Endomorphismes des espaces euclidiens

#### 1. Une isométrie conserve la norme Soit $E$ un espace euclidien (espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$). Un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ est une **isométrie vectorielle** (ou endomorphisme orthogonal) si elle **conserve la norme** : $$\|u(x)\| = \|x\| \quad \text{pour tout } x \in E.$$ Elle conserve aussi les distances : $\|u(x) - u(y)\| = \|x - y\|$. Une isométrie est **injective** ($u(x) = 0 \Rightarrow \|x\| = 0 \Rightarrow x = 0$), donc **bijective** en dimension finie ; en particulier $u^{-1}$ est aussi une isométrie. #### 2. Exemples : symétries, réflexions, rotations - **Symétrie orthogonale** par rapport à un sous-espace $F$ : $s_{|F} = \mathrm{Id}_F$ et $s_{|F^\perp} = -\mathrm{Id}_{F^\perp}$. C'est une isométrie. - **Réflexion** : symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan $H$, $s_H(x) = x - 2\,\dfrac{\langle x, n \rangle}{\|n\|^2}\,n$ où $n$ est un vecteur normal à $H$ ; c'est une isométrie de déterminant $-1$. - **Rotations du plan** : matrices $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$, isométries de déterminant $+1$ ; l'identité et la symétrie centrale $-\mathrm{Id}$ en sont des cas particuliers. - Dans $\mathbb{R}^3$ : rotations d'axe une droite, réflexions par rapport à un plan, symétries orthogonales, retournements. #### 3. Une isométrie conserve le produit scalaire $u$ est une isométrie si et seulement si $$\langle u(x), u(y) \rangle = \langle x, y \rangle \quad \text{pour tous } x, y \in E.$$ Cela découle de la **formule de polarisation** $\langle x, y \rangle = \frac{1}{4}\big(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2\big)$, qui exprime le produit scalaire à partir de la norme. En particulier, une isométrie **conserve l'orthogonalité** : $x \perp y \Rightarrow u(x) \perp u(y)$. #### 4. Image d'une base orthonormée par une isométrie **Théorème** : $u$ est une isométrie si et seulement si l'image par $u$ de **toute** base orthonormée est une base orthonormée. Traduction matricielle : si $\mathcal{B}$ est une base orthonormée et $A = \mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u)$, alors $u$ est une isométrie si et seulement si **les colonnes de $A$ forment une famille orthonormée**, ce qui équivaut à $$A^{\mathsf{T}} A = I_n \iff A^{-1} = A^{\mathsf{T}} \iff A A^{\mathsf{T}} = I_n.$$ De telles matrices sont dites **orthogonales** : leurs colonnes (et leurs lignes) sont orthonormées. #### 5. Le groupe orthogonal L'ensemble des isométries vectorielles de $E$ est un **groupe pour la composition**, noté $\mathrm{O}(E)$ : sous-groupe de $\mathrm{GL}(E)$. En matrices (dans une base orthonormée), $$\mathrm{O}(n) = \{A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mid A^{\mathsf{T}}A = I_n\}.$$ - **Déterminant** : pour $A \in \mathrm{O}(n)$, $\det(A)^2 = \det(A^{\mathsf{T}})\det(A) = \det(A^{\mathsf{T}}A) = 1$, donc $\det(A) = \pm 1$ : une isométrie préserve les volumes en valeur absolue. - Le sous-ensemble $\mathrm{SO}(E) = \{u \in \mathrm{O}(E) \mid \det u = 1\}$ (matrices : $\mathrm{SO}(n)$) est le **groupe spécial orthogonal** (rotations), sous-groupe distingué d'indice $2$ de $\mathrm{O}(E)$. #### 6. Notation $\mathrm{O}(E)$ - $\mathrm{O}(E)$ désigne le groupe orthogonal de l'espace euclidien $E$ ; on écrit $\mathrm{O}(n)$ ou $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ pour la version matricielle, et $\mathrm{SO}(E)$ / $\mathrm{SO}(n)$ pour le sous-groupe de déterminant $1$. - **Attention** : $\mathrm{O}(E)$ dépend du produit scalaire choisi sur $E$ : deux produits scalaires différents définissent deux groupes orthogonaux différents. - Toute isométrie de $E$ est un automorphisme : $\mathrm{O}(E) \subset \mathrm{GL}(E)$, et $|\det u| = 1$ pour