Espaces vectoriels normés

#### 1. Norme sur un espace vectoriel réel ou complexe Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). Une **norme** sur $E$ est une application $N : E \to \mathbb{R}_+$ telle que : 1. $N(x) = 0 \iff x = 0$ (séparabilité) ; 2. $N(\lambda x) = |\lambda| N(x)$ pour tout $\lambda \in \mathbb{K}$ (homogénéité) ; 3. $N(x + y) \leq N(x) + N(y)$ (inégalité triangulaire). On note alors $N(x) = \|x\|$. **Normes usuelles sur $\mathbb{K}^n$** (pour $x = (x_1, \ldots, x_n)$) : $$\|x\|_1 = \sum_{i=1}^{n} |x_i|, \qquad $$ $$ \|x\|_2 = \left(\sum_{i=1}^{n} |x_i|^2\right)^{1/2}, \qquad $$ $$ \|x\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|.$$ La norme $\|\cdot\|_2$ est bien définie grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz ; l'inégalité triangulaire pour $\|\cdot\|_2$ est l'inégalité de Minkowski. #### 2. Espace vectoriel normé Un **espace vectoriel normé** est un couple $(E, \|\cdot\|)$ où $\|\cdot\|$ est une norme sur $E$. Exemples : $(\mathbb{K}^n, \|\cdot\|_1)$, $(\mathbb{K}^n, \|\cdot\|_2)$, $(\mathbb{K}^n, \|\cdot\|_\infty)$ ; $(\mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \|\cdot\|_1)$ (avec la norme vue sur $\mathbb{K}^{n^2}$) ; les espaces de polynômes ou de fonctions munis des normes ci-dessous. Un même espace vectoriel peut être muni de plusieurs normes distinctes. #### 3. Norme infinie sur un espace de fonctions bornées Sur l'espace $\mathcal{B}(X, \mathbb{K})$ des fonctions **bornées** de $X$ dans $\mathbb{K}$, la **norme infinie** (ou norme de la convergence uniforme) est $$\|f\|_\infty = \sup_{t \in X} |f(t)|.$$ Elle est bien définie car $f$ est bornée. Convergence en norme infinie = **convergence uniforme**. Exemple : $\|f\|_\infty = 1$ pour $f(t) = \sin t$ sur $\mathbb{R}$. #### 4. Norme associée à un produit scalaire (espace préhilbertien réel) Si $E$ est préhilbertien réel (muni d'un produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$), alors $$\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$$ définit une norme (positivité et séparabilité sont claires ; l'homogénéité vient de $\langle \lambda x, \lambda x \rangle = \lambda^2 \langle x, x \rangle$ ; l'inégalité triangulaire s'obtient par Cauchy-Schwarz : $\|x+y\|^2 \leq (\|x\| + \|y\|)^2$). C'est la **norme euclidienne** associée. Deux produits scalaires différents donnent deux normes différentes (sur $\mathbb{R}^n$, $\langle x, y \rangle = \sum a_i x_i y_i$ avec $a_i > 0$ donne la norme $\sqrt{\sum a_i x_i^2}$). #### 5. Utilisation de $\sup(kA) = k \sup(A)$ Pour $A \subset \mathbb{R}$ **non vide et majorée** et $k \in \mathbb{R}_+$ : $$\sup(kA) = k \sup(A), \quad \text{où } kA = \{ka \mid a \in A\}.$$ Preuve : $ka \leq k\sup(A)$ pour tout $a \in A$ donc $k\sup(A)$ majore $kA$ ; réciproquement, pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $a \in A$ avec $a > \sup(A) - \varepsilon/k$, donc $ka > k\sup(A) - \varepsilon$. **Utilisation typique** : calculer $\|\lambda f\|_\infty = \sup_t |\lambda f(t)| = |\lambda| \sup_t |f(t)| = |\lambda| \|f\|_\infty$ (homogénéité de la norme infinie sur les fonctions bornées), ou comparer des bornes supérieures dans les exercices d'encadrement. #### 6. Distance associée à une norme À toute norme $\|\cdot\|$ sur $E$, on associe la **distance** $$d(x, y) = \|x - y\|.$$ C'est une distance au sens métrique : $d(x,y) \geq 0$, $d(x,y) = 0 \iff x = y$, symétrie $d(x,y) = d(y,x)$, et inégalité triangulaire $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$ (issue de l'inégalité triangulaire de la norme). Exemple : $d_2(x, y) = \sqrt{\sum (x_i - y_i)^2}$, distance euclidienne. #### 7. Boule ouverte, boule fermée, sphère Dans $(E, \|\cdot\|)$, pour $a \in E$ et $r > 0$ : $$\text{boule ouverte } B(a, r) = \{x \in E \mid \|x - a\| < r\}, \quad \text{boule fermée } \bar{B}(a, r) = \{x \in E \mid \|x - a\| \leq r\},$$ $$\text{sphère } S(a, r) = \{x \in E \mid \|x - a\| = r\}.