Intégrales généralisées sur un intervalle quelconque

#### 1. Cadre : fonctions continues par morceaux sur un intervalle semi-ouvert ou ouvert Soit $I$ un intervalle de la forme $[a, b[$, $]a, b]$, $]a, b[$ ou même non borné, et $f : I \to \mathbb{K}$ **continue par morceaux** sur $I$. L'intégrale $\int_I f$ est dite **convergente** si, pour un (et alors tout) découpage de $I$ en sous-segments et intervalles ouverts, toutes les intégrales obtenues convergent ; dans le cas contraire elle est **divergente**. Concrètement, pour $\int_a^b f$ avec $f$ continue par morceaux sur $[a, b[$, on étudie la **convergence en $b$** : $\int_a^b f$ converge si $x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$ admet une limite finie quand $x \to b^-$ (indépendamment du point $b$ artificiel choisi : le théorème de Chasles garantit la cohérence). Un intervalle ouvert peut nécessiter l'étude **aux deux bornes** : $\int_a^b f$ converge si et seulement si $\int_a^c f$ et $\int_c^b f$ convergent (pour tout $c$ intermérieur). #### 2. Intégrale convergente ou divergente en $b$, en $a$ Soit $f$ continue par morceaux sur $[a, b[$. On dit que $\int_a^b f(t)\,dt$ est **convergente en $b$** si $x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$ admet une limite finie quand $x \to b^-$ ; on note alors $$\int_a^b f(t)\,dt = \lim_{x \to b^-} \int_a^x f(t)\,dt.$$ Dans le cas contraire, l'intégrale est **divergente en $b$**. On définit de même la convergence en $a$ pour $f$ définie sur $]a, b]$ ($x \to a^+$). Une intégrale sur $]a, b[$ converge si elle converge en $a$ **et** en $b$. Exemples : $\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{t}}$ converge en $0$ (vaut $2$) ; $\int_0^1 \frac{dt}{t}$ diverge en $0$. #### 3. Propriétés des intégrales généralisées Pour les intégrales convergentes : - **Linéarité** : $\int_a^b (\lambda f + \mu g) = \lambda \int_a^b f + \mu \int_a^b g$ (la somme de deux intégrales convergentes de même nature est convergente) ; - **Positivité** : si $f \geq 0$ et $\int_a^b f$ converge, alors $\int_a^b f \geq 0$ ; - **Croissance** : si $f \leq g$ et les deux intégrales convergent, alors $\int_a^b f \leq \int_a^b g$ ; - **Relation de Chasles** : $\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f$ dès que deux des trois intégrales convergent (la troisième l'est alors aussi). *Attention* : l'intégrale $\int_a^b f$ d'une fonction à valeurs complexes est définie par séparabilité (parties réelle et imaginaire), et $\int_a^b |f|$ convergeant entraîne $\int_a^b f$ converge (absolue convergence). #### 4. Intégration par parties sur un intervalle quelconque **Théorème** : soient $f, g$ de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux sur $[a, b[$ telles que le produit $f g$ admette une **limite finie en $b$** (et en $a$ le cas échéant). Alors les intégrales $\int_a^b f g'$ et $\int_a^b f' g$ sont **de même nature** (convergentes ou divergentes ensemble), et en cas de convergence : $$\lim_{x \to b^-} f(x) g(x) - \lim_{x \to a^+} f(x) g(x) = \int_a^b f(t) g'(t)\,dt + \int_a^b f'(t) g(t)\,dt.$$ *Preuve* : sur $[a, x]$, $[f g]_a^x = \int_a^x f g' + \int_a^x f' g$ (IPP usuelle sur un segment) ; le membre de gauche a une limite finie en $b$ par hypothèse, donc les deux intégrales convergent ensemble (difference of two functions with limits), et on passe à la limite. *Exemple* : $\int_1^{+\infty} \frac{\ln t}{t^2}\,dt$ : avec $f = \ln t$, $g' = \frac{1}{t^2}$, on a $f g = \frac{\ln t}{t} \to 0$, donc $\int_1^{+\infty} \frac{\ln t}{t^2}\,dt = \int_1^{+\infty} \frac{1}{t^2} \cdot \frac{1}{t}\,dt$... plus précisément l'IPP donne $\int_1^{X} \frac{\ln t}{t^2} dt = \left[-\frac{\ln t}{t}\right]_1^X + \int_1^X \frac{dt}{t^2} \to 