Fonctions de classe $\mathcal{C}^1$

#### 1. Dérivée en un point selon un vecteur Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^p$, $f : \Omega \to \mathbb{R}$, $a \in \Omega$ et $v \in \mathbb{R}^p$ (avec $a + tv \in \Omega$ pour $t$ voisin de $0$). La **dérivée de $f$ en $a$ selon le vecteur $v$** est, lorsqu'elle existe, $$D_v f(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h v) - f(a)}{h} \in \mathbb{R}.$$ Elle se calcule en restreignant $f$ à la droite affine $a + \mathbb{R}v$ : c'est la dérivée usuelle de la fonction d'une variable $t \mapsto f(a + tv)$ en $t = 0$. Remarque : $D_v f(a)$ est **homogène en $v$** lorsque la différentielle existe ($D_{\lambda v} f(a) = \lambda D_v f(a)$), mais l'existence de $D_v f(a)$ pour tout $v$ ne suffit pas à faire de $v \mapsto D_v f(a)$ une forme linéaire. #### 2. Dérivées partielles d'ordre 1 Pour $v = e_i$ ($i$-ième vecteur de la base canonique de $\mathbb{R}^p$), la dérivée selon $e_i$ s'appelle la **dérivée partielle d'ordre 1** de $f$ en $a$ (par rapport à la $i$-ème variable) : $$\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = \partial_i f(a) = D_{e_i} f(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a_1, \ldots, a_i + h, \ldots, a_p) - f(a)}{h}.$$ Concrètement, on **gèle** les autres variables et on dérive la fonction d'une variable obtenue. Exemple : pour $f(x, y) = x^2 y + e^{xy}$ : $\frac{\partial f}{\partial x}(x, y) = 2xy + y e^{xy}$, $\frac{\partial f}{\partial y}(x, y) = x^2 + x e^{xy}$. #### 3. Classe $\mathcal{C}^1$ sur $\Omega$ Une fonction $f : \Omega \to \mathbb{R}$ est de **classe $\mathcal{C}^1$ sur $\Omega$** si ses dérivées partielles d'ordre $1$ **existent** en tout point de $\Omega$ et sont **continues** sur $\Omega$. On note $\mathcal{C}^1(\Omega, \mathbb{R})$ l'ensemble de ces fonctions. Exemples : toute fonction polynomiale ou rationnelle (définie là où le dénominateur ne s'annule pas) est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ donc $\mathcal{C}^1$ ; les restrictions de telles fonctions aussi. #### 4. Opérations sur les fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ L'ensemble $\mathcal{C}^1(\Omega, \mathbb{R})$ est stable par : - **combinaisons linéaires** : $\lambda f + \mu g$ ; - **produit** : $\frac{\partial (fg)}{\partial x_i} = \frac{\partial f}{\partial x_i} g + f\,\frac{\partial g}{\partial x_i}$ (règle de Leibniz, variable par variable) ; - **quotient** : $f/g$ est de classe $\mathcal{C}^1$ là où $g \neq 0$ ; - **composition « chaîne simple »** : si $\varphi : J \to \mathbb{R}^p$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur l'intervalle $J$ et $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert contenant $\varphi(J)$, alors $f \circ \varphi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $J$ et $$(f \circ \varphi)'(t) = \sum_{i=1}^{p} \frac{\partial f}{\partial x_i}(\varphi(t))\, \varphi_i'(t).$$ #### 5. Développement limité d'ordre 1 ; continuité **Théorème** : si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\Omega$ et $a \in \Omega$, alors $f$ admet en $a$ un **développement limité d'ordre $1$** : $$f(a + h) = f(a) + \sum_{i=1}^{p} \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)\, h_i + o\big(\|h\|\big) \quad (h \to 0, \ h \text{ petit}).