$$ La forme des boules **dépend de la norme** : dans $\mathbb{R}^2$, les boules unité fermées sont : - le carré incliné (losange) pour $\|\cdot\|_1$, - le disque pour $\|\cdot\|_2$, - le carré pour $\|\cdot\|_\infty$. #### 8. Partie convexe, convexité des boules Une partie $C \subset E$ est **convexe** si pour tous $x, y \in C$ et tout $t \in [0, 1]$, $tx + (1-t)y \in C$ (elle contient tous les segments $[x, y]$). **Théorème** : les boules ouvertes et fermées sont **convexes**. Preuve : soient $x, y \in B(a, r)$ et $t \in [0, 1]$ ; posons $z = tx + (1-t)y$. Alors $\|z - a\| = \|t(x - a) + (1-t)(y - a)\| $ $ \leq t\|x - a\| + (1-t)\|y - a\| < tr + (1-t)r = r$ (idem avec $\leq$ pour la boule fermée). #### 9. Partie bornée, suite bornée, fonction bornée - $A \subset E$ est **bornée** s'il existe $M \geq 0$ tel que $\|x\| \leq M$ pour tout $x \in A$ (équivalent : $A \subset B(0, M)$). - Une **suite** $(u_n)$ est bornée si $\{u_n \mid n \in \mathbb{N}\}$ est bornée : $\exists M \geq 0$, $\forall n$, $\|u_n\| \leq M$. - Une **fonction** $f : X \to E$ est bornée si $f(X)$ est une partie bornée ; à valeurs dans $\mathbb{K}$, cela s'écrit $\sup_{t \in X} |f(t)| < +\infty$. - Toute réunion finie de parties bornées est bornée ; toute partie d'une partie bornée est bornée.

#### 1. Convergence et divergence d'une suite Soit $(E, \|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé et $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de $E$. On dit que $(u_n)$ **converge** vers $\ell \in E$ si $$\|u_n - \ell\| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0,$$ c'est-à-dire : $\forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbb{N}$, $\forall n \geq N$, $\|u_n - \ell\| \leq \varepsilon$. Sinon, la suite **diverge**. - **Exemple dans un espace de matrices** : dans $(\mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \|\cdot\|_\infty)$ (norme vue sur $\mathbb{K}^{n^2}$), $A_k \to A$ équivaut à la convergence coefficient par coefficient. Par exemple, pour $A = \begin{pmatrix} 1/2 & 1 \\ 0 & 1/3 \end{pmatrix}$, les puissances $A^k \to \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ (calcul par récurrence des coefficients). - **Exemple dans un espace de fonctions** : dans $(\mathcal{B}([0,1], \mathbb{R}), \|\cdot\|_\infty)$, la suite $f_n(t) = \frac{\sin(nt)}{n}$ converge vers la fonction nulle (car $\|f_n\|_\infty = \frac{1}{n} \to 0$ : convergence uniforme) ; en revanche $g_n(t) = t^n$ converge simplement vers la fonction indicatrice de $\{1\}$, discontinue, donc $(g_n)$ **diverge** dans $(\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R}), \|\cdot\|_\infty)$ car la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue. #### 2. Unicité de la limite, opérations sur les limites **Unicité** : si $u_n \to \ell$ et $u_n \to \ell'$, alors $\| \ell - \ell' \| \leq \| \ell - u_n \| + \|u_n - \ell'\| \to 0$, donc $\ell = \ell'$. **Opérations** (pour des suites convergentes $u_n \to \ell$, $v_n \to m$ et des scalaires $\lambda_n \to \lambda$) : $$u_n + v_n \to \ell + m, \qquad \lambda_n u_n \to \lambda \ell, \qquad \langle u_n, v_n \rangle \to \langle \ell, m \rangle \text{ (espace préhilbertien)},$$ et pour les matrices convergentes $A_k \to A$, $B_k \to B$ : $A_k + B_k \to A + B$ et $A_k B_k \to AB$ (lorsque le produit a un sens, via $\|A_kB_k - AB\| \leq \|A_k\|\|B_k - B\| + \|A_k - A\|\|B\|$ dans une norme sous-multiplicative). #### 3. Une suite convergente est bornée **Théorème** : toute suite convergente dans un espace vectoriel normé est **bornée**. *Preuve* : si $u_n \to \ell$, alors pour $\varepsilon = 1$ il existe $N$ tel que $\|u_n - \ell\| \leq 1$ pour $n \geq N$, donc $\|u_n\| \leq \|\ell\| + 1$ pour $n \geq N$ ; la famille finie $(u_0, \ldots, u_{N-1})$ est bornée par $M = \max_{k < N} \|u_k\|$, et la suite est bornée par $\max(M, \|\ell\| + 1)$. **Contraposée** : une suite non bornée diverge. *Attention* : la réciproque est fausse (la suite $((-1)^n)_{n \geq 1}$ dans $\mathbb{R}$ est bornée mais divergente). #### 4. Toute suite extraite d'une suite convergente est convergente **Théorème** : si $u_n \to \ell$ dans $E$ et si $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ est strictement croissante, alors la suite extraite $(u_{\varphi(n)})$ converge vers la **même limite** $\ell$. *Preuve* : pour $\varepsilon > 0$, soit $N$ tel que $\|u_n - \ell\| \leq \varepsilon$ pour $n \geq N$ ; comme $\varphi$ est strictement croissante, $\varphi(n) \geq n \geq N$ dès que $n \geq N$, donc $\|u_{\varphi(n)} - \ell\| \leq \varepsilon$. **Corollaire (technique de contraposée)** : si une suite admet deux suites extraites convergeant vers des limites **différentes**, ou si une suite extraite diverge, alors la suite initiale **diverge**. Exemple : dans $\mathbb{R}$, $u_n = (-1)^n$ admet $u_{2n} \to 1$ et $u_{2n+1} \to -1$ : elle diverge.