tout $u \in \mathrm{O}(E)$. #### 7. Stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace stable **Théorème** : si $F$ est un sous-espace **stable** par une isométrie $u$, alors $F^\perp$ est aussi stable par $u$. *Preuve* : soit $y \in F^\perp$ et $x \in F$. Comme $u$ est bijective et $F$ stable, $u(F) \subset F$ et $\dim u(F) = \dim F$, donc $u(F) = F$ : il existe $x' \in F$ avec $x = u(x')$. Alors $$\langle u(y), x \rangle = \langle u(y), u(x') \rangle = \langle y, x' \rangle = 0,$$ d'où $u(y) \in F^\perp$. Conséquence : $E = F \oplus F^\perp$ avec $F$ et $F^\perp$ stables : dans une base adaptée, la matrice de $u$ est diagonale par blocs $\begin{pmatrix} A_F & 0 \\ 0 & A_{F^\perp} \end{pmatrix}$ avec $A_F \in \mathrm{O}(F)$ et $A_{F^\perp} \in \mathrm{O}(F^\perp)$. C'est le point de départ de la réduction des isométries (classification des rotations de $\mathbb{R}^3$, réduction en blocs de rotation/réflexion). #### 8. Exemple récapitulatif - **Réflexion d'axe la droite $y = x$** dans $\mathbb{R}^2$ : $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. On vérifie $A^{\mathsf{T}}A = I_2$ et $\det A = -1$ : c'est une isométrie ; l'image de la base canonique, $(e_2, e_1)$, est bien une base orthonormée. - **Rotation** $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ : $R_\theta^{\mathsf{T}}R_\theta = I_2$, $\det R_\theta = 1$, $R_\theta^{-1} = R_{-\theta} = R_\theta^{\mathsf{T}}$. - **Stabilité de l'orthogonal** : pour la rotation de $\mathbb{R}^3$ d'axe $Oz$ (angle $\theta$), le plan $F = \mathrm{Vect}(e_1, e_2)$ est stable, et l'axe $F^\perp = \mathrm{Vect}(e_3)$ est lui aussi stable (les vecteurs de l'axe sont fixes) : la matrice est $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

#### 1. Définition et interprétation en colonnes et lignes Une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est **orthogonale** si $$A^{\mathsf{T}} A = I_n \iff A^{-1} = A^{\mathsf{T}} \iff A A^{\mathsf{T}} = I_n.$$ - **Interprétation en colonnes** : $A^{\mathsf{T}}A = I_n$ signifie que les colonnes $C_1, \ldots, C_n$ de $A$ vérifient $C_i \cdot C_j = \delta_{ij}$ (produit scalaire canonique de $\mathbb{R}^n$) : les colonnes forment une **famille orthonormée**, donc une base orthonormée. - **Interprétation en lignes** : $AA^{\mathsf{T}} = I_n$ signifie de même que les **lignes** de $A$ forment une base orthonormée. - Exemples : $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, et plus généralement toute matrice de permutation. #### 2. Caractérisation comme matrice de changement de base orthonormée **Théorème** : une matrice $P$ est orthogonale si et seulement si c'est la **matrice de passage** d'une base orthonormée à une autre base orthonormée. En effet, les colonnes de $P$ sont les coordonnées dans $\mathcal{B}$ des vecteurs de $\mathcal{B}'$ ; elles forment une base orthonormée ssi $\mathcal{B}'$ est orthonormée, ssi $P^{\mathsf{T}}P = I_n$. Conséquence : si $G$ est la matrice de Gram d'une famille de vecteurs, elle se transforme en $G' = P^{\mathsf{T}} G P$ lors d'un changement de base orthonormée — et $G' = G$ lorsque la famille est elle-même orthonormée. #### 3. Caractérisation d'une isométrie par sa matrice dans une base orthonormée **Théorème** : soit $\mathcal{B}$ une base orthonormée de $E$ et $A = \mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u)$. Alors $u$ est une **isométrie vectorielle** si et seulement si $A$ est **orthogonale**. Cela découle de la section 1 : $u$ conserve le produit scalaire ssi l'image de la base orthonormée $\mathcal{B}$ est une base orthonormée, ssi les colonnes de $A$ sont orthonormées. Ainsi, dans une base orthonormée, les isométries et les matrices orthogonales sont les deux faces d'une même notion. #### 4. Terminologie - **Automorphisme orthogonal** / **isométrie