Espaces vectoriels normés de dimension finie

#### 1. Équivalence des normes en dimension finie **Théorème (admis)** : sur un espace vectoriel $E$ de **dimension finie**, toutes les normes sont **équivalentes** : pour toutes normes $N$ et $N'$ sur $E$, il existe $\alpha, \beta > 0$ telles que $$\alpha\, N(x) \leq N'(x) \leq \beta\, N(x) \quad \text{pour tout } x \in E.$$ Idée de preuve : par linéarité des coordonnées, il suffit de comparer à $\|\cdot\|_\infty$ dans une base ; la fonction $N$ est continue pour $\|\cdot\|_\infty$ (via $|N(x) - N(y)| \leq N(x - y) \leq C\|x - y\|_\infty$), donc bornée et minorée strictement sur la sphère unité $\|x\|_\infty = 1$, qui est compacte (théorème des bornes atteintes). **Conséquences** : toutes les normes définissent la même topologie (mêmes ouverts, mêmes suites convergentes, mêmes parties bornées) et la même notion de continuité sur $E$. #### 2. Convergence par coordonnées **Théorème** : soit $E$ de dimension finie, $\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)$ une base, et $(u_k)$ une suite de $E$ (respectivement $f : D \to E$ et $a \in \bar{D}$). Alors $$u_k \to u \text{ dans } E \iff \text{chaque coordonnée } u_{k,i} \to u_i \text{ dans } \mathbb{K} \text{ pour } i = 1, \ldots, n.$$ De même, $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ équivaut à $\lim_{x \to a} f_i(x) = \ell_i$ pour chaque coordonnée $f_i$ de $f$ dans la base. *Preuve* : les coordonnées sont des applications linéaires, donc continues (voir §4) ; réciproquement $\|u_k - u\|_\infty = \max_i |u_{k,i} - u_i|$. Grâce à l'équivalence des normes, le résultat ne dépend pas de la base choisie. **En pratique** : dans $\mathbb{K}^n$, $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ ou tout espace de dimension finie, la convergence se teste **coefficient par coefficient**. #### 3. Théorème des bornes atteintes **Théorème** (forme correcte du théorème des bornes atteintes) : soit $E$ un espace vectoriel normé de **dimension finie**, $A$ une partie **non vide, fermée et bornée** de $E$ (les compacts de $E$ sont exactement les fermés bornés) et $f : A \to \mathbb{R}$ **continue**. Alors $f$ est **bornée** sur $A$ et **atteint ses bornes** : il existe $a_1, a_2 \in A$ telles que $$f(a_1) = \inf_A f = \min_A f \quad \text{et} \quad f(a_2) = \sup_A f = \max_A f.$$ *Idée de preuve* : toute suite bornée de $E$ (dimension finie) admet une **sous-suite convergente** (théorème de Bolzano-Weierstrass, conséquence de la compacité de $\bar{B}(0,1)$) ; si $M = \sup_A f$, une suite $(x_k)$ de $A$ avec $f(x_k) \to M$ admet une sous-suite $x_{\varphi(k)} \to a \in A$ (car $A$ fermée bornée), et la continuité donne $f(a) = M$. *Attention* : l'énoncé exige la **continuité** de $f$ et la partie doit être **fermée** : sur $]0, 1[$, la fonction $x \mapsto x$ n'atteint ni $0$ ni $1$. Applications classiques : existence de points de distance minimale/maximale d'un point à un ensemble fermé borné, valeur propre de module maximal atteinte (rayon spectral sur la sphère). #### 4. Continuité des applications linéaires, multilinéaires et polynomiales **Théorème** : en dimension finie, **toute application linéaire** $u : E \to F$ est **continue**. *Preuve* : dans des bases de $E$ et $F$, en notant $M = (m_{ij})$ la matrice de $u$ et en munissant les espaces de $\|\cdot\|_\infty$ : $$\|u(x)\|_\infty = \max_i \left|\sum_j m_{ij} x_j\right| \leq \left(\max_i \sum_j |m_{ij}|\right) \|x\|_\infty = C \|x\|_\infty,$$ d'où la continuité (en $0$ puis partout par linéarité), avec $C = \|M\|_\infty$. **Corollaire — applications multilinéaires** : toute application $n$-linéaire $\varphi : E_1 \times \cdots \times E_n \to F$ (espaces de dimension finie) est **continue** : elle est polynomiale en les coordonnées, et on peut borner $$\|\varphi(x_1, \ldots, x_n)\| \leq C \,\|x_1\| \cdots \|x_n\|$$ sur les produits de boules. Les **applications polynomiales** (combinaisons linéaires de produits de formes coordonnées) sont continues pour la même raison. **Exemples** : - **Déterminant** : $\det : \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \to \mathbb{K}$ est polynomial en les coefficients (somme de $n!$ monômes), donc continu ; vu comme fonction $n$-linéaire alternée des colonnes, $(M_1, \ldots, M_n) \mapsto \det(M_1, \ldots, M_n)$ est continue en chaque variable. - **Produit matriciel** : $(A, B) \mapsto AB$ est **bilinéaire** en les coefficients, donc continu : si $A_k \to A$ et $B_k \to B$ (coefficient par coefficient), alors $A_k B_k \to AB$. - Applications concrètes : les endomorphismes $A \mapsto A^2$, $A \mapsto \mathrm{tr}(A)$, $A \mapsto \chi_A$ (coefficients continus en les coefficients de $A$) sont continus. #### 5. Exemple récapitulatif - Dans $\mathbb{R}^2$ muni de $\|\cdot\|_1$ ou $\|\cdot\|_\infty$ : $u_k = (\frac{1}{k}, \frac{k}{k+1})$ converge vers $(0, 1)$ car ses **coordonnées** convergent — le résultat ne dépend pas de la norme (équivalence en dimension finie). - Sur $A = [0, 1] \times [0, 1]$ (fermé borné de $\mathbb{R}^2$), $f(x, y) = x^2 + y^2$ atteint son minimum $0$ en $(0,0)$ et son maximum $2$ en $(1,1)$ : bornes atteintes. - $\det : \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$, $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} = ad - bc$ est polynomiale en $(a, b, c, d)$, donc continue : si $A_k \to A$, alors $\det(A_k) \to \det(A)$.