#### 1. Normes équivalentes Deux normes $N$ et $N'$ sur un même espace vectoriel $E$ sont **équivalentes** (noté $N \sim N'$) s'il existe $\alpha, \beta > 0$ telles que $$\alpha\, N(x) \leq N'(x) \leq \beta\, N(x) \quad \text{pour tout } x \in E.$$ C'est une relation d'équivalence sur l'ensemble des normes de $E$ (réflexive, symétrique, transitive). Intuition : les deux normes « voient » la géométrie de $E$ à des déformations homothétiques près. #### 2. Invariance du caractère borné et de la convergence **Théorème** : si $N$ et $N'$ sont équivalentes, alors : - une partie de $E$ est **bornée pour $N$** si et seulement si elle est bornée pour $N'$ (l'inégalité $\alpha N \leq N' \leq \beta N$ transmet les majorations) ; - une suite de $E$ **converge pour $N$** si et seulement si elle converge pour $N'$, et **vers la même limite** ($\|u_n - \ell\| \to 0 \iff N'(u_n - \ell) \to 0$). Autrement dit, la convergence, la bornitude et la continuité sont des notions **topologiques**, inchangées quand on remplace une norme par une norme équivalente. #### 3. Utilisation de suites pour montrer que deux normes ne sont pas équivalentes **Critère** : s'il existe une suite $(u_n)$ qui converge (ou est bornée) pour l'une des normes mais **pas** pour l'autre, alors les normes ne sont pas équivalentes. Exemple fondamental sur $\mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})$ muni de $\|f\|_\infty = \sup_{[0,1]}|f|$ et $\|f\|_1 = \int_0^1 |f(t)|\,dt$ : la suite $f_n(t) = t^n$ vérifie $$\|f_n\|_1 = \frac{1}{n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \quad \text{mais} \quad \|f_n\|_\infty = 1 \text{ pour tout } n.$$ La suite converge vers $0$ pour $\|\cdot\|_1$ mais pas pour $\|\cdot\|_\infty$ : les deux normes **ne sont pas équivalentes** (et $f_n$ est bornée pour les deux, mais sa limite pour $\|\cdot\|_1$ n'est pas une limite pour $\|\cdot\|_\infty$). **Remarque** : sur un espace vectoriel de **dimension finie**, toutes les normes sont équivalentes (théorème admis) — c'est pourquoi ce type de contre-exemple vit toujours en dimension infinie. #### 4. Comparaison effective de deux normes Des comparaisons **effectives** (avec constantes explicites) donnent l'équivalence : - Sur $\mathbb{K}^n$, pour $x = (x_1, \ldots, x_n)$ : $$\|x\|_\infty \leq \|x\|_2 \leq \|x\|_1 \leq n\,\|x\|_\infty, \qquad \|x\|_2 \leq \sqrt{n}\,\|x\|_\infty.$$ *Preuves rapides* : $\|x\|_\infty^2 = \max_i |x_i|^2 \leq \sum_i |x_i|^2 = \|x\|_2^2$ ; $\|x\|_2^2 = \sum_i |x_i|^2 \leq \left(\sum_i |x_i|\right)^2 = \|x\|_1^2$ ; $\|x\|_1 = \sum_i |x_i| \leq n \max_i |x_i| = n\|x\|_\infty$. - Sur $\mathcal{B}([0,1], \mathbb{K})$ : $\|f\|_1 = \int_0^1 |f(t)|\,dt \leq \int_0^1 \|f\|_\infty \,dt = \|f\|_\infty$, donc $\|f\|_1 \leq \|f\|_\infty$ — mais l'inégalité inverse n'existe pas (section 3) : les normes ne sont pas équivalentes sur cet espace de dimension infinie. - Sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ (normes induites de $\mathbb{K}^{n^2}$) : mêmes encadrements que sur $\mathbb{K}^{n^2}$, avec les constantes $n^2$ : $\|\cdot\|_\infty \leq \|\cdot\|_2 \leq \|\cdot\|_1 \leq n^2 \|\cdot\|_\infty$. **Utilisation typique** : pour montrer qu'une suite converge dans $(\mathbb{K}^n, \|\cdot\|_2)$, il suffit de la montrer dans $(\mathbb{K}^n, \|\cdot\|_\infty)$ (et réciproquement), puisque les normes sont équivalentes. #### 5. Exemple récapitulatif Dans $\mathbb{R}^2$, pour $x = (3, 4)$ : $\|x\|_1 = 7$, $\|x\|_2 = 5$, $\|x\|_\infty = 4$. Les encadrements $\|x\|_\infty \leq \|x\|_2 \leq \|x\|_1 \leq 2\|x\|_\infty$ donnent $4 \leq 5 \leq 7 \leq 8$ : tout est cohérent, et les trois normes sont équivalentes (dimension finie). Sur $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$, la suite $f_n(t) = t^n$ montre en revanche que $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_\infty$ ne sont pas équivalentes : une même suite peut converger dans une norme et diverger dans l'autre.

