Dérivabilité des fonctions vectorielles

#### 1. Dérivabilité en un point Soient $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, $a \in I$ et $f : I \to \mathbb{R}^n$ (ou à valeurs dans un espace vectoriel normé). On dit que $f$ est **dérivable en $a$** si le **taux d'accroissement** $$\frac{f(t) - f(a)}{t - a}$$ admet une **limite finie** dans $\mathbb{R}^n$ lorsque $t \to a$, $t \neq a$ ; cette limite est la **dérivée** $f'(a)$ de $f$ en $a$. **Caractérisation par le DL d'ordre un** : $f$ est dérivable en $a$ si et seulement s'il existe un vecteur $v \in \mathbb{R}^n$ tel que $$f(t) = f(a) + (t - a)\, v + o(t - a) \quad (t \to a),$$ et alors $v = f'(a)$. (Le « $o$ » est pris pour la norme de $\mathbb{R}^n$.) **Traduction par les coordonnées** (dans la base canonique) : en notant $f = (f_1, \ldots, f_n)$, $$f \text{ dérivable en } a \iff f_1, \ldots, f_n \text{ dérivables en } a, \qquad \text{et alors } f'(a) = \begin{pmatrix} f_1'(a) \\ \vdots \\ f_n'(a) \end{pmatrix}.$$ La dérivation des fonctions vectorielles est donc une dérivation **coordonnée par coordonnée**. #### 2. Dérivabilité sur un intervalle ; interprétation cinématique $f$ est **dérivable sur $I$** si elle est dérivable en tout point de $I$ (dérivabilité à droite et à gauche aux extrémités le cas échéant) ; la fonction $t \mapsto f'(t)$ est la fonction dérivée. **Interprétation cinématique** : si $f(t)$ est la position à l'instant $t$ d'un point mobile dans l'espace, alors $f'(t)$ est le **vecteur vitesse** à l'instant $t$, et $\|f'(t)\|$ est la **vitesse scalaire**. Exemple : $f(t) = (R\cos(\omega t), R\sin(\omega t))$ (mouvement circulaire de rayon $R$, vitesse angulaire $\omega$) : $f'(t) = R\omega(-\sin(\omega t), \cos(\omega t))$ et $\|f'(t)\| = R\omega$ (vitesse constante). #### 3. Combinaison linéaire de fonctions dérivables Si $f, g : I \to \mathbb{R}^n$ sont dérivables en $a$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$, alors $\lambda f + \mu g$ est dérivable en $a$ et $$(\lambda f + \mu g)'(a) = \lambda f'(a) + \mu g'(a).$$ Les fonctions dérivables de $I$ dans $\mathbb{R}^n$ forment donc un sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions, et la dérivation est une application **linéaire** sur cet espace (vers les fonctions dérivées). #### 4. Dérivée de $L(f)$, $L$ linéaire **Théorème** : si $L : \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^n$ est **linéaire** et si $f : I \to \mathbb{R}^p$ est dérivable en $a$, alors $L \circ f$ est dérivable en $a$ et $$(L \circ f)'(a) = L\big(f'(a)\big).$$ *Preuve* : le DL de $f$ en $a$, combiné à la linéarité (qui transforme le $o(t-a)$ par linéarité et donne $L(hv) = h\,L(v)$), donne $L(f(t)) = L(f(a)) + (t - a)\, L(f'(a)) + o(t - a)$. *Exemple* : pour $f(t) = (x(t), y(t))$ et $L = $ produit par une matrice fixe $A$ : $(Af)'(t) = A\,f'(t)$. #### 5. Dérivée d'une expression bilinéaire ou $p$-linéaire **Théorème** : si $B : \mathbb{R}^p \times \mathbb{R}^q \to \mathbb{R}^r$ est **bilinéaire** (ou **continument bilinéaire**) et si $f : I \to \mathbb{R}^p$, $g : I \to \mathbb{R}^q$ sont dérivables en $a$, alors $B(f, g)$ est dérivable en $a$ et $$\big(B(f, g)\big)'(a) = B\big(f'(a), g(a)\big) + B\big(f(a), g'(a)\big).