vectorielle** / **endomorphisme orthogonal** : endomorphisme $u$ d'un espace euclidien qui conserve la norme (ou, de façon équivalente, le produit scalaire) : $\langle u(x), u(y) \rangle = \langle x, y \rangle$ pour tous $x, y$. - En dimension finie, un tel endomorphisme est automatiquement **bijectif** (isométrie injective). - Version matricielle : **matrice orthogonale** (section 1). La terminologie « automorphisme » insiste sur le fait que $u \in \mathrm{GL}(E)$. #### 5. Groupe orthogonal L'ensemble des matrices orthogonales est un groupe pour le produit matriciel, noté $$\mathrm{O}(n) = \{A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mid A^{\mathsf{T}}A = I_n\},$$ aussi noté $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ ; c'est un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$. Stabilité : si $A, B \in \mathrm{O}(n)$, alors $(AB)^{\mathsf{T}}(AB) = B^{\mathsf{T}}A^{\mathsf{T}}AB = I_n$, et $A^{-1} = A^{\mathsf{T}} \in \mathrm{O}(n)$. Côté endomorphismes, le groupe correspondant est $\mathrm{O}(E)$, isomorphe à $\mathrm{O}(n)$ par le choix d'une base orthonormée. #### 6. Déterminant d'une matrice orthogonale Pour $A \in \mathrm{O}(n)$, $$\det(A)^2 = \det(A^{\mathsf{T}})\det(A) = \det(A^{\mathsf{T}}A) = \det(I_n) = 1,$$ donc $\det(A) = \pm 1$. L'application $\det : \mathrm{O}(n) \to \{-1, 1\}$ est un morphisme de groupes. Interprétation géométrique : $|\det A| = 1$ : une matrice orthogonale **conserve les volumes** (au signe près). #### 7. Groupe spécial orthogonal Le **groupe spécial orthogonal** est $$\mathrm{SO}(n) = \{A \in \mathrm{O}(n) \mid \det A = 1\},$$ aussi noté $\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$ (version endomorphismes : $\mathrm{SO}(E)$). C'est un **sous-groupe distingué** de $\mathrm{O}(n)$, d'indice $2$ : c'est le noyau du morphisme $\det$. Ses éléments sont les isométries **directes** (rotations) ; les éléments de $\mathrm{O}(n) \setminus \mathrm{SO}(n)$, de déterminant $-1$, sont les isométries **inverses** (réflexions, etc.). #### 8. Orientation et bases orthonormées directes Un espace euclidien **orienté** est muni d'une orientation, c'est-à-dire d'un choix de classe d'équivalence de bases (deux bases ont même orientation si le déterminant de leur matrice de passage est $> 0$). Une base orthonormée est **directe** si sa matrice de passage avec la base orthonormée de référence a un déterminant $+1$ ; sinon elle est **rétrograde** (ou indirecte). - Si $P \in \mathrm{O}(n)$ est la matrice de passage d'une base orthonormée $\mathcal{B}$ à une base orthonormée $\mathcal{B}'$ : $\det P = +1$ signifie que $\mathcal{B}'$ a la même orientation que $\mathcal{B}$ ; $\det P = -1$ qu'elle l'inverse. - Ainsi $\mathrm{SO}(n)$ est le groupe des **isométries préservant l'orientation** (rotations), et les éléments de déterminant $-1$ (réflexions) la renversent. Dans $\mathbb{R}^2$ : rotation $\leftrightarrow$ directe, réflexion $\leftrightarrow$ rétrograde ; dans $\mathbb{R}^3$, une base orthonormée directe suit la règle de la main droite. #### 9. Exemple récapitulatif - $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ : $A^{\mathsf{T}}A = I_2$, $\det A = 1$ : $A \in \mathrm{SO}(2)$, c'est la rotation d'angle $\pi/2$, qui envoie la base canonique (directe) sur la base orthonormée directe $(e_2, -e_1)$. - $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ : $B^{\mathsf{T}}B = I_2$, $\det B = -1$ : $B \in \mathrm{O}(2) \setminus \mathrm{SO}(2)$, réflexion d'axe $(Ox)$, qui **renverse l'orientation** (la base image $(e_1, -e_2)$ est rétrograde). - Matrice de passage $P_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ : orthogonale de déterminant $1$, c'est la matrice de passage entre deux bases orthonormées directes faisant l'angle $\theta$.