#### 1. Point intérieur à une partie Soit $(E, \|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé et $A \subset E$. Un point $x \in A$ est **intérieur** à $A$ s'il existe $r > 0$ tel que $B(x, r) \subset A$ (une boule ouverte centrée en $x$ est incluse dans $A$). L'ensemble des points intérieurs à $A$ est l'**intérieur** de $A$, noté $\mathring{A}$. Exemples : dans $\mathbb{R}$, tout point de $]0, 1[$ est intérieur ; $0$ n'est pas intérieur à $[0, 1[$. #### 2. Ouvert d'un espace normé Une partie $O \subset E$ est **ouverte** si tous ses points sont intérieurs : pour tout $x \in O$, il existe $r > 0$ avec $B(x, r) \subset O$. L'ensemble $E$ lui-même et la partie vide $\emptyset$ sont ouverts. **Théorème : une boule ouverte est un ouvert.** Preuve : soit $y \in B(a, r)$ ; posons $\rho = r - \|y - a\| > 0$. Pour tout $z \in B(y, \rho)$ : $\|z - a\| \leq \|z - y\| + \|y - a\| < \rho + (r - \rho) = r$, donc $B(y, \rho) \subset B(a, r)$. *Attention* : une boule fermée n'est pas ouverte, et une boule ouverte n'est pas fermée (sauf cas dégénérés). #### 3. Stabilité par réunion quelconque, par intersection finie - Toute **réunion quelconque** d'ouverts est ouverte : si $x$ est dans la réunion, il est dans l'un des ouverts $O_i$, dont une boule centrée en $x$ est incluse dans la réunion. - Toute **intersection finie** d'ouverts est ouverte : si $x \in \bigcap_{i=1}^{p} O_i$, on prend le minimum des rayons $r_i$ et $B(x, \min r_i) \subset \bigcap_i O_i$. - **Attention** : une intersection **quelconque** d'ouverts n'est pas ouverte en général : $\bigcap_{n \geq 1} \,]-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}[ \; = \{0\}$ dans $\mathbb{R}$, qui n'est pas ouvert. (Par dualité : union quelconque de fermés = fermé, intersection quelconque de fermés = fermé, intersection finie d'ouverts = ouvert.) #### 4. Fermé d'un espace normé, caractérisation séquentielle Une partie $F \subset E$ est **fermée** si son complémentaire $E \setminus F$ est ouvert. **Caractérisation séquentielle** : $F$ est fermé si et seulement si pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $F$ qui **converge** dans $E$, la **limite appartient à $F$** : $$x_n \in F \ \forall n \ \text{ et } \ x_n \to \ell \implies \ell \in F.$$ **Théorème : une boule fermée $\bar{B}(a, r)$ et une sphère $S(a, r)$ sont des fermés.** Preuve (séquentielle) : si $x_n \in \bar{B}(a, r)$ et $x_n \to \ell$, alors $\|\ell - a\| = \lim \|x_n - a\| \leq r$ (la norme est continue), donc $\ell \in \bar{B}(a, r)$ ; de même pour $S(a, r)$ avec $\|\ell - a\| = r$. #### 5. Point adhérent à une partie, adhérence Un point $x \in E$ est **adhérent** à $A$ si toute boule ouverte centrée en $x$ rencontre $A$ : $\forall r > 0$, $B(x, r) \cap A \neq \emptyset$. L'ensemble des points adhérents à $A$ est l'**adhérence** (ou fermeture) de $A$, notée $\bar{A}$. On a $\mathring{A} \subset A \subset \bar{A}$, et $A$ est fermée si et seulement si $\bar{A} = A$. **Caractérisation séquentielle** : $x \in \bar{A}$ si et seulement s'il existe une suite $(x_n)$ d'éléments de $A$ telle que $x_n \to x$. Exemple : dans $\mathbb{R}$, l'adhérence de $]0, 1[$ est $[0, 1]$. #### 6. Partie dense Une partie $A \subset E$ est **dense** dans $E$ si $\bar{A} = E$, c'est-à-dire si toute boule ouverte de $E$ rencontre $A$, ou encore (caractérisation séquentielle) si tout élément de $E$ est limite d'une suite d'éléments de $A$. Exemples : $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ ; les polynômes sont denses dans $(\mathcal{C}([0,1], \mathbb{R}), \|\cdot\|_\infty)$ (théorème de Weierstrass, admis) ; $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$. #### 7. Invariance des notions topologiques par passage à une norme équivalente Si $N$ et $N'$ sont des **normes équivalentes** sur $E$, alors les notions d'**intérieur, d'ouvert, de fermé, d'adhérence, de densité** sont **identiques** pour $N$ et $N'$. Preuve : l'équivalence $\alpha N \leq N' \leq \beta N$ permet de gonfler/dégonfler les boules ($B_N(x, r/\beta) \subset B_{N'}(x, r) \subset B_N(x, r/\alpha)$) : être intérieur/adhérent pour $N$ équivaut à l'être pour $N'$, et une suite converge pour $N$ ssi pour $N'$. Les ouverts de $(E, N)$ sont donc exactement les ouverts de $(E, N')$ : en dimension finie, toutes les normes définissent **la même topologie**. #### 8. Exemple récapitulatif Dans $(\mathbb{R}^2, \|\cdot\|_\infty)$ : la boule ouverte $B(0, 1)$ est le carré ouvert $]-1, 1[^2$, qui est un ouvert ; la boule fermée $\bar{B}(0,1) = [-1, 1]^2$ et la sphère (le carré de côté $2$) sont des fermés ; la suite $u_n = (1 - \frac{1}{n}, 0)$ est dans $B(0,1)$, converge vers $(1, 0) \notin B(0,1)$ — la boule ouverte n'est pas fermée ; et $(1,0) \in \bar{B}(0,1)$ est adhérent à $B(0,1)$ car $u_n \to (1, 0)$.

#### 1. Limite d'une fonction en un point adhérent à son domaine Soient $E, F$ deux espaces vectoriels normés, $D \subset E$ et $f : D \to F$. Soit $a$ un point **adhérent** à $D$ (toute boule centrée en $a$ rencontre $D$ ; en particulier $a$ peut ne pas appartenir à $D$). On dit que $f$ admet pour **limite** $\ell \in F$ en $a$ si $$\forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0, \ \forall x \in D, \quad \|x - a\| \leq \delta \implies \|f(x) - \ell\| \leq \varepsilon.$$ On note $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$. **Caractérisation séquentielle** : $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ si et seulement si pour **toute** suite $(x_n)$ d'éléments de $D$ telle que $x_n \to a$ (avec $x_n \neq a$ si $a \in D$ et qu'on étudie la limite au point), on a $f(x_n) \to \ell$. *Esquisse* : le sens direct est immédiat (appliquer la définition à la suite) ; la réciproque se démontre par contraposée en construisant une suite $x_n \in D$ avec $\|x_n - a\| \leq 1/n$ et $\|f(x_n) - \ell\| > \varepsilon$. La limite, lorsqu'elle existe, est **unique**. Exemple : $f : \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ a pour limite $1$ en $0$ (point adhérent au domaine mais hors du domaine). #### 2. Opérations algébriques sur les limites, composition Si $f : D \to F$ a pour limite $\ell$ en $a$, $g : D \to F$ a pour limite $m$ en $a$, et $(\lambda_n) \to \lambda$ : - **Somme** : $f + g \to \ell + m$ ($\|f(x) + g(x) - \ell - m\| \leq \|f(x) - \ell\| + \|g(x) - m\|$). - **Produit externe** : $\lambda f \to \lambda \ell$ ; si $(\lambda_n)$ est une suite de scalaires convergeant vers $\lambda$ et $(f_n)$ des fonctions... (cas scalaire) $\lambda f \to \lambda\ell$. - **Produit** (si $F$ est une algèbre normée avec $\|uv\| \leq \|u\|\|v\|$, ou $F = \mathbb{K}$) : $fg \to \ell m$ via $\|f(x)g(x) - \ell m\| \leq \|f(x)\|\,\|g(x) - m\| + \|f(x) - \ell\|\,\|m\|$. - **Composition** : si $f : E \to F$ a pour limite $\ell$ en $a$ et si $g : F \to G$ est **continue en $\ell$**, alors $g \circ f$ a pour limite $g(\ell)$ en $a$ (la continuité en un point suffit : on compose les $\varepsilon$-$\delta$). Exemple : $\lim_{x \to 0} \exp\left(\frac{\sin x}{x}\right) = e$. Ces opérations se justifient proprement avec la caractérisation séquentielle et les opérations sur les