Ensembles dénombrables, familles sommables

#### 1. Ensembles (au plus) dénombrables Un ensemble $E$ est **dénombrable** s'il est en bijection avec $\mathbb{N}$, et **au plus dénombrable** s'il est en bijection avec **une partie de** $\mathbb{N}$ — autrement dit s'il peut être décrit en extension sous la forme $\{x_i \mid i \in I\}$ avec $I = \mathbb{N}$ (dénombrable) ou $I \subset \mathbb{N}$ (au plus dénombrable) et des $x_i$ **deux à deux distincts**<br> **Ensembles dénombrables** : - $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ ($\mathbb{Z} = \{0, 1, -1, 2, -2, \ldots\}$) ; - un **produit cartésien d'un nombre fini** d'ensembles dénombrables ($\mathbb{N}^2$, $\mathbb{Z} \times \mathbb{N}$, etc. — via le codage par les nombres premiers ou le parcours en diagonale) ; - une **union au plus dénombrable d'ensembles au plus dénombrables** (par exemple $\mathbb{Q} = \bigcup_{b \geq 1} \{p/b \mid p \in \mathbb{Z}\}$) ; - toute **partie** d'un ensemble dénombrable est au plus dénombrable. *Contre-exemple (admis)* : $\mathbb{R}$ n'est pas dénombrable. <br> #### 2. Familles d'éléments de $[0, +\infty]$ : somme et sommabilité En vue de généraliser les sommes finies et les sommes de séries de réels positifs, on sait associer à **toute famille au plus dénombrable** $(x_i)_{i \in I}$ d'éléments de $[0, +\infty]$ sa somme $$\sum_{i \in I} x_i \in [0, +\infty]$$ (définie comme la somme de la série obtenue par une énumération ; pour des termes positifs, le résultat ne dépend pas de l'énumération). **Sommation par paquets** : pour tout découpage $I = \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} I_n$ de $I$ en paquets au plus dénombrables : $$\sum_{i \in I} x_i = \sum_{n \in \mathbb{N}} \left(\sum_{i \in I_n} x_i\right).$$ La famille $(x_i)_{i \in I}$ est dite **sommable** si $\sum_{i \in I} x_i < +\infty$. **En pratique (cas positif)** : les étudiants peuvent **découper, calculer et majorer** leurs sommes directement ; la **finitude de la somme** vaut preuve de sommabilité — pas de difficulté d'ordre ni de convergence conditionnelle dans le cas positif. *Exemple* : $\sum_{(i,j) \in \mathbb{N}^2} 2^{-(i+j)} = \sum_{i,j \geq 0} 2^{-i} 2^{-j} = \left(\sum_i 2^{-i}\right)\left(\sum_j 2^{-j}\right) = 4 < +\infty$ : la famille est sommable. #### 3. Familles sommables de nombres complexes - **Définition** : une famille $(x_i)_{i \in I}$ au plus dénombrable de nombres complexes est **sommable** si la famille positive $(|x_i|)_{i \in I}$ est sommable ($\sum_{i \in I} |x_i| < +\infty$). - **Cas $I = \mathbb{N}$** : la sommabilité de la suite $(x_n)$ équivaut à la **convergence absolue** de la série $\sum x_n$ — les deux notions coïncident. - **Domination** : si $|x_i| \leq y_i$ pour tout $i \in I$ et si $(y_i)_{i \in I}$ (à valeurs positives) est sommable, alors $(x_i)_{i \in I}$ est sommable. - **Manipulations en cas de sommabilité** : les sommes se traitent comme des sommes finies : - **croissance** : si $|x_i| \leq y_i$ avec $(y_i)$ sommable, alors $\sum_I |x_i| \leq \sum_I y_i$ ; - **linéarité** : si $(x_i)$ et $(y_i)$ sont sommables et $\lambda, \mu \in \mathbb{C}$, alors $(\lambda x_i + \mu y_i)$ est sommable et $\sum_I (\lambda x_i + \mu y_i) = \lambda \sum_I x_i + \mu \sum_I y_i$ ; - **sommation par paquets** : pour tout découpage $I = \bigsqcup_n I_n$, $\sum_{i \in I} x_i = \sum_n \sum_{i \in I_n} x_i$ (valable car la famille des modules est sommable) ; - **théorème de Fubini** (discret) : si $(x_{i,j})_{(i,j) \in \mathbb{N}^2}$ est sommable, alors $\sum_{(i,j)} x_{i,j} = \sum_i \left(\sum_j x_{i,j}\right) = \sum_j \left(\sum_i x_{i,j}\right)$ — les trois sommes coïncident ; - **produit de deux sommes** : si $(x_i)_{i \in I}$ et $(y_j)_{j \in J}$ sont sommables, alors la famille produit $(x_i y_j)_{(i,j) \in I \times J}$ est sommable et $$\left(\sum_{i \in I} x_i\right)\left(\sum_{j \in J} y_j\right) = \sum_{(i,j) \in I \times J} x_i\, y_j.$$ **Lien avec les probabilités** : si $(A_n)$ est un système quasi-complet, $P\left(\bigsqcup_n A_n\right) = \sum_n P(A_n)$ est exactement une somme de famille positive sommable (somme $= 1$). #### 4. Exemple récapitulatif Soit la famille $(x_{i,j})_{(i,j) \in \mathbb{N}^2}$ définie par $x_{i,j} = 2^{-i}\,3^{-j}$. - **Sommabilité** : $|x_{i,j}| = 2^{-i} 3^{-j}$ et $$\sum_{(i,j) \in \mathbb{N}^2} 2^{-i} 3^{-j} = \left(\sum_{i \geq 0} 2^{-i}\right) \left(\sum_{j \geq 0} 3^{-j}\right) = 2 \times \frac{3}{2} = 3 < +\infty$$ (produit de deux sommes géométriques) : la famille est **sommable**. - **Fubini** : $\sum_{(i,j)} x_{i,j} = \sum_{i \geq 0} \left(\sum_{j \geq 0} 2^{-i} 3^{-j}\right) = \sum_{i \geq 0} \frac{3}{2} \cdot 2^{-i} = 3$, et de même en sommant d'abord en $i$ : les deux ordres donnent $3$. - **Sommation par paquets** : en regroupant selon $i + j = n$ (paquets $D_n$ = diagonales), chaque paquet a pour somme $\sum_{i=0}^{n} 2^{-i} 3^{-(n-i)}$, et $\sum_n \left(\sum_{i=0}^{n} 2^{-i}3^{-(n-i)}\right) = 3$ : le découpage en diagonales donne la même somme totale.

Sur un ensemble $I$ **au plus dénombrable**, une famille $(x_i)_{i\in I}$ de réels (ou complexes) est **sommable** si $\sup_{J\subset I,\ \text{fini}}\sum_{i\in J}|x_i|<+\infty$.

- **Sommabilité** : bornitude des sommes finies $\sup\sum_{J}|x_i|<\infty$. - **CNS (positifs)** : $\sum_i x_i<+\infty$ ($x_i\geq0$). - **Propriétés** : commutativité (somme indépendante de l'ordre) ; sommation par paquets. - **Lien** : $L^1$ sur un espace dénombrable $\leftrightarrow$ familles sommables.

1. **Tester** la sommabilité (bornitude ou positivité). 2. **Utiliser** la commutativité pour réordonner/paqueter. 3. **Appliquer** aux espérances discrètes. - **Piège classique** : convergence simple $\neq$ sommabilité ; réordonner une série semi-convergente (interdit).

- $\sum_{n\geq1}1/n^2$ sommable ; $\sum(-1)^n/n$ converge mais non sommable. ```mermaid graph TD F["Famille sur I denombrable"] --> S["Sommable : sup des sommes finies fini"] S --> C["Commutativite (ordre indifferent)"] S --> P["Sommation par paquets"] ```