Fonctions de classe $\mathcal{C}^2$

#### 1. Dérivées partielles d'ordre 2 et notations Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb{R}^p$ et $f : \Omega \to \mathbb{R}$ admettant des dérivées partielles d'ordre 1. Les **dérivées partielles d'ordre 2** de $f$ en $a$ sont les dérivées partielles en $a$ des fonctions $\partial_j f$, lorsqu'elles existent : $$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a) = \frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{\partial f}{\partial x_j}\right)(a), \qquad 1 \leq i, j \leq p.$$ La notation $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a)$ se lit « dérivée de $\frac{\partial f}{\partial x_j}$ par rapport à $x_i$ » : on dérive d'abord selon $x_j$, puis selon $x_i$. Les dérivées avec $i = j$ sont $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}(a)$ ; les autres sont dites **croisées**. On note aussi $\partial_{ij}^2 f(a)$ ou $\partial_{i,j} f(a)$. #### 2. Fonction de classe $\mathcal{C}^2$ sur un ouvert $f$ est de **classe $\mathcal{C}^2$ sur $\Omega$** si ses dérivées partielles d'ordre 2 existent en tout point de $\Omega$ et sont **continues** sur $\Omega$ (ce qui équivaut à : toutes les dérivées partielles d'ordres $1$ et $2$ existent et sont continues). Les fonctions de classe $\mathcal{C}^2$ sont stables par combinaisons linéaires, produit, quotient (dénominateur non nul) et composition chaîne simple. #### 3. Théorème de Schwarz **Théorème** : si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\Omega$, alors pour tous $i, j$ et tout $a \in \Omega$ : $$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}(a),$$ c'est-à-dire que les dérivées croisées **ne dépendent pas de l'ordre des dérivations**. Ce théorème garantit la symétrie de la matrice hessienne (section 4) et se généralise aux fonctions de classe $\mathcal{C}^k$. #### 4. Matrice hessienne en un point Pour $f$ de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\Omega$ et $a \in \Omega$, la **matrice hessienne** de $f$ en $a$ est la matrice des dérivées partielles secondes, notée $$\mathrm{H}_f(a) = \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a)\right)_{1 \leq i, j \leq p}.$$ Elle est **symétrique** (théorème de Schwarz). Sa forme quadratique associée est $h \mapsto h^{\mathsf{T}}\, \mathrm{H}_f(a)\, h = \mathrm{d}^2 f(a)(h, h)$. #### 5. Formule de Taylor-Young à l'ordre 2 **Théorème** : si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\Omega$ et $a \in \Omega$, alors pour $h$ petit : $$f(a + h) = f(a) + \mathrm{d}f(a)(h) + \frac{1}{2}\, \mathrm{d}^2 f(a)(h, h) + o(\|h\|^2) \quad (h \to 0).$$ **Expression en termes de produit scalaire** : en notant $\nabla f(a)$ le gradient de $f$ en $a$, $$\mathrm{d}f(a)(h) = \langle \nabla f(a), h \rangle \quad \text{et} \quad \frac{1}{2}\, \mathrm{d}^2 f(a)(h, h) = \frac{1}{2}\, \langle \mathrm{H}_f(a)\, h, h \rangle = \frac{1}{2}\, \langle h, \mathrm{H}_f(a)\, h \rangle,$$ de sorte que la formule s'écrit $$f(a + h) = f(a) + \langle \nabla f(a), h \rangle + \frac{1}{2}\, \langle \mathrm{H}_f(a)\, h, h \rangle + o(\|h\|^2).$$ #### 6. Exemple récapitulatif Soit $f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy$ sur $\mathbb{R}^2$. Dérivées partielles d'ordre 1 : $\partial_x f = 3x^2 - 3y$, $\partial_y f = 3y^2 - 3x$ ; d'ordre 2 : $\partial_{xx}^2 f = 6x$, $\partial_{xy}^2 f = -3$, $\partial_{yy}^2 f = 6y$, toutes continues : $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$. En $a = (1, 1)$ (point critique : $\nabla f(1, 1) = 0$) : $\mathrm{H}_f(1, 1) = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}$, symétrique (Schwarz), définie positive (valeurs propres $3$ et $9$), et Taylor-Young donne $f(1 + h, 1 + k) = -1 + \frac{1}{2}(6h^2 - 6hk + 6k^2) + o(h^2 + k^2) = -1 + 3h^2 - 3hk + 3k^2 + o(\|(h,k)\|^2)$ : minimum local strict.

$f$ est de **classe $C^2$** sur un ouvert si elle est **deux fois différentiable** et si ses **dérivées partielles secondes sont continues**. Alors $H_f$ (hessienne) est **symétrique** (Schwarz).

- **Définition** : $C^2$ = dérivées partielles d'ordre $2$ continues. - **Symétrie** : $\partial_{ij}f=\partial_{ji}f$ (Schwarz). - **Hessienne** : $H_f(x)$ symétrique. - **Usage** : optimisation (ordre 2), Taylor-Young.

1. **Calculer** les dérivées secondes. 2. **Vérifier** leur continuité. 3. **Utiliser** la hessienne. 1. **Calculer** les dérivées secondes. 2. **Étudier** la continuité. - **Piège classique** : $C^2$ (continuité) ; symétrie de la hessienne (Schwarz).

- $f(x,y)=x^2y$ $C^2$ : $\partial_{xy}=\partial_{yx}=2x$. ```mermaid graph TD C2["Classe C^2"] --> D["Derivees partielles d'ordre 2 continues"] C2 --> S["Hessienne symetrique (Schwarz)"] ```