limites de suites. #### 3. Continuité en un point. Caractérisation séquentielle Soit $f : D \to F$ et $a \in D$. On dit que $f$ est **continue en $a$** si $$\lim_{x \to a, \, x \in D} f(x) = f(a),$$ c'est-à-dire : $\forall \varepsilon > 0$, $\exists \delta > 0$, $\forall x \in D$, $\|x - a\| \leq \delta \implies \|f(x) - f(a)\| \leq \varepsilon$. **Caractérisation séquentielle** : $f$ est continue en $a$ si et seulement si pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $D$ avec $x_n \to a$, on a $f(x_n) \to f(a)$. On dit que $f$ est **continue sur $D$** si elle est continue en tout point de $D$. Exemples dans un espace vectoriel normé : la norme $x \mapsto \|x\|$ est continue (via $|\,\|x\| - \|y\|\,| \leq \|x - y\|$) ; toute application linéaire en dimension finie est continue ; les additions et produits (dans une algèbre) sont continus. Exemple de discontinue : la fonction indicatrice de $\mathbb{Q}$ est discontinue en tout point de $\mathbb{R}$ (car $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ sont denses : on trouve des suites rationnelles et irrationnelles tendant vers n'importe quel point). #### 4. Exemple récapitulatif Soit $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ pour $(x,y) \neq (0,0)$. Le point $a = (0,0)$ est adhérent au domaine. En passant par les suites $x_n = (t_n, 0)$ puis $(t_n, t_n)$ avec $t_n \to 0$, on obtient $f(x_n) \to 0$ puis $f(x_n) \to 1/2$ : deux suites tendent vers $a$ avec des limites d'images différentes, donc $f$ **n'a pas de limite en $(0,0)$** (caractérisation séquentielle par contraposée). En revanche $g(x, y) = \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}$ (avec $g(0,0) = 0$) est continue en $(0,0)$ : $\left|\frac{x^2 y}{x^2+y^2}\right| \leq |y| \leq \sqrt{x^2 + y^2} \to 0$.

#### 1. Équivalence des normes en dimension finie **Théorème (admis)** : sur un espace vectoriel $E$ de **dimension finie**, toutes les normes sont **équivalentes** : pour toutes normes $N$ et $N'$ sur $E$, il existe $\alpha, \beta > 0$ telles que $$\alpha\, N(x) \leq N'(x) \leq \beta\, N(x) \quad \text{pour tout } x \in E.$$ Idée de preuve : par linéarité des coordonnées, il suffit de comparer à $\|\cdot\|_\infty$ dans une base ; la fonction $N$ est continue pour $\|\cdot\|_\infty$ (via $|N(x) - N(y)| \leq N(x - y) \leq C\|x - y\|_\infty$), donc bornée et minorée strictement sur la sphère unité $\|x\|_\infty = 1$, qui est compacte (théorème des bornes atteintes). **Conséquences** : toutes les normes définissent la même topologie (mêmes ouverts, mêmes suites convergentes, mêmes parties bornées) et la même notion de continuité sur $E$. #### 2. Convergence par coordonnées **Théorème** : soit $E$ de dimension finie, $\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)$ une base, et $(u_k)$ une suite de $E$ (respectivement $f : D \to E$ et $a \in \bar{D}$). Alors $$u_k \to u \text{ dans } E \iff \text{chaque coordonnée } u_{k,i} \to u_i \text{ dans } \mathbb{K} \text{ pour } i = 1, \ldots, n.$$ De même, $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ équivaut à $\lim_{x \to a} f_i(x) = \ell_i$ pour chaque coordonnée $f_i$ de $f$ dans la base. *Preuve* : les coordonnées sont des applications linéaires, donc continues (voir §4) ; réciproquement $\|u_k - u\|_\infty = \max_i |u_{k,i} - u_i|$. Grâce à l'équivalence des normes, le résultat ne dépend pas de la base choisie. **En pratique** : dans $\mathbb{K}^n$, $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ ou tout espace de dimension finie, la convergence se teste **coefficient par coefficient**. #### 3. Théorème des bornes atteintes **Théorème** (forme correcte du théorème des bornes atteintes) : soit $E$ un espace vectoriel normé de **dimension finie**, $A$ une partie **non vide, fermée et bornée** de $E$ (les compacts de $E$ sont exactement les fermés bornés) et $f : A \to \mathbb{R}$ **continue**. Alors $f$ est **bornée** sur $A$ et **atteint ses bornes** : il existe $a_1, a_2 \in A$ telles que $$f(a_1) = \inf_A f = \min_A f \quad \text{et} \quad f(a_2) = \sup_A f = \max_A f.