Continuité sur une partie

#### 1. Opérations algébriques, composition Soient $E, F, G$ des espaces vectoriels normés et $D \subset E$ une partie. L'ensemble des fonctions **continues sur $D$** (c'est-à-dire continues en tout point de $D$) est stable par : - **combinaisons linéaires** : si $f, g : D \to F$ sont continues sur $D$ et $\lambda \in \mathbb{K}$, alors $f + g$ et $\lambda f$ sont continues sur $D$ ; - **produit** (lorsque $F$ est une algèbre normée, par exemple $F = \mathbb{K}$ ou $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$) : $fg$ est continue sur $D$ ; - **composition** : si $f : D \subset E \to F$ est continue sur $D$ et si $g : F' \subset F \to G$ est continue sur un ensemble contenant $f(D)$, alors $g \circ f$ est continue sur $D$. La démonstration passe par la caractérisation séquentielle : si $x_n \to a$ dans $D$, alors $f(x_n) \to f(a)$, $g(x_n) \to g(a)$, d'où $f(x_n) + g(x_n) \to f(a) + g(a)$ et $g(f(x_n)) \to g(f(a))$. #### 2. Image réciproque d'un ouvert, d'un fermé par une application continue **Théorème** : soit $f : E \to F$ continue sur $E$. Alors $$O \text{ ouvert de } F \implies f^{-1}(O) \text{ ouvert de } E, \qquad K \text{ fermé de } F \implies f^{-1}(K) \text{ fermé de } E.$$ - *Ouvert* : soit $x \in f^{-1}(O)$, c'est-à-dire $f(x) \in O$. Comme $O$ est ouvert, il existe $\varepsilon > 0$ avec $B(f(x), \varepsilon) \subset O$ ; par continuité de $f$ en $x$, il existe $\delta > 0$ avec $f(B(x, \delta)) \subset B(f(x), \varepsilon) \subset O$, donc $B(x, \delta) \subset f^{-1}(O)$ : $f^{-1}(O)$ est ouvert. - *Fermé* : $f^{-1}(F \setminus K) = E \setminus f^{-1}(K)$, et le complémentaire d'un ouvert est fermé (ou preuve séquentielle : si $x_n \in f^{-1}(K)$ et $x_n \to x$, alors $f(x_n) \in K$ et $f(x_n) \to f(x)$, donc $f(x) \in K$). **Attention** : il s'agit d'images **réciproques** ; l'image directe d'un ouvert par une application continue n'est pas forcément ouverte (exemple : $f(x) = x^2$ sur $\mathbb{R}$ envoie l'ouvert $]-1, 1[$ sur $[0, 1[$, non ouvert), ni l'image d'un fermé sur un fermé ($f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ envoie le fermé $\mathbb{R}$ sur $]0, 1]$, non fermé). #### 3. Ensembles définis par des inégalités sur une fonction continue **Théorème** : si $f : E \to \mathbb{R}$ est continue, alors $$\{x \in E \mid f(x) > 0\} = f^{-1}\big(]0, +\infty[\big) \text{ est un ouvert de } E,$$ $$\{x \in E \mid f(x) = 0\} = f^{-1}(\{0\}) \text{ et } \{x \in E \mid f(x) \geq 0\} = f^{-1}([0, +\infty[) \text{ sont des fermés}.$$ C'est l'application directe de la section 2 avec les ouverts/fermés de $\mathbb{R}$ : $]0, +\infty[$ est ouvert, $\{0\}$ et $[0, +\infty[$ sont fermés. De même $\{f < 0\}$ est ouvert et $\{f \leq 0\}$ fermé. Exemples : pour $f(x, y) = x^2 + y^2 - 1$ sur $\mathbb{R}^2$, l'ensemble $\{f > 0\}$ est l'extérieur du disque unité (ouvert), $\{f = 0\}$ est le cercle unité (fermé) et $\{f \geq 0\}$ est l'extérieur fermé du disque. Pour une application linéaire $u$ continue, $\{x \mid u(x) = 0\} = \ker u$ est fermé. #### 4. Fonction lipschitzienne. Toute fonction lipschitzienne est continue Soient $D \subset E$ et $f : D \to F$. On dit que $f$ est **$k$-lipschitzienne** ($k \in \mathbb{R}_+$) si $$\|f(x) - f(y)\| \leq k \, \|x - y\| \quad \text{pour tous } x, y \in D.$$ **Théorème** : toute fonction lipschitzienne est **continue** sur $D$. *Preuve* : soit $a \in D$ et $\varepsilon > 0$ ; posons $\delta = \varepsilon / k$ (si $k > 0$ ; n'importe quel $\delta$ si $k = 0$, fonction constante). Pour $x \in D$ avec $\|x - a\| \leq \delta$ : $$\|f(x) - f(a)\| \leq k\|x - a\| \leq k \cdot \frac{\varepsilon}{k} = \varepsilon.$$ **Exemples** : la norme est $1$-lipschitzienne ($|\,\|x\| - \|y\|\,| \leq \|x - y\|$) ; les applications affines $x \mapsto ax + b$ sont $|a|$-lipschitiennes ; les projections sont $1$-lipschitiennes ; en dimension finie, toute application linéaire est lipschitzienne ($\|u(x)\| \leq C\|x\|$). **Contre-exemples (réciproque fausse)** : $x \mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $[0, +\infty[$ mais non lipschitzienne ; $x \mapsto x^2$ est continue mais non lipschitzienne sur $\mathbb{R}$. #### 5. Exemple récapitulatif Soit $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $f(x, y) = x^2 + y^2 - 1$, polynomiale donc continue. - $\{f > 0\} = f^{-1}(]0, +\infty[) = \{(x,y) \mid x^2 + y^2 > 1\}$ : ouvert. - $\{f = 0\} = f^{-1}(\{0\}) = $ cercle unité : fermé (et ce n'est ni ouvert ni... c'est fermé non ouvert). - $\{f \geq 0\} = f^{-1}([0, +\infty[) = \{(x,y) \mid x^2 + y^2 \geq 1\}$ : fermé. - La distance à un point, $g(x) = \|x - a\|$, est $1$-lipschitzienne donc continue ; l'ensemble $\{x \mid g(x) \leq r\} = \bar{B}(a, r)$ est fermé, ce qui redonne la fermeture de la boule fermée.

