Gradient

#### 1. Définition du gradient par ses coordonnées Dans $\mathbb{R}^p$ muni de sa **structure euclidienne canonique** (produit scalaire $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{p} x_i y_i$), toute forme linéaire sur $\mathbb{R}^p$ s'écrit de manière unique $h \mapsto \langle v, h \rangle$ pour un vecteur $v$. Pour $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{R}^p$ et $a \in \Omega$, la différentielle $\mathrm{d}f(a)$ étant une forme linéaire, il existe un unique vecteur $v$ tel que $\mathrm{d}f(a)\cdot h = \langle v, h \rangle$ pour tout $h$ : c'est le **gradient** de $f$ en $a$, défini par ses coordonnées $$\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \; \frac{\partial f}{\partial x_2}(a), \; \ldots, \; \frac{\partial f}{\partial x_p}(a)\right).$$ On note $\nabla f(a)$ (ou $\overrightarrow{\mathrm{grad}}\, f(a)$) ce vecteur de $\mathbb{R}^p$. #### 2. Relation $\mathrm{d}f(a)\cdot h = \langle \nabla f(a), h \rangle$ Par définition du gradient, pour tout $h = (h_1, \ldots, h_p) \in \mathbb{R}^p$ : $$\mathrm{d}f(a)\cdot h = \sum_{i=1}^{p} \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)\, h_i = \langle \nabla f(a), h \rangle.$$ En particulier, pour $h = v$ : $D_v f(a) = \mathrm{d}f(a)\cdot v = \langle \nabla f(a), v \rangle$ — la dérivée selon un vecteur quelconque s'obtient par produit scalaire avec le gradient. #### 3. Interprétation géométrique Si $\nabla f(a) \neq 0$, alors pour tout vecteur unitaire $v$ ($\|v\| = 1$) : $$D_v f(a) = \langle \nabla f(a), v \rangle = \|\nabla f(a)\| \cos(\widehat{\nabla f(a), v}) \leq \|\nabla f(a)\|,$$ avec **égalité si et seulement si $v = \frac{\nabla f(a)}{\|\nabla f(a)\|}$**. Autrement dit : - la dérivée de $f$ en $a$ est **maximale** selon le vecteur unitaire **colinéaire et de même sens** que $\nabla f(a)$, la valeur maximale étant $\|\nabla f(a)\|$ ; - elle est **minimale** (valeur $-\|\nabla f(a)\|$) selon le vecteur opposé ; - elle est **nulle** selon les vecteurs orthogonaux à $\nabla f(a)$ : la droite de direction orthogonale au gradient est la tangente à la **courbe (ou surface) de niveau** $\{x \mid f(x) = f(a)\}$. Si $\nabla f(a) = 0$ ($a$ point critique), toutes les dérivées directionnelles sont nulles. #### 4. Exemple récapitulatif Soit $f(x, y) = x^2 + y^2$ sur $\mathbb{R}^2$ : $\nabla f(x, y) = (2x, 2y)$, donc $\nabla f(1, 1) = (2, 2)$. La dérivée en $(1, 1)$ selon $v = (0, 1)$ vaut $D_v f(1,1) = \langle (2,2), (0,1) \rangle = 2$ ; elle est maximale selon $v = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)$ (valeur $\|\nabla f(1,1)\| = 2\sqrt{2}$) et nulle selon $v = \frac{1}{\sqrt{2}}(1, -1)$, orthogonal au gradient — cohérent : $v$ est tangent au cercle de niveau $x^2 + y^2 = 2$ passant par $(1, 1)$.

Le **gradient** de $f:E\to\mathbb{R}$ différentiable en $a$ (E euclidien) est l'unique $\nabla f(a)$ vérifiant $df(a)\cdot h=\langle\nabla f(a),h\rangle$ ; en BON, $\nabla f(a)=(\partial_1f,\dots,\partial_nf)$.

- **Définition** : $df(a)\cdot h=\langle\nabla f(a),h\rangle$. - **BON** : $\nabla f=\sum_i\partial_if\,e_i$. - **Propriété** : $D_vf=\langle\nabla f,v\rangle$ ; orientation de croissance maximale. - **Orthogonal** aux lignes de niveau.

1. **Calculer** les dérivées partielles. 2. **Former** le gradient. 3. **Utiliser** pour dérivées directionnelles. 1. **Calculer** $\partial_if$ (BON). 2. **Assembler** $\nabla f$. - **Piège classique** : dépend du produit scalaire ; $\nabla f$ vs $df$.

- $f(x,y)=xy$ : $\nabla f=(y,x)$. ```mermaid graph TD G["Gradient"] --> D["df(a).h = <grad f, h>"] G --> B["BON : grad f = (d_i f)"] G --> O["Orthogonal aux niveaux"] ```