#### 1. Description des matrices de $\mathrm{O}_2(\mathbb{R})$ et $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ Soit $P$ un plan euclidien et $\mathcal{B}$ une base orthonormée. Les isométries de $P$ ont pour matrices les éléments de $$\mathrm{O}_2(\mathbb{R}) = \{A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \mid A^{\mathsf{T}}A = I_2\},$$ et on obtient la description complète : $$\mathrm{O}_2(\mathbb{R}) = \left\{ \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \;\middle|\; \theta \in \mathbb{R} \right\} \;\cup\; \left\{ \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix} \;\middle|\; \theta \in \mathbb{R} \right\}.$$ - Les matrices du **premier type** ont pour déterminant $1$ : elles forment $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R}) = \{A \in \mathrm{O}_2(\mathbb{R}) \mid \det A = 1\}$ — ce sont les matrices de rotations. - Les matrices du **second type** ont pour déterminant $-1$ (symétries orthogonales, réflexions). - *Idée de preuve* : les colonnes d'une matrice orthogonale forment une base orthonormée $(c_1, c_2)$ ; la deuxième colonne est $c_2 = \pm(-\sin\theta, \cos\theta)$ où $(\cos\theta, \sin\theta) = c_1$. #### 2. Commutativité de $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ Le groupe $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R}) = \{R_\theta \mid \theta \in \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}\}$ est **commutatif** : pour tous $\theta, \varphi$, $$R_\theta R_\varphi = R_{\theta + \varphi} = R_\varphi R_\theta,$$ et $R_\theta^{-1} = R_{-\theta}$. L'application $\theta \mapsto R_\theta$ est un **isomorphisme de groupes** de $(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}, +)$ sur $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$. *Attention* : $\mathrm{O}_2(\mathbb{R})$ tout entier n'est **pas** commutatif (une rotation et une réflexion ne commutent pas en général) ; seule la partie de déterminant $1$ l'est. #### 3. Rotation vectorielle d'un plan euclidien orienté, mesure d'un angle orienté Un plan euclidien **orienté** est muni d'un choix d'orientation (une base orthonormée directe de référence). Une **rotation vectorielle** de $P$ est une isométrie de déterminant $+1$ : $u \in \mathrm{SO}(P)$. Dans toute base orthonormée **directe**, sa matrice est $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ ; l'angle $\theta$ (modulo $2\pi$) ne dépend pas du choix de la base directe. **Mesure d'un angle orienté de vecteurs non nuls** : soient $x, y \in P \setminus \{0\}$. Il existe une **unique** rotation $r \in \mathrm{SO}(P)$ envoyant $\frac{x}{\|x\|}$ sur $\frac{y}{\|y\|}$ ; la **mesure** de l'angle orienté $(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y})$ est l'angle $\theta \in \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ de cette rotation. La mesure ne dépend que des **directions** de $x$ et $y$ (et non de leurs normes), et l'ensemble des angles orientés s'identifie à $\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$, avec l'addition : la composée de rotations d'angles $\theta$ et $\varphi$ est la rotation d'angle $\theta + \varphi$. #### 4. Classification des isométries vectorielles du plan euclidien **Théorème** : toute isométrie vectorielle d'un plan euclidien orienté $P$ est exactement l'une des deux : 1. une **rotation vectorielle** (déterminant $+1$), rotation d'angle $\theta \in \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ ; 2. une **symétrie orthogonale** (réflexion) par rapport à une droite vectorielle (déterminant $-1$). *Preuve* : soit $u$ une isométrie. Si $\det u = 1$, $u$ est une rotation (définition). Si $\det u = -1$, l'écriture de sa matrice (section 1) montre $\mathrm{tr}(u) = 0$, donc $\chi_u(X) = X^2 - 1$ : les valeurs propres $1$ et $-1$ existent dans $\mathbb{R}$, les droites propres $E_1$ et $E_{-1}$ sont orthogonales (vecteurs