0 + 1 = 1$ : l'intégrale converge et vaut $1$. #### 5. Même nature de $\int f g'$ et $\int f' g$ (cas général) **Théorème** : si $f g$ n'admet **pas** de limite finie en $b$, alors $\int_a^b f g'$ et $\int_a^b f' g$ sont encore de **même nature** (toutes deux divergentes) : en effet, si l'une convergeait, l'autre convergerait aussi (même argument que ci-dessus) et $f g$ aurait une limite finie en $b$ — contradiction. Le critère « existence de limites finies de $f g$ aux bornes » assure donc la même nature dans **tous les cas**, avec en prime l'égalité de la section 4. Exemple : $\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t} \ln t$... pour $f = \ln t$, $g = t$ : $f g = t \ln t \to +\infty$ (pas de limite finie) et $\int f' g = \int \frac{t}{t} dt = +\infty$ diverge comme $\int f g' = \int \ln t\, dt$ : même nature (divergentes). #### 6. Changement de variable (cas croissant) **Théorème** : si $\varphi : \,]\alpha, \beta[ \to \,]a, b[$ est une bijection **strictement croissante de classe $\mathcal{C}^1$** (donc $\varphi' > 0$), et si $f$ est continue sur $]a, b[$, alors les intégrales $$\int_a^b f(t)\,dt \quad \text{et} \quad \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(u))\, \varphi'(u)\, du$$ sont **de même nature**, et **égales en cas de convergence**. *Preuve (idée)* : pour $x \in \,]a, b[$ et $u_x = \varphi^{-1}(x)$, le changement de variable sur le segment $[a, x]$ (cas usuel) donne $\int_a^x f = \int_{\alpha}^{u_x} f(\varphi(u))\varphi'(u)\,du$ ; on étudie ensuite les limites quand $x \to b^-$, i.e. $u_x \to \beta^-$ (la bijection croissante envoie les bornes sur les bornes). **En pratique** : ce théorème permet de traiter un changement de variable « à bornes infinies ou singulières » : on prouve d'abord sur un segment intérieur, puis on passe aux limites. *Exemple* : $\int_0^{+\infty} \frac{dt}{1 + t^2} = \frac{\pi}{2}$ : avec $t = \tan u$, $\varphi : \,]0, \frac{\pi}{2}[ \to \,]0, +\infty[$ croissante $\mathcal{C}^1$, $\int_0^{+\infty} \frac{dt}{1+t^2} = \int_0^{\pi/2} du = \frac{\pi}{2}$ — les deux intégrales sont de même nature (convergentes) et égales. #### 7. Adaptation au cas d'un changement de variable strictement décroissant Si $\varphi : \,]\alpha, \beta[ \to \,]a, b[$ est une bijection **strictement décroissante de classe $\mathcal{C}^1$** (donc $\varphi' < 0$), et $f$ continue sur $]a, b[$, alors les intégrales $\int_a^b f(t)\,dt$ et $\int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(u))\, \varphi'(u)\, du$ sont encore de **même nature** et égales en cas de convergence — **à ceci près** que la formule sur un segment comporte l'inversion des bornes : pour $u \mapsto \varphi(u)$ décroissante, $$\int_{\varphi(\beta^+)}^{\varphi(\alpha^-)} f(t)\,dt = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(u)) \varphi'(u)\, du,$$ les bornes étant « croisées ». *Exemple* : $\int_0^1 e^{-t}\,dt$ avec $t = \frac{1}{u}$, $\varphi : \,]1, +\infty[ \to \,]0, 1[$ décroissante : $\int_0^1 e^{-t} dt = \int_{+\infty}^{1} e^{-1/u}\left(-\frac{du}{u^2}\right) = \int_1^{+\infty} \frac{e^{-1/u}}{u^2}\,du$ — les deux intégrales sont de même nature et égales. #### 8. Exemple récapitulatif Étudions $\int_0^1 \ln(1 - x)\,dx$ (intervalle semi-ouvert, singularité en $1$). Par IPP avec $f = \ln(1-t)$, $g' = 1$ : $f g = (1 - t)\ln(1 - t) \to 0$ en $1^-$, donc $$\int_0^1 \ln(1-x)\,dx = \left[(x-1)\ln(1-x) - x\right]_0^1 + \int_0^1 \frac{x - 1}{1 - x}\,dx = -1 \quad \text{(par le critère de même nature)}.$$ Par changement de variable $t = 1 - u$ (décroissant) : $\int_0^1 \ln(1-x)\,dx = \int_1^0 \ln(u)(-du) = \int_0^1 \ln u\, du = -1$ — cohérent, et l'intégrale $\int_0^1 \ln u\, du$ converge (IPP identique).