$$ *Preuve (idée)* : écrire $B(f(t), g(t)) - B(f(a), g(a)) = B(f(t) - f(a), g(t)) + B(f(a), g(t) - g(a))$ et diviser par $t - a$ en utilisant la bilinéarité et la bornitude locale. **Cas $p$-linéaire** : pour $M$ **$p$-linéaire** et $f_1, \ldots, f_p$ dérivables : $$\big(M(f_1, \ldots, f_p)\big)' = \sum_{i=1}^{p} M(f_1, \ldots, f_i', \ldots, f_p)$$ (dérivée « à la Leibniz », une dérivée par emplacement). **Applications** : - **Produit scalaire** : si $f, g : I \to \mathbb{R}^n$ sont dérivables, $$\big(\langle f, g \rangle\big)' = \langle f', g \rangle + \langle f, g' \rangle ;$$ en particulier $\big(\|f\|^2\big)' = 2\langle f', f \rangle$ : si $\|f\|$ est constante (mouvement circulaire), alors $f'(t) \perp f(t)$ pour tout $t$. - **Déterminant** : si $f_1, \ldots, f_n : I \to \mathbb{R}^n$ sont dérivables, $$\big(\det(f_1, \ldots, f_n)\big)' = \sum_{i=1}^{n} \det(f_1, \ldots, f_i', \ldots, f_n)$$ (dérivée du **wronskien**). Exemple : pour un système fondamental de solutions d'une équation différentielle linéaire, $\det(f_1, \ldots, f_n)$ est soit constamment nul, soit jamais nul (formule de Liouville). #### 6. Dérivée de $f \circ \varphi$ (composée scalaire-vectorielle) **Théorème** : si $\varphi : I \to \mathbb{R}$ est dérivable en $t_0$ (à valeurs **réelles**) et si $f : J \to \mathbb{R}^n$ est dérivable en $\varphi(t_0)$ (avec $\varphi(I) \subset J$), alors $f \circ \varphi : I \to \mathbb{R}^n$ est dérivable en $t_0$ et $$(f \circ \varphi)'(t_0) = \varphi'(t_0)\, f'\big(\varphi(t_0)\big).$$ La dérivée de la composée est le produit de la dérivée scalaire par le vecteur dérivé. *Preuve* : composer les DL $f(y) = f(y_0) + (y - y_0) f'(y_0) + o(y - y_0)$ et $\varphi(t) = \varphi(t_0) + (t - t_0)\varphi'(t_0) + o(t - t_0)$. *Exemple* : $f(t) = (\cos t, \sin t)$ et $\varphi(u) = u^2$ : $(f \circ \varphi)(u) = (\cos u^2, \sin u^2)$ et $(f \circ \varphi)'(u) = 2u\,(-\sin u^2, \cos u^2)$. #### 7. Fonction de classe $\mathcal{C}^k$ sur un intervalle $f : I \to \mathbb{R}^n$ est de **classe $\mathcal{C}^1$** sur $I$ si $f$ est dérivable sur $I$ et si $f'$ est **continue** sur $I$ ; de classe $\mathcal{C}^k$ si les dérivées successives $f', f'', \ldots, f^{(k)}$ existent et sont continues sur $I$ ; $\mathcal{C}^{\infty}$ si c'est vrai pour tout $k$. **Caractérisation par les coordonnées** : $f$ est de classe $\mathcal{C}^k$ sur $I$ si et seulement si ses fonctions coordonnées $f_1, \ldots, f_n$ sont de classe $\mathcal{C}^k$ sur $I$ (les dérivées se calculant coordonnée par coordonnée). Tous les théorèmes ci-dessus (combinaisons linéaires, $L(f)$, $B(f,g)$, $M(f_1, \ldots, f_p)$, $f \circ \varphi$) restent valables en remplaçant « dérivable » par « de classe $\mathcal{C}^k$ ». #### 8. Exemple récapitulatif Soit $f(t) = (\cos t, \sin t)$ et $g(t) = (\cos 2t, \sin 2t)$ sur $\mathbb{R}$. - $f$ et $g$ sont de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ (coordonnées $\mathcal{C}^{\infty}$), avec $f'(t) = (-\sin t, \cos t)$, $g'(t) = (-2\sin 2t, 2\cos 2t)$. - **Produit scalaire** : $\langle f(t), g(t) \rangle = \cos t \cos 2t + \sin t \sin 2t = \cos t$ (formule de linéarisation). Par la formule bilinéaire : $\big(\langle f, g \rangle\big)'(t) = \langle f'(t), g(t) \rangle + \langle f(t), g'(t) \rangle = (-\sin t \cos 2t + \cos t \sin 2t) + (-2\cos t \sin 2t + 2\sin t \cos 2t) =$ $\sin t \cos 2t - \cos t \sin 2t = \sin(t - 2t) = -\sin t$, cohérent avec $(\cos t)' = -\sin t$. - **Déterminant** : $\det(f(t), f'(t)) = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$ (aire algébrique du parallélogramme position-vitesse, constante pour un cercle parcouru à vitesse unitaire). - **Composée** : $f \circ (t \mapsto 2t) = g$, et $(f \circ (2\,\mathrm{id}))'(t) = 2\,f'(2t) = g'(t)$ : on retrouve la dérivée de $g$.