propres de valeurs propres distinctes d'une isométrie), et $u$ est la symétrie orthogonale par rapport à $E_1$. Remarque : toute réflexion est le produit de deux rotations, et toute rotation d'angle $\theta$ est le produit de deux réflexions d'axes faisant un angle de $\theta/2$ : $s_{D_1} \circ s_{D_2} = R_{2(\varphi_1 - \varphi_2)}$ si $D_i$ fait l'angle $\varphi_i$ avec l'axe. #### 5. Exemple récapitulatif - $R_{\pi/2}$ et $R_{\pi/3}$ commutent : $R_{\pi/2}R_{\pi/3} = R_{5\pi/6} = R_{\pi/3}R_{\pi/2}$. - La réflexion d'axe faisant l'angle $\varphi$ avec l'axe des abscisses a pour matrice (dans la base canonique) $S_\varphi = \begin{pmatrix} \cos 2\varphi & \sin 2\varphi \\ \sin 2\varphi & -\cos 2\varphi \end{pmatrix} \in \mathrm{O}_2(\mathbb{R}) \setminus \mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$. - Composée de deux réflexions : $S_{\varphi_1}S_{\varphi_2} = R_{2(\varphi_1 - \varphi_2)}$ ; par exemple $S_{\pi/4}\,S_0 = R_{\pi/2}$. - Angle orienté : dans le plan orienté canoniquement, la mesure de l'angle orienté $(\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ est $+\pi/2$, celle de $(\overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{e_1})$ est $-\pi/2$ : l'orientation choisie fixe le signe.

#### 1. Endomorphisme autoadjoint d'un espace euclidien. Notations Soit $E$ un espace euclidien (réel, de dimension finie, produit scalaire $\langle\cdot,\cdot\rangle$). Un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ est **autoadjoint** (ou symétrique) si $$\langle u(x), y \rangle = \langle x, u(y) \rangle \quad \text{pour tous } x, y \in E.$$ L'ensemble des endomorphismes autoadjoints est noté $\mathcal{S}(E)$ : c'est un **sous-espace vectoriel** de $\mathcal{L}(E)$ (stable par combinaisons linéaires). Exemples : l'identité, les symétries orthogonales, les projections orthogonales ; si $v \in \mathcal{L}(E)$, l'endomorphisme $v^{\mathsf{T}} \circ v$ (souvent noté $v^{*} \circ v$) est autoadjoint. #### 2. Caractérisation des projecteurs orthogonaux **Théorème** : un projecteur $p$ ($p^2 = p$) est **orthogonal** si et seulement s'il est **autoadjoint**. *Esquisse de preuve* : $p^2 = p$ donne $E = \ker p \oplus \mathrm{Im}\,p$. Si $p$ est autoadjoint, alors $\ker p = (\mathrm{Im}\,p^{\mathsf{T}})^{\perp} = (\mathrm{Im}\,p)^{\perp}$ (car $p^{\mathsf{T}} = p$), donc $\mathrm{Im}\,p = (\ker p)^{\perp}$ : la projection se fait orthogonalement à $\mathrm{Im}\,p$. La réciproque est immédiate dans une base orthonormée adaptée. Ainsi : $p$ projecteur orthogonal $\iff p^2 = p$ **et** $p$ autoadjoint $\iff p^2 = p$ et $\ker p \perp \mathrm{Im}\,p$. #### 3. Caractérisation par la matrice dans une base orthonormée. Terminologie **Théorème** : si $\mathcal{B}$ est une base **orthonormée** de $E$ et $A = \mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u)$, alors $$u \text{ autoadjoint} \iff A^{\mathsf{T}} = A \quad (A \text{ symétrique}).$$ *Esquisse* : en notant $X, Y$ les colonnes de coordonnées, $\langle u(x), y \rangle = X^{\mathsf{T}}A^{\mathsf{T}}Y$ et $\langle x, u(y) \rangle = X^{\mathsf{T}}AY$ ; l'égalité pour tous $X, Y$ équivaut à $A^{\mathsf{T}} = A$. **Terminologie** : un endomorphisme autoadjoint s'appelle aussi **endomorphisme symétrique**. *Attention* : l'équivalence exige une base **orthonormée** (dans une base quelconque, la matrice d'un autoadjoint n'est pas nécessairement symétrique). Les matrices symétriques réelles forment le sous-espace $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. #### 4. Théorème spectral. Forme matricielle **Théorème spectral** : tout endomorphisme autoadjoint d'un espace euclidien est **orthodiagonalisable** : il existe une **base orthonormée de vecteurs propres** de $u$. En particulier, ses valeurs propres sont **réelles** et il existe $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ réels (comptés avec multiplicité) tels que $\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u)$ soit diagonale dans une base orthonormée $\mathcal{B}$. **Forme matricielle** : pour toute matrice symétrique $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$, il existe $P \in \mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ (matrice **orthogonale**, pas seulement inversible) telle que $$P^{\mathsf{T}} A P = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n), \quad \lambda_i \in \mathbb{R}.