encadrements. **Conséquence** : la série $\sum f(k)$ converge si et seulement si l'intégrale $\int f$ converge. Application : la **série de Riemann** $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$ ; pour $\alpha = 1$, $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln n \to \gamma$ (constante d'Euler). #### 2. Formule de Stirling $$n! \;\sim\; \sqrt{2\pi n}\,\left(\frac{n}{e}\right)^n \quad (n \to +\infty),$$ c'est-à-dire $\ln(n!) = n\ln n - n + \frac{1}{2}\ln(2\pi n) + o(1)$ (démonstration typique via les intégrales de Wallis, admise ici). **Utilisations** : obtenir des équivalents et des $\mathcal{O}$ pour les termes généraux, par exemple $\binom{2n}{n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$, ou étudier les séries dont le terme fait intervenir $n!$, $u^n/n!$, coefficients binomiaux, etc. #### 3. Règle de d'Alembert Soit $\sum u_n$ une série à termes **strictement positifs** telle que $\frac{u_{n+1}}{u_n} \to \ell$. - Si $\ell < 1$ : la série **converge** (absolument). - Si $\ell > 1$ : la série **diverge** (grossièrement, $u_{n+1} \geq u_n$ à partir d'un rang, le terme général ne tend pas vers $0$). - Si $\ell = 1$ : **on ne peut pas conclure** ($\sum \frac{1}{n}$ diverge, $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, avec $\ell = 1$ dans les deux cas). *Idée de preuve* (cas $\ell < 1$) : soit $q$ avec $\ell < q < 1$ ; à partir d'un rang $N$, $u_{n+1} \leq q\,u_n$, donc $u_n \leq u_N q^{n-N}$ : comparaison à une série géométrique. #### 4. Théorème spécial des séries alternées **Théorème** : soit $(u_n)$ une suite **réelle positive, décroissante, de limite nulle**. Alors la série alternée $\sum (-1)^n u_n$ **converge**. De plus, si $R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} (-1)^k u_k$ désigne le reste d'ordre $n$ : $$|R_n| \leq u_{n+1} \quad \text{et} \quad R_n \text{ est du \textbf{signe du premier terme négligé}} \ ((-1)^{n+1} u_{n+1}).$$ *Preuve* : les sommes partielles d'indices pairs et impairs encadrent $S$ ; le reste vérifie $R_n = (-1)^{n+1}(u_{n+1} - u_{n+2} + \cdots)$, la parenthèse étant positive (croissances des sommes alternées) et majorée par $u_{n+1}$. Exemple : $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ converge, de reste de signe $(-1)^{n+1}$ et $|R_n| \leq \frac{1}{n+1}$. #### 5. Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes Le **produit de Cauchy** de $\sum_{n \geq 0} a_n$ et $\sum_{n \geq 0} b_n$ est la série $\sum_{n \geq 0} c_n$ avec $c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}$. **Théorème** : si $\sum a_n$ et $\sum b_n$ sont **absolument convergentes**, alors $\sum c_n$ est **absolument convergente** et $$\sum_{n \geq 0} c_n = \left(\sum_{n \geq 0} a_n\right)\left(\sum_{n \geq 0} b_n\right).$$ *Idée de preuve* : pour les sommes partielles, $\sum_{n=0}^{N} c_n$ est la somme des $a_k b_j$ avec $k + j \leq N$ (triangle) ; par convergence absolue, les termes $\sum |a_k b_j|$ sur le carré $n, m \leq N$ tendent vers $\left(\sum|a_n|\right)\left(\sum|b_n|\right)$ (produit de sommes finies, puis passage à la limite), ce qui contrôle le passage du triangle au carré. Exemple : $\left(\sum \frac{x^n}{n!}\right)\left(\sum \frac{y^n}{n!}\right) = \sum \frac{(x+y)^n}{n!}$, d'où $e^x e^y = e^{x+y}$. #### 6. Estimation des sommes partielles et des restes (fonction monotone) Grâce à la comparaison série-intégrale, pour $f$ positive décroissante continue : - **Séries divergentes** (sommes partielles) : $\sum_{k=1}^{n} f(k) = \int_1^{n} f(t)\,dt + C + o(1)$ pour une constante $C$. Exemple : $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \ln n + \gamma + o(1)$ où $\gamma \approx 0{,}577$ est la constante d'Euler. - **Séries convergentes** (restes) : pour $f$ positive décroissante continue, $$\int_{n+1}^{+\infty} f(t)\,dt \;\leq\; R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} f(k) \;\leq\; \int_{n}^{+\infty} f(t)\,dt,$$ et on en déduit des **équivalents de restes** : pour $f(t) = \frac{1}{t^2}$, $R_n \sim \frac{1}{n}$ ; pour $f(t) = \frac{1}{t \ln^2 t}$, $R_n \sim \frac{1}{\ln n}$. Ces estimations permettent de choisir $n$ pour atteindre une précision donnée. #### 7. Transformation d'Abel **Sommation par parties** : pour des suites $(a_k)$, $(b_k)$ et $A_k = \sum_{j=0}^{k} a_j$ : $$\sum_{k=0}^{n} a_k b_k = A_n b_n + \sum_{k=0}^{n-1} A_k (b_k - b_{k+1}).$$ **Conséquences (critères d'Abel et de Dirichlet)** : la série $\sum a_n b_n$ converge si - les sommes partielles $A_n$ sont **bornées**, $b_n \to 0$ et $(b_n)$ décroît vers $0$ (**Dirichlet**) — exemple : $\sum \frac{z^n}{n}$ converge pour $|z| = 1$, $z \neq 1$, car $|\sum_{k \leq n} z^k|$ est bornée ; - $\sum a_n$ **converge** et $(b_n)$ est monotone bornée (**Abel**). **Transformation d'Abel au sens fort** : si $\sum a_n$ converge, alors $\sum a_n x^n$ converge **uniformément sur $[0, 1]$** (on écrit $a_n x^n = a_n(1-x^n)$ et on somme par parties) — clé de la continuité à gauche en $1$ de la somme d'une série entière à la frontière du disque de convergence.