$$ *Idée de preuve* : toute suite bornée de $E$ (dimension finie) admet une **sous-suite convergente** (théorème de Bolzano-Weierstrass, conséquence de la compacité de $\bar{B}(0,1)$) ; si $M = \sup_A f$, une suite $(x_k)$ de $A$ avec $f(x_k) \to M$ admet une sous-suite $x_{\varphi(k)} \to a \in A$ (car $A$ fermée bornée), et la continuité donne $f(a) = M$. *Attention* : l'énoncé exige la **continuité** de $f$ et la partie doit être **fermée** : sur $]0, 1[$, la fonction $x \mapsto x$ n'atteint ni $0$ ni $1$. Applications classiques : existence de points de distance minimale/maximale d'un point à un ensemble fermé borné, valeur propre de module maximal atteinte (rayon spectral sur la sphère). #### 4. Continuité des applications linéaires, multilinéaires et polynomiales **Théorème** : en dimension finie, **toute application linéaire** $u : E \to F$ est **continue**. *Preuve* : dans des bases de $E$ et $F$, en notant $M = (m_{ij})$ la matrice de $u$ et en munissant les espaces de $\|\cdot\|_\infty$ : $$\|u(x)\|_\infty = \max_i \left|\sum_j m_{ij} x_j\right| \leq \left(\max_i \sum_j |m_{ij}|\right) \|x\|_\infty = C \|x\|_\infty,$$ d'où la continuité (en $0$ puis partout par linéarité), avec $C = \|M\|_\infty$. **Corollaire — applications multilinéaires** : toute application $n$-linéaire $\varphi : E_1 \times \cdots \times E_n \to F$ (espaces de dimension finie) est **continue** : elle est polynomiale en les coordonnées, et on peut borner $$\|\varphi(x_1, \ldots, x_n)\| \leq C \,\|x_1\| \cdots \|x_n\|$$ sur les produits de boules. Les **applications polynomiales** (combinaisons linéaires de produits de formes coordonnées) sont continues pour la même raison. **Exemples** : - **Déterminant** : $\det : \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \to \mathbb{K}$ est polynomial en les coefficients (somme de $n!$ monômes), donc continu ; vu comme fonction $n$-linéaire alternée des colonnes, $(M_1, \ldots, M_n) \mapsto \det(M_1, \ldots, M_n)$ est continue en chaque variable. - **Produit matriciel** : $(A, B) \mapsto AB$ est **bilinéaire** en les coefficients, donc continu : si $A_k \to A$ et $B_k \to B$ (coefficient par coefficient), alors $A_k B_k \to AB$. - Applications concrètes : les endomorphismes $A \mapsto A^2$, $A \mapsto \mathrm{tr}(A)$, $A \mapsto \chi_A$ (coefficients continus en les coefficients de $A$) sont continus. #### 5. Exemple récapitulatif - Dans $\mathbb{R}^2$ muni de $\|\cdot\|_1$ ou $\|\cdot\|_\infty$ : $u_k = (\frac{1}{k}, \frac{k}{k+1})$ converge vers $(0, 1)$ car ses **coordonnées** convergent — le résultat ne dépend pas de la norme (équivalence en dimension finie). - Sur $A = [0, 1] \times [0, 1]$ (fermé borné de $\mathbb{R}^2$), $f(x, y) = x^2 + y^2$ atteint son minimum $0$ en $(0,0)$ et son maximum $2$ en $(1,1)$ : bornes atteintes. - $\det : \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$, $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} = ad - bc$ est polynomiale en $(a, b, c, d)$, donc continue : si $A_k \to A$, alors $\det(A_k) \to \det(A)$.