$$ *Éléments de preuve* : les valeurs propres d'un autoadjoint sont réelles (si $u(x) = \lambda x$ avec $x \neq 0$, $\lambda = \frac{\langle u(x), x \rangle}{\|x\|^2} \in \mathbb{R}$) ; les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont **orthogonaux** ; combiné à la trigonalisation et à la stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace stable, on construit la base orthonormée de vecteurs propres. C'est l'analogue euclidien de la diagonalisation : la matrice de passage est orthogonale au lieu d'être simplement inversible. #### 5. Endomorphisme autoadjoint positif, défini positif Soit $u \in \mathcal{S}(E)$ autoadjoint. On dit que $u$ est : - **positif** si $\langle u(x), x \rangle \geq 0$ pour tout $x \in E$ (notation $u \succeq 0$) ; - **défini positif** si $\langle u(x), x \rangle > 0$ pour tout $x \neq 0$ (notation $u \succ 0$). **Caractérisation spectrale** (conséquence directe du théorème spectral) : en notant $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ les valeurs propres de $u$, $$u \text{ positif} \iff \lambda_i \geq 0 \ \forall i, \qquad u \text{ défini positif} \iff \lambda_i > 0 \ \forall i.$$ En effet, dans une base orthonormée de vecteurs propres, $\langle u(x), x \rangle = \sum_i \lambda_i x_i^2$. Exemples : une projection orthogonale est positive (valeurs propres $0$ et $1$) ; $v^{\mathsf{T}} \circ v$ est positif, et défini positif dès que $v$ est inversible. #### 6. Matrice symétrique positive, définie positive Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. On dit que $A$ est : - **positive** si $X^{\mathsf{T}} A X \geq 0$ pour tout $X \in \mathbb{R}^n$ (notation $A \succeq 0$) ; - **définie positive** si $X^{\mathsf{T}} A X > 0$ pour tout $X \neq 0$ (notation $A \succ 0$). La forme quadratique associée est $Q(X) = X^{\mathsf{T}}AX$. **Caractérisation spectrale** (forme matricielle du théorème spectral) : $$A \text{ positive} \iff \text{toutes les valeurs propres de } A \text{ sont } \geq 0,$$ $$\qquad A \text{ définie positive} \iff \text{toutes les valeurs propres sont } > 0.$$ Conséquences : une matrice symétrique définie positive est inversible et de déterminant $> 0$ ; $\mathrm{tr}(A) \geq 0$ si $A$ est positive. *Attention* : être symétrique et avoir des coefficients positifs ne suffit pas (contre-exemple : $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ a pour valeurs propres $3$ et $-1$). #### 7. Exemple récapitulatif Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \in \mathcal{S}_2(\mathbb{R})$. - $\chi_A(X) = (X-1)(X-3)$ : valeurs propres $1$ et $3$, réelles et **distinctes**. - Vecteurs propres orthonormés : $\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ (valeur propre $3$) et $\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ (valeur propre $1$). Avec $P = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \in \mathrm{O}_2(\mathbb{R})$ : $P^{\mathsf{T}} A P = \mathrm{diag}(3, 1)$ — **théorème spectral**. - $A$ est **définie positive** (valeurs propres $> 0$) : la forme quadratique $Q(X) = 2x^2 + 2xy + 2y^2$ est $> 0$ pour $X \neq 0$. - **Projecteur orthogonal** : $p$ de matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ dans la base canonique (symétrique) : $p^2 = p$, valeurs propres $1$ et $0 \geq 0$ — projecteur orthogonal **positif** non défini.

Endomorphismes des espaces euclidiens

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