Intégration sur un intervalle quelconque

#### 1. Cadre : fonctions continues par morceaux sur un intervalle semi-ouvert ou ouvert Soit $I$ un intervalle de la forme $[a, b[$, $]a, b]$, $]a, b[$ ou même non borné, et $f : I \to \mathbb{K}$ **continue par morceaux** sur $I$. L'intégrale $\int_I f$ est dite **convergente** si, pour un (et alors tout) découpage de $I$ en sous-segments et intervalles ouverts, toutes les intégrales obtenues convergent ; dans le cas contraire elle est **divergente**. Concrètement, pour $\int_a^b f$ avec $f$ continue par morceaux sur $[a, b[$, on étudie la **convergence en $b$** : $\int_a^b f$ converge si $x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$ admet une limite finie quand $x \to b^-$ (indépendamment du point $b$ artificiel choisi : le théorème de Chasles garantit la cohérence). Un intervalle ouvert peut nécessiter l'étude **aux deux bornes** : $\int_a^b f$ converge si et seulement si $\int_a^c f$ et $\int_c^b f$ convergent (pour tout $c$ intermérieur). #### 2. Intégrale convergente ou divergente en $b$, en $a$ Soit $f$ continue par morceaux sur $[a, b[$. On dit que $\int_a^b f(t)\,dt$ est **convergente en $b$** si $x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$ admet une limite finie quand $x \to b^-$ ; on note alors $$\int_a^b f(t)\,dt = \lim_{x \to b^-} \int_a^x f(t)\,dt.$$ Dans le cas contraire, l'intégrale est **divergente en $b$**. On définit de même la convergence en $a$ pour $f$ définie sur $]a, b]$ ($x \to a^+$). Une intégrale sur $]a, b[$ converge si elle converge en $a$ **et** en $b$. Exemples : $\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{t}}$ converge en $0$ (vaut $2$) ; $\int_0^1 \frac{dt}{t}$ diverge en $0$. #### 3. Propriétés des intégrales généralisées Pour les intégrales convergentes : - **Linéarité** : $\int_a^b (\lambda f + \mu g) = \lambda \int_a^b f + \mu \int_a^b g$ (la somme de deux intégrales convergentes de même nature est convergente) ; - **Positivité** : si $f \geq 0$ et $\int_a^b f$ converge, alors $\int_a^b f \geq 0$ ; - **Croissance** : si $f \leq g$ et les deux intégrales convergent, alors $\int_a^b f \leq \int_a^b g$ ; - **Relation de Chasles** : $\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f$ dès que deux des trois intégrales convergent (la troisième l'est alors aussi). *Attention* : l'intégrale $\int_a^b f$ d'une fonction à valeurs complexes est définie par séparabilité (parties réelle et imaginaire), et $\int_a^b |f|$ convergeant entraîne $\int_a^b f$ converge (absolue convergence). #### 4. Intégration par parties sur un intervalle quelconque **Théorème** : soient $f, g$ de classe $\mathcal{C}^1$ par morceaux sur $[a, b[$ telles que le produit $f g$ admette une **limite finie en $b$** (et en $a$ le cas échéant). Alors les intégrales $\int_a^b f g'$ et $\int_a^b f' g$ sont **de même nature** (convergentes ou divergentes ensemble), et en cas de convergence : $$\lim_{x \to b^-} f(x) g(x) - \lim_{x \to a^+} f(x) g(x) = \int_a^b f(t) g'(t)\,dt + \int_a^b f'(t) g(t)\,dt.$$ *Preuve* : sur $[a, x]$, $[f g]_a^x = \int_a^x f g' + \int_a^x f' g$ (IPP usuelle sur un segment) ; le membre de gauche a une limite finie en $b$ par hypothèse, donc les deux intégrales convergent ensemble (difference of two functions with limits), et on passe à la limite. *Exemple* : $\int_1^{+\infty} \frac{\ln t}{t^2}\,dt$ : avec $f = \ln t$, $g' = \frac{1}{t^2}$, on a $f g = \frac{\ln t}{t} \to 0$, donc $\int_1^{+\infty} \frac{\ln t}{t^2}\,dt = \int_1^{+\infty} \frac{1}{t^2} \cdot \frac{1}{t}\,dt$... plus précisément l'IPP donne $\int_1^{X} \frac{\ln t}{t^2} dt = \left[-\frac{\ln t}{t}\right]_1^X + \int_1^X \frac{dt}{t^2} \to 0 + 1 = 1$ : l'intégrale converge et vaut $1$. #### 5. Même nature de $\int f g'$ et $\int f' g$ (cas général) **Théorème** : si $f g$ n'admet **pas** de limite finie en $b$, alors $\int_a^b f g'$ et $\int_a^b f' g$ sont encore de **même nature** (toutes deux divergentes) : en effet, si l'une convergeait, l'autre convergerait aussi (même argument que ci-dessus) et $f g$ aurait une limite finie en $b$ — contradiction. Le critère « existence de limites finies de $f g$ aux bornes » assure donc la même nature dans **tous les cas**, avec en prime l'égalité de la section 4. Exemple : $\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t} \ln t$... pour $f = \ln t$, $g = t$ : $f g = t \ln t \to +\infty$ (pas de limite finie) et $\int f' g = \int \frac{t}{t} dt = +\infty$ diverge comme $\int f g' = \int \ln t\, dt$ : même nature (divergentes). #### 6. Changement de variable (cas croissant) **Théorème** : si $\varphi : \,]\alpha, \beta[ \to \,]a, b[$ est une bijection **strictement croissante de classe $\mathcal{C}^1$** (donc $\varphi' > 0$), et si $f$ est continue sur $]a, b[$, alors les intégrales $$\int_a^b f(t)\,dt \quad \text{et} \quad \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(u))\, \varphi'(u)\, du$$ sont **de même nature**, et **égales en cas de convergence**. *Preuve (idée)* : pour $x \in \,]a, b[$ et $u_x = \varphi^{-1}(x)$, le changement de variable sur le segment $[a, x]$ (cas usuel) donne $\int_a^x f = \int_{\alpha}^{u_x} f(\varphi(u))\varphi'(u)\,du$ ; on étudie ensuite les limites quand $x \to b^-$, i.e. $u_x \to \beta^-$ (la bijection croissante envoie les bornes sur les bornes). **En pratique** : ce théorème permet de traiter un changement de variable « à bornes infinies ou singulières » : on prouve d'abord sur un segment intérieur, puis on passe aux limites. *Exemple* : $\int_0^{+\infty} \frac{dt}{1 + t^2} = \frac{\pi}{2}$ : avec $t = \tan u$, $\varphi : \,]0, \frac{\pi}{2}[ \to \,]0, +\infty[$ croissante $\mathcal{C}^1$, $\int_0^{+\infty} \frac{dt}{1+t^2} = \int_0^{\pi/2} du = \frac{\pi}{2}$ — les deux intégrales sont de même nature (convergentes) et égales. #### 7. Adaptation au cas d'un changement de variable strictement décroissant Si $\varphi : \,]\alpha, \beta[ \to \,]a, b[$ est une bijection **strictement décroissante de classe $\mathcal{C}^1$** (donc $\varphi' < 0$), et $f$ continue sur $]a, b[$, alors les intégrales $\int_a^b f(t)\,dt$ et $\int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(u))\, \varphi'(u)\, du$ sont encore de **même nature** et égales en cas de convergence — **à ceci près** que la formule sur un segment comporte l'inversion des bornes : pour $u \mapsto \varphi(u)$ décroissante, $$\int_{\varphi(\beta^+)}^{\varphi(\alpha^-)} f(t)\,dt = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(u)) \varphi'(u)\, du,$$ les bornes étant « croisées ». *Exemple* : $\int_0^1 e^{-t}\,dt$ avec $t = \frac{1}{u}$, $\varphi : \,]1, +\infty[ \to \,]0, 1[$ décroissante : $\int_0^1 e^{-t} dt = \int_{+\infty}^{1} e^{-1/u}\left(-\frac{du}{u^2}\right) = \int_1^{+\infty} \frac{e^{-1/u}}{u^2}\,du$ — les deux intégrales sont de même nature et égales. #### 8. Exemple récapitulatif Étudions $\int_0^1 \ln(1 - x)\,dx$ (intervalle semi-ouvert, singularité en $1$). Par IPP avec $f = \ln(1-t)$, $g' = 1$ : $f g = (1 - t)\ln(1 - t) \to 0$ en $1^-$, donc $$\int_0^1 \ln(1-x)\,dx = \left[(x-1)\ln(1-x) - x\right]_0^1 + \int_0^1 \frac{x - 1}{1 - x}\,dx = -1 \quad \text{(par le critère de même nature)}.$$ Par changement de variable $t = 1 - u$ (décroissant) : $\int_0^1 \ln(1-x)\,dx = \int_1^0 \ln(u)(-du) = \int_0^1 \ln u\, du = -1$ — cohérent, et l'intégrale $\int_0^1 \ln u\, du$ converge (IPP identique).