$$ *Preuve (esquisse)* : par le théorème des accroissements finis à plusieurs variables — écrire $f(a + h) - f(a)$ comme somme des variations le long des axes (chemin en escalier), chaque variation étant contrôlée par une dérivée partielle continue. **Conséquence** : une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\Omega$ est **continue sur $\Omega$** (le DL d'ordre 1 donne $f(a + h) \to f(a)$ quand $h \to 0$). *Attention* : l'existence des dérivées partielles en un point ne suffit pas — la fonction $g(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ prolongée par $g(0,0) = 0$ admet des dérivées partielles en $(0,0)$ (toutes nulles) mais n'y est pas continue. #### 6. Différentielle de $f$ en $a$ **Définition** : si $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\Omega$ et $a \in \Omega$, la **différentielle de $f$ en $a$**, notée $\mathrm{d}f(a)$, est la **forme linéaire** sur $\mathbb{R}^p$ : $$\mathrm{d}f(a) : h = (h_1, \ldots, h_p) \longmapsto \sum_{i=1}^{p} \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)\, h_i,$$ c'est-à-dire $\mathrm{d}f(a) \cdot h = \langle \nabla f(a), h \rangle$ où $\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_p}(a)\right)$ est le **gradient** de $f$ en $a$. Avec cette notation, le DL d'ordre 1 s'écrit $f(a + h) = f(a) + \mathrm{d}f(a)\cdot h + o(\|h\|)$, et $D_v f(a) = \mathrm{d}f(a)\cdot v$ pour tout vecteur $v$. *Exemple* : pour $f(x, y) = x^2 y$ en $a = (1, 0)$ : $\mathrm{d}f(a)\cdot(h_1, h_2) = 2xy|_a h_1 + x^2|_a h_2 = 0 \cdot h_1 + 1 \cdot h_2 = h_2$. #### 7. Exemple récapitulatif Soit $f(x, y) = x^2 y + e^{xy}$ sur $\Omega = \mathbb{R}^2$. - Dérivées partielles : $\partial_x f = 2xy + y e^{xy}$, $\partial_y f = x^2 + x e^{xy}$, continues sur $\mathbb{R}^2$ : $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ (même $\mathcal{C}^{\infty}$). - Différentielle en $a = (1, 0)$ : $\partial_x f(1,0) = 0$, $\partial_y f(1,0) = 1 + e^0 = 1 + 1 = 2$... par le calcul : $\partial_y f(1, 0) = 1^2 + 1 \cdot e^{0} = 2$. Donc $\mathrm{d}f(1, 0)\cdot(h_1, h_2) = 2 h_2$, et $$f(1 + h_1, h_2) = 1 + 2 h_2 + o(\|(h_1, h_2)\|).$$ - Dérivée selon $v = (1, 1)$ en $(1, 0)$ : $D_v f(1, 0) = \mathrm{d}f(1,0)\cdot(1,1) = 2$.

$f$ est de **classe $C^1$** sur un intervalle si elle est **dérivable** et si $f'$ est **continue** ; stable par opérations.

- **Définition** : $f'$ existe et continue. - **Stabilité** : $+$, $\times$, $\circ$, $/$ ($\neq0$). - **Hiérarchie** : $C^1\Rightarrow$ dérivable $\Rightarrow$ continue. - **Usage** : théorèmes (TAF, IAF, prolongement).

1. **Calculer** $f'$. 2. **Étudier** sa continuité. 3. **Conclure** $C^1$. 1. **Vérifier** la continuité de $f'$. 2. **Utiliser** la stabilité. - **Piège classique** : dérivable $\neq$ $C^1$ ($f'$ non continue) ; opérations ; $x^2\sin(1/x)$.

- $f(x)=x^m$ ($m\geq1$) : $C^1$ ; $x\mapsto|x|$ non dérivable en $0$. ```mermaid graph TD C["Classe C^1"] --> D["Derivable"] C --> DC["f' continue"] C --> S["Stable par +, x, o, /"] ```