Intégrales absolument convergentes et fonctions intégrables

#### 1. Intégrale absolument convergente ; convergence absolue implique convergence Soit $f$ une fonction continue par morceaux sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. L'intégrale $\int_I f$ est **absolument convergente** si $\int_I |f|$ **converge**. **Théorème** : la convergence absolue **implique** la convergence : si $\int_I |f|$ converge, alors $\int_I f$ converge. De plus, on dispose de l'**inégalité triangulaire** : $$\left| \int_I f(t)\,dt \right| \leq \int_I |f(t)|\,dt.$$ *Preuve (cas $I = [a, b[$)* : pour tout $x \in [a, b[$, $$\left| \int_a^x f(t)\,dt \right| \leq \int_a^x |f(t)|\,dt \leq \int_a^b |f(t)|\,dt,$$ donc la fonction $x \mapsto \int_a^x f$ est majorée en module par la constante $\int_a^b |f|$... plus précisément, le **critère de Cauchy** s'applique : pour $x, y \geq a$, $\left|\int_x^y f\right| \leq \int_x^y |f| \leq \int_{\max(x,y)}^b |f| \to 0$, donc $x \mapsto \int_a^x f$ vérifie le critère de Cauchy en $b$ et converge. L'inégalité triangulaire s'obtient en passant à la limite dans $\left|\int_a^x f\right| \leq \int_a^x |f|$. #### 2. Notations ; intégrable en $b$, en $a$ On note $\int_I f$ ou $\int_I f(t)\,dt$ l'intégrale (généralisée) de $f$ sur $I$. Pour $I = [a, b[$ (resp. $I = ]a, b]$), on dit que $f$ est **intégrable en $b$** (resp. **en $a$**) si $\int_a^b |f(t)|\,dt$ converge (c'est-à-dire si $f$ est intégrable en cette borne au sens absolu). L'étude se fait par la définition : $x \mapsto \int_a^x |f|$ doit être majorée (borne $a$) ou admettre une limite finie en $b$. #### 3. Définition d'une fonction intégrable sur $I$ **Définition** : une fonction $f$ est **intégrable sur $I$** si elle est **continue par morceaux sur $I$** et si son intégrale sur $I$ est **absolument convergente** ($\int_I |f| < +\infty$). Exemples : $\frac{1}{\sqrt{t}}$ sur $]0, 1]$ est intégrable ($\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{t}} = 2 < +\infty$) ; $\frac{1}{t}$ sur $]0, 1]$ ne l'est pas (divergence logarithmique) ; $\frac{1}{t^2}$ sur $[1, +\infty[$ est intégrable ; $\frac{1}{t}$ sur $[1, +\infty[$ ne l'est pas. **Attention** : la convergence (simple) de $\int_I f$ ne suffit pas — il faut la convergence absolue : $\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\,dt$ converge (séries alternées / Dirichlet) mais n'est pas absolument convergente ($\int_1^{+\infty} \frac{|\sin t|}{t}\,dt = +\infty$), donc $\frac{\sin t}{t}$ n'est **pas intégrable** au sens de cette définition. #### 4. Espace vectoriel $\mathrm{L}^1(I, \mathbb{K})$ L'ensemble des fonctions **intégrables** sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ est noté $$\mathrm{L}^1(I, \mathbb{K}) = \{f \text{ CPPM sur } I \mid \int_I |f(t)|\,dt < +\infty\}.$$ C'est un **espace vectoriel** (sur $\mathbb{K}$) : si $f, g \in \mathrm{L}^1(I, \mathbb{K})$ et $\lambda \in \mathbb{K}$, alors $f + g$ et $\lambda f$ sont intégrables (via $|f + g| \leq |f| + |g|$ et $|\lambda f| = |\lambda||f|$, et l'inégalité $\int_I |f + g| \leq \int_I |f| + \int_I |g|$). L'application $f \mapsto \int_I |f|$ y joue le rôle d'une norme à la nuance près que $\int_I |f| = 0$ n'implique $f = 0$ que pour des fonctions continues (voir section 5) ; en général elle est « semi-norme » ($\int_I |f| = 0$ pour $f$ nulle hors d'un ensemble fini de points). Sur $\mathrm{L}^1$, l'intégrale $\int_I$ est une **forme linéaire positive**, et la convergence absolue est stable : si $|f| \leq g$ avec $g \in \mathrm{L}^1$, alors $f \in \mathrm{L}^1$. #### 