Fonctions continues par morceaux

#### 1. Fonctions continues par morceaux sur un segment, sur un intervalle - **Sur un segment** $[a, b]$ : une fonction $f : [a, b] \to \mathbb{K}$ est **continue par morceaux (CPPM)** s'il existe un découpage $a = t_0 < t_1 < \cdots < t_p = b$ tel que $f$ soit continue sur chaque intervalle ouvert $]t_{i-1}, t_i[$ et admette des **limites finies** à droite en $t_{i-1}$ et à gauche en $t_i$. Exemples : les fonctions continues, les fonctions en escalier, $x \mapsto \mathbb{1}_{x > 0}(x)$ (valeur en $0$ sans importance), $x \mapsto |x|$ sur $[-1, 1]$. - **Sur un intervalle quelconque** $I \subset \mathbb{R}$ : $f$ est CPPM sur $I$ si $f$ est CPPM sur **tout segment** $[a, b] \subset I$. Exemple : la fonction partie entière $x \mapsto \lfloor x \rfloor$ est CPPM sur $\mathbb{R}$. Propriétés : l'ensemble des fonctions CPPM sur $I$ est un **espace vectoriel** stable par produit (les produits et sommes de CPPM sont CPPM). #### 2. Intégrale sur un segment d'une fonction continue par morceaux Soit $f$ CPPM sur $[a, b]$ et un découpage adapté $(t_i)$. Pour chaque morceau, $\tilde{f}_i$ désigne le **prolongement par continuité** de $f|_{]t_{i-1}, t_i[}$ au segment fermé $[t_{i-1}, t_i]$ (limite finie en chaque bout). On définit $$\int_a^b f(t)\,dt = \sum_{i=1}^{p} \int_{t_{i-1}}^{t_i} \tilde{f}_i(t)\,dt.$$ **Cette valeur ne dépend pas du découpage adapté choisi** (propriété admise, conséquence de Chasles et de l'invariance de l'intégrale par modification sur un ensemble fini de points). Cas particulier : si $f$ est continue, on retrouve l'intégrale usuelle. Exemple : $\int_{-1}^{1} \mathbb{1}_{x>0}(x)\,dx = \int_0^1 1\,dx = 1$ (la valeur en $0$ ne compte pas). #### 3. Extension des propriétés de l'intégrale d'une fonction continue Toutes les propriétés de l'intégrale des fonctions continues s'étendent aux CPPM sur $[a, b]$ : - **Linéarité** : $\int_a^b (\lambda f + \mu g) = \lambda \int_a^b f + \mu \int_a^b g$ ; - **Positivité** : $f \geq 0 \Rightarrow \int_a^b f \geq 0$ ; **croissance** : $f \leq g \Rightarrow \int_a^b f \leq \int_a^b g$ ; - **Inégalité triangulaire** : $\left|\int_a^b f\right| \leq \int_a^b |f|$ ($|f|$ est CPPM si $f$ l'est) ; - **Relation de Chasles** : $\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f$ ; - **Fonction d'intégration** : $x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$ est **continue** sur $[a, b]$, et de classe $\mathcal{C}^1$ en tout point où $f$ est continue (avec dérivée $f(x)$) ; - **Intégration par parties** : si $f, g$ sont CPPM et dérivables par morceaux avec $f'g$ et $fg'$ CPPM, la formule $\int_a^b f g' + \int_a^b f' g = [fg]_a^b$ reste valable en prenant les limites aux points de découpage (les valeurs aux points isolés n'influencent pas l'intégrale). De plus, toute fonction CPPM sur $[a, b]$ est **bornée**, et $\left|\int_a^b f\right| \leq (b - a) \sup_{[a,b]} |f|$. #### 4. Extension aux suites de fonctions de classe $\mathcal{C}^k$ et intégration des limites **Rappel du cadre** (lien avec les théorèmes sur les suites de fonctions) : si $(f_n)$ est une suite de fonctions **continues** sur $[a, b]$ convergeant **uniformément** vers $f$ sur $[a, b]$, alors $$\int_a^b f_n(t)\,dt \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_a^b f(t)\,dt$$ (permutation limite-intégrale). **Extension à l'ordre $\mathcal{C}^k$** : si les $f_n$ sont de classe $\mathcal{C}^k$ sur $[a, b]$, si $(f_n^{(j)})$ converge simplement vers $f^{(j)}$ pour $0 \leq j \leq k-1$ et si $(f_n^{(k)})$ converge **uniformément** vers $g$, alors $f$ est de classe $\mathcal{C}^k$, $f^{(k)} = g$, et pour tout $j \leq k$ : $$\int_a^b f_n^{(j)}(t)\,dt \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_a^b f^{(j)}(t)\,dt.$$ Le même résultat vaut pour une **série** $\sum f_n$ : convergence simple de $\sum f_n^{(j)}$ ($j < k$) + convergence uniforme de $\sum f_n^{(k)}$ permettent la permutation $\int \sum = \sum \int$ pour les dérivées jusqu'à l'ordre $k$. Ces extensions reposent sur la continuité de l'intégrale vis-à-vis de la norme de la convergence uniforme : $\left|\int_a^b (f_n - f)\right| \leq (b-a) \|f_n - f\|_\infty$. *Exemple* : $f_n(x) = \sum_{j=0}^{n} \frac{x^j}{j!} \to e^x$ uniformément sur $[0, 1]$, donc $\int_0^1 f_n \to \int_0^1 e^x = e - 1$, soit $\sum_{j \geq 0} \frac{1}{(j+1)!(j+1)} = e - 1$. #### 5. Exemple récapitulatif Soit $f : [-2, 2] \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = -1$ si $x < 0$, $f(x) = x$ si $x \geq 0$ : $f$ est CPPM (découpage en $0$ ; limite à gauche $-1$, à droite $0$ en $0$). Alors $$\int_{-2}^{2} f(t)\,dt = \int_{-2}^{0} (-1)\,dt + \int_{0}^{2} t\,dt = -2 + 2 = 0.$$ Le prolongement par continuité du morceau $]-2, 0[$ est la constante $-1$, celui de $]0, 2[$ est $x \mapsto x$ ; la valeur de $f$ en $0$ (ici $f(0) = 0$) ne modifie pas l'intégrale.