#### 1. Opérations algébriques, composition Soient $E, F, G$ des espaces vectoriels normés et $D \subset E$ une partie. L'ensemble des fonctions **continues sur $D$** (c'est-à-dire continues en tout point de $D$) est stable par : - **combinaisons linéaires** : si $f, g : D \to F$ sont continues sur $D$ et $\lambda \in \mathbb{K}$, alors $f + g$ et $\lambda f$ sont continues sur $D$ ; - **produit** (lorsque $F$ est une algèbre normée, par exemple $F = \mathbb{K}$ ou $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$) : $fg$ est continue sur $D$ ; - **composition** : si $f : D \subset E \to F$ est continue sur $D$ et si $g : F' \subset F \to G$ est continue sur un ensemble contenant $f(D)$, alors $g \circ f$ est continue sur $D$. La démonstration passe par la caractérisation séquentielle : si $x_n \to a$ dans $D$, alors $f(x_n) \to f(a)$, $g(x_n) \to g(a)$, d'où $f(x_n) + g(x_n) \to f(a) + g(a)$ et $g(f(x_n)) \to g(f(a))$. #### 2. Image réciproque d'un ouvert, d'un fermé par une application continue **Théorème** : soit $f : E \to F$ continue sur $E$. Alors $$O \text{ ouvert de } F \implies f^{-1}(O) \text{ ouvert de } E, \qquad K \text{ fermé de } F \implies f^{-1}(K) \text{ fermé de } E.$$ - *Ouvert* : soit $x \in f^{-1}(O)$, c'est-à-dire $f(x) \in O$. Comme $O$ est ouvert, il existe $\varepsilon > 0$ avec $B(f(x), \varepsilon) \subset O$ ; par continuité de $f$ en $x$, il existe $\delta > 0$ avec $f(B(x, \delta)) \subset B(f(x), \varepsilon) \subset O$, donc $B(x, \delta) \subset f^{-1}(O)$ : $f^{-1}(O)$ est ouvert. - *Fermé* : $f^{-1}(F \setminus K) = E \setminus f^{-1}(K)$, et le complémentaire d'un ouvert est fermé (ou preuve séquentielle : si $x_n \in f^{-1}(K)$ et $x_n \to x$, alors $f(x_n) \in K$ et $f(x_n) \to f(x)$, donc $f(x) \in K$). **Attention** : il s'agit d'images **réciproques** ; l'image directe d'un ouvert par une application continue n'est pas forcément ouverte (exemple : $f(x) = x^2$ sur $\mathbb{R}$ envoie l'ouvert $]-1, 1[$ sur $[0, 1[$, non ouvert), ni l'image d'un fermé sur un fermé ($f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ envoie le fermé $\mathbb{R}$ sur $]0, 1]$, non fermé). #### 3. Ensembles définis par des inégalités sur une fonction continue **Théorème** : si $f : E \to \mathbb{R}$ est continue, alors $$\{x \in E \mid f(x) > 0\} = f^{-1}\big(]0, +\infty[\big) \text{ est un ouvert de } E,$$ $$\{x \in E \mid f(x) = 0\} = f^{-1}(\{0\}) \text{ et } \{x \in E \mid f(x) \geq 0\} = f^{-1}([0, +\infty[) \text{ sont des fermés}.$$ C'est l'application directe de la section 2 avec les ouverts/fermés de $\mathbb{R}$ : $]0, +\infty[$ est ouvert, $\{0\}$ et $[0, +\infty[$ sont fermés. De même $\{f < 0\}$ est ouvert et $\{f \leq 0\}$ fermé. Exemples : pour $f(x, y) = x^2 + y^2 - 1$ sur $\mathbb{R}^2$, l'ensemble $\{f > 0\}$ est l'extérieur du disque unité (ouvert), $\{f = 0\}$ est le cercle unité (fermé) et $\{f \geq 0\}$ est l'extérieur fermé du disque. Pour une application linéaire $u$ continue, $\{x \mid u(x) = 0\} = \ker u$ est fermé. #### 4. Fonction lipschitzienne. Toute fonction lipschitzienne est continue Soient $D \subset E$ et $f : D \to F$. On dit que $f$ est **$k$-lipschitzienne** ($k \in \mathbb{R}_+$) si $$\|f(x) - f(y)\| \leq k \, \|x - y\| \quad \text{pour tous } x, y \in D.$$ **Théorème** : toute fonction lipschitzienne est **continue** sur $D$. *Preuve* : soit $a \in D$ et $\varepsilon > 0$ ; posons $\delta = \varepsilon / k$ (si $k > 0$ ; n'importe quel $\delta$ si $k = 0$, fonction constante). Pour $x \in D$ avec $\|x - a\| \leq \delta$ : $$\|f(x) - f(a)\| \leq k\|x - a\| \leq k \cdot \frac{\varepsilon}{k} = \varepsilon.$$ **Exemples** : la norme est $1$-lipschitzienne ($|\,\|x\| - \|y\|\,| \leq \|x - y\|$) ; les applications affines $x \mapsto ax + b$ sont $|a|$-lipschitiennes ; les projections sont $1$-lipschitiennes ; en dimension finie, toute application linéaire est lipschitzienne ($\|u(x)\| \leq C\|x\|$). **Contre-exemples (réciproque fausse)** : $x \mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $[0, +\infty[$ mais non lipschitzienne ; $x \mapsto x^2$ est continue mais non lipschitzienne sur $\mathbb{R}$. #### 5. Exemple récapitulatif Soit $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $f(x, y) = x^2 + y^2 - 1$, polynomiale donc continue. - $\{f > 0\} = f^{-1}(]0, +\infty[) = \{(x,y) \mid x^2 + y^2 > 1\}$ : ouvert. - $\{f = 0\} = f^{-1}(\{0\}) = $ cercle unité : fermé (et ce n'est ni ouvert ni... c'est fermé non ouvert). - $\{f \geq 0\} = f^{-1}([0, +\infty[) = \{(x,y) \mid x^2 + y^2 \geq 1\}$ : fermé. - La distance à un point, $g(x) = \|x - a\|$, est $1$-lipschitzienne donc continue ; l'ensemble $\{x \mid g(x) \leq r\} = \bar{B}(a, r)$ est fermé, ce qui redonne la fermeture de la boule fermée.

Espaces vectoriels normés

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