5. Fonction positive d'intégrale nulle **Théorème** : si $f$ est **continue**, **intégrable** et **positive** sur $I$, et si $$\int_I f(t)\,dt = 0,$$ alors $f$ est **identiquement nulle** sur $I$. *Preuve* : par contraposée, si $f(x_0) > 0$ en un point $x_0 \in I$ (intérieur à $I$ ou point de continuité), la continuité fournit un sous-intervalle $[u, v] \subset I$ non réduit sur lequel $f \geq \frac{f(x_0)}{2} > 0$ ; alors $$\int_I f \geq \int_u^v f \geq (v - u)\,\frac{f(x_0)}{2} > 0,$$ contradiction. (Le résultat s'étend aux fonctions CPPM positives.) Application classique : si $\int_I |f| = 0$ pour $f$ continue, alors $f \equiv 0$ (appliquer le théorème à $|f|$, continue et positive). #### 6. Théorème de comparaison (domination asymptotique) Soient $f$ et $g$ CPPM sur $[a, +\infty[$ : - **si $f(t) = O(g(t))$ en $+\infty$ et si $g$ est intégrable en $+\infty$** (i.e. $\int_a^{+\infty} |g| < +\infty$), alors $f$ est **intégrable en $+\infty$** ; - **si $f \sim g$ en $+\infty$** (avec $g$ de signe constant au voisinage de $+\infty$), alors $f$ est intégrable en $+\infty$ **si et seulement si** $g$ l'est. *Preuve* : $f = O(g)$ donne $|f| \leq C|g|$ pour $t \geq A$ ; alors $\int_A^{+\infty} |f| \leq C \int_A^{+\infty} |g| < +\infty$ (domination) et $\int_a^A |f| < +\infty$ (fonction continue sur un segment), d'où l'intégrabilité de $f$. L'équivalence donne la domination dans les deux sens ($|f| \leq 2|g|$ et $|g| \leq 2|f|$ au voisinage de $+\infty$). *Application type* : pour décider de l'intégrabilité en $+\infty$ d'une fonction positive, on cherche un équivalent simple et on le compare aux fonctions de référence (section 7). #### 7. Fonctions de référence - **Riemann en $+\infty$** : $t \mapsto \frac{1}{t^{\alpha}}$ (sur $[1, +\infty[$) est intégrable si et seulement si $\alpha > 1$ : $\int_1^x \frac{dt}{t^{\alpha}} = \frac{x^{1-\alpha} - 1}{1 - \alpha}$ a une limite finie ssi $1 - \alpha < 0$ (et cas $\alpha = 1$ : $\ln x \to +\infty$). - **Riemann en $0^+$** : $t \mapsto \frac{1}{t^{\alpha}}$ (sur $]0, 1]$) est intégrable en $0^+$ si et seulement si $\alpha < 1$ : $\int_x^1 \frac{dt}{t^{\alpha}} = \frac{1 - x^{1-\alpha}}{1 - \alpha}$ a une limite finie ssi $1 - \alpha > 0$ (cas $\alpha = 1$ : $-\ln x \to +\infty$). - **Exponentielles** : $t \mapsto e^{-\alpha t}$ (sur $[1, +\infty[$) est intégrable en $+\infty$ pour $\alpha > 0$ : $\int_1^x e^{-\alpha t}\,dt = \frac{e^{-\alpha} - e^{-\alpha x}}{\alpha} \to \frac{e^{-\alpha}}{\alpha}$ (et non intégrable si $\alpha \leq 0$). - **Logarithme** : $t \mapsto \ln t$ (sur $]0, 1]$) est **intégrable en $0^+$** : $\int_x^1 \ln t\,dt = [-t\ln t + t]_x^1 \to -1$ (mais $t \mapsto \ln t$ n'est **pas** intégrable en $+\infty$). Règle pratique : à l'infini, tout est affaire de **croissances comparées** ($t^{\beta} e^{-\alpha t} \to 0$, $\frac{\ln t}{t^{\beta}} \to 0$ pour $\beta > 0$) ; en $0^+$, ce sont les **puissances** qui dominent le logarithme. #### 8. Exemple récapitulatif Étudions l'intégrabilité de $f(t) = \frac{1}{(1 + t)\sqrt{t}}$ sur $]0, +\infty[$. - **En $0^+$** : $f(t) \sim \frac{1}{\sqrt{t}}$, de la forme $\frac{1}{t^{\alpha}}$ avec $\alpha = \frac{1}{2} < 1$ : intégrable en $0^+$ (fonctions de référence). - **En $+\infty$** : $f(t) \sim \frac{1}{t\sqrt{t}} = \frac{1}{t^{3/2}}$, avec $\alpha = \frac{3}{2} > 1$ : intégrable en $+\infty$. - **Conclusion** : $f$ est intégrable sur $]0, +\infty[$ ($f$ est CPPM, et son intégrale est absolument convergente car $f \geq 0$), donc $f \in \mathrm{L}^1(]0, +\infty[, \mathbb{R})$.