Développement en série entière au voisinage de 0 d'une fonction d'une variabl...

#### 1. Fonction développable en série entière sur $]-r, r[$ Une fonction $f : \,]-r, r[ \to \mathbb{K}$ est **développable en série entière (DSE)** sur $]-r, r[$ s'il existe une suite $(a_n) \in \mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ telle que $$f(x) = \sum_{n \geq 0} a_n x^n \quad \text{pour tout } x \in \,]-r, r[.$$ La somme d'une série entière de rayon $\geq r$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $]-r, r[$ ; en particulier **toute fonction DSE est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$** sur $]-r, r[$, et ses coefficients vérifient nécessairement $a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$. #### 2. Série de Taylor d'une fonction de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ Pour $f$ de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ au voisinage de $0$, la **série de Taylor** de $f$ en $0$ est la série entière $$\sum_{n \geq 0} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\, x^n.$$ $f$ est développable en série entière sur $]-r, r[$ **si et seulement si** cette série a un rayon de convergence $\geq r$ **et** sa somme coïncide avec $f$ sur $]-r, r[$, c'est-à-dire si le reste de Taylor tend vers $0$. **Attention** : la classe $\mathcal{C}^{\infty}$ **ne suffit pas** : la fonction $f(x) = e^{-1/x^2}$ (prolongée par $f(0) = 0$) est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ avec $f^{(n)}(0) = 0$ pour tout $n$ : sa série de Taylor est nulle et ne redonne pas $f$. #### 3. Formule de Taylor avec reste intégral Pour $f$ de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur un voisinage de $0$ et $x$ dans ce voisinage : $$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}\, x^k + R_n(x), \qquad R_n(x) = \int_0^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}\, (x - t)^n\, dt.$$ Majoration utile : si $|f^{(n+1)}(t)| \leq M$ sur $[0, x]$, alors $$|R_n(x)| \leq \frac{M\, |x|^{n+1}}{(n+1)!}.$$ **Critère pratique de DSE** : si $\frac{|f^{(n+1)}(t)|}{(n+1)!}|x|^{n+1} \to 0$ uniformément (par exemple $|f^{(n+1)}| \leq M^{n+1}$ sur le segment), alors $R_n(x) \to 0$ et $f$ est DSE au voisinage de $0$. #### 4. Unicité du développement en série entière **Théorème** : si $f(x) = \sum a_n x^n = \sum b_n x^n$ sur $]-r, r[$ (avec $r > 0$), alors $a_n = b_n$ pour tout $n$ ; de plus $a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$. *Preuve* : les deux séries ont la même somme, donc $a_n = \frac{S^{(n)}(0)}{n!} = b_n$ (caractérisation des coefficients par les dérivées successives en $0$ d'une série entière). Conséquence : **le** DSE d'une fonction, s'il existe, est sa série de Taylor — il n'y a pas à le « deviner » autrement. #### 5. Développements des fonctions usuelles | Fonction | DSE | Domaine | |---|---|---| | $e^x$ | $\sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n!}$ | $x \in \mathbb{R}$ | | $\cos x$ | $\sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ | $x \in \mathbb{R}$ | | $\sin x$ | $\sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ | $x \in \mathbb{R}$ | | $\mathrm{ch}\, x$ | $\sum_{n \geq 0} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ | $x \in \mathbb{R}$ | | $\mathrm{sh}\, x$ | $\sum_{n \geq 0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ | $x \in \mathbb{R}$ | | $\arctan x$ | $\sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$ | $|x| \leq 1$ | | $\ln(1+x)$ | $\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n}\, x^n$ | $-1 < x \leq 1$ | | $(1+x)^{\alpha}$ | $1 + \sum_{n \geq 1} \binom{\alpha}{n} x^n$, $\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$ | $|x| < 1$ | Méthodes : formule de Taylor avec reste intégral (exp, cos, sin : reste majoré par $\frac{M^{n+1}|x|^{n+1}}{(n+1)!} \to 0$) ; dérivation/primitivation terme à terme (arctan = primitive de $\frac{1}{1+x^2} = \sum (-1)^n x^{2n}$ ; $\ln(1+x)$ = primitive de $\frac{1}{1+x} = \sum (-1)^n x^n$) ; binôme généralisé pour $(1+x)^{\alpha}$ (équation différentielle ou reste intégral). #### 6. Développement en série entière à l'aide d'une équation différentielle linéaire **Méthode** : pour développer $f$ solution d'une équation différentielle linéaire (par exemple $y' = a(x) y + b(x)$ ou $y'' + p(x) y' + q(x) y = 0$ avec $p, q$ polynomiales), on : 1. pose $y(x) = \sum_{n \geq 0} a_n x^n$ (série entière indéterminée) ; 2. écrit les équations des dérivées terme à terme (dérivation/primitivation légitimes) ; 3. **identifie les coefficients** par puissances croissantes de $x$, ce qui donne des relations de récurrence sur les $(a_n)$, les premiers coefficients étant fixés par les **conditions initiales** ; 4. détermine le rayon de convergence de la série obtenue et vérifie qu'elle satisfait l'équation. *Exemple* : $y' = y$, $y(0) = 1$. En posant $y = \sum a_n x^n$ : $\sum_{n \geq 0} (n+1) a_{n+1} x^n = \sum_{n \geq 0} a_n x^n$, d'où $(n+1) a_{n+1} = a_n$, soit $a_n = \frac{a_0}{n!} = \frac{1}{n!}$ : $y(x) = \sum \frac{x^n}{n!} = e^x$ (rayon $+\infty$ par d'Alembert). #### 7. Unicité de la solution d'un problème de Cauchy adapté **Théorème** : le **problème de Cauchy linéaire** $$y' = a(x)\, y + b(x), \qquad y(x_0) = y_0,$$ avec $a, b$ **continues** sur un intervalle $I$ contenant $x_0$, admet une **unique** solution définie sur $I$. **Utilisation dans la méthode des séries entières** : le système de récurrence sur les coefficients $(a_n)$ (issues de l'identification) détermine **tous** les $a_n$ à partir des conditions initiales ; comme le DSE obtenu converge et résout l'équation avec les bonnes conditions initiales, il est, **par unicité du problème de Cauchy**, la solution cherchée. Ainsi l'identification + unicité justifient que le DSE trouvé est bien la fonction visée (et pas une simple solution formelle). *Exemple* : $y'' + y = 0$, $y(0) = 0$, $y'(0) = 1$. Identification : $(n+2)(n+1) a_{n+2} + a_n = 0$, $a_0 = 0$, $a_1 = 1$, d'où $a_{2p} = 0$ et $a_{2p+1} = \frac{(-1)^p}{(2p+1)!}$ : $y(x) = \sum_{p \geq 0} \frac{(-1)^p x^{2p+1}}{(2p+1)!} = \sin x$ (rayon $+\infty$), et c'est l'unique solution du problème de Cauchy. #### 8. Exemple récapitulatif Développons $f(x) = \arctan x$ : $f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} = \sum_{n \geq 0} (-1)^n x^{2n}$ pour $|x| < 1$ (série géométrique). Par **primitivation terme à terme** (légitime : convergence normale sur tout segment de $]-1, 1[$) : $$\arctan x = \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}, \quad |x| < 1,$$ avec convergence en $x = \pm 1$ (séries alternées) — d'où la formule $\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots$. L'unicité du DSE garantit qu'aucun autre développement n'est possible sur $]-1, 1[$.