Soit $A\subset E$. $f:A\to F$ est **continue sur $A$** si elle est continue en tout point de $A$ (topologie **induite** sur $A$). Équivalent : pour toute suite $x_n\in A$, $x_n\to x\in A$ $\Rightarrow$ $f(x_n)\to f(x)$.

- **Définition** : continue en chaque point de $A$ (relative). - **Séquentiel** : $x_n\to x$ dans $A$ $\Rightarrow$ $f(x_n)\to f(x)$. - **Lien global** : $f$ continue sur $A$ $\Leftrightarrow$ pour tout ouvert $O$ de $F$, $f^{-1}(O)$ ouvert **relatif** de $A$. - **Restriction** : si $f:E\to F$ continue, $f_{|A}$ continue.

1. **Utiliser** la topologie induite (ouverts relatifs). 2. **Étudier** point par point ou par séquences. 3. **Restreindre** une application continue. - **Piège classique** : confondre continuité sur $A$ et prolongement continu sur $E$ ; ouverts relatifs.

- $f\equiv$ continue sur $[0,1]$ mais la restriction est le cadre de travail. ```mermaid graph TD C["f continue sur A"] --> P["Continue en chaque point de A (topologie induite)"] C --> S["Sequentiel : x_n -> x dans A => f(x_n) -> f(x)"] C --> R["f^-1(ouvert) = ouvert relatif de A"] ```