#### 1. Fonctions continues par morceaux sur un segment, sur un intervalle - **Sur un segment** $[a, b]$ : une fonction $f : [a, b] \to \mathbb{K}$ est **continue par morceaux (CPPM)** s'il existe un découpage $a = t_0 < t_1 < \cdots < t_p = b$ tel que $f$ soit continue sur chaque intervalle ouvert $]t_{i-1}, t_i[$ et admette des **limites finies** à droite en $t_{i-1}$ et à gauche en $t_i$. Exemples : les fonctions continues, les fonctions en escalier, $x \mapsto \mathbb{1}_{x > 0}(x)$ (valeur en $0$ sans importance), $x \mapsto |x|$ sur $[-1, 1]$. - **Sur un intervalle quelconque** $I \subset \mathbb{R}$ : $f$ est CPPM sur $I$ si $f$ est CPPM sur **tout segment** $[a, b] \subset I$. Exemple : la fonction partie entière $x \mapsto \lfloor x \rfloor$ est CPPM sur $\mathbb{R}$. Propriétés : l'ensemble des fonctions CPPM sur $I$ est un **espace vectoriel** stable par produit (les produits et sommes de CPPM sont CPPM). #### 2. Intégrale sur un segment d'une fonction continue par morceaux Soit $f$ CPPM sur $[a, b]$ et un découpage adapté $(t_i)$. Pour chaque morceau, $\tilde{f}_i$ désigne le **prolongement par continuité** de $f|_{]t_{i-1}, t_i[}$ au segment fermé $[t_{i-1}, t_i]$ (limite finie en chaque bout). On définit $$\int_a^b f(t)\,dt = \sum_{i=1}^{p} \int_{t_{i-1}}^{t_i} \tilde{f}_i(t)\,dt.$$ **Cette valeur ne dépend pas du découpage adapté choisi** (propriété admise, conséquence de Chasles et de l'invariance de l'intégrale par modification sur un ensemble fini de points). Cas particulier : si $f$ est continue, on retrouve l'intégrale usuelle. Exemple : $\int_{-1}^{1} \mathbb{1}_{x>0}(x)\,dx = \int_0^1 1\,dx = 1$ (la valeur en $0$ ne compte pas). #### 3. Extension des propriétés de l'intégrale d'une fonction continue Toutes les propriétés de l'intégrale des fonctions continues s'étendent aux CPPM sur $[a, b]$ : - **Linéarité** : $\int_a^b (\lambda f + \mu g) = \lambda \int_a^b f + \mu \int_a^b g$ ; - **Positivité** : $f \geq 0 \Rightarrow \int_a^b f \geq 0$ ; **croissance** : $f \leq g \Rightarrow \int_a^b f \leq \int_a^b g$ ; - **Inégalité triangulaire** : $\left|\int_a^b f\right| \leq \int_a^b |f|$ ($|f|$ est CPPM si $f$ l'est) ; - **Relation de Chasles** : $\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f$ ; - **Fonction d'intégration** : $x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$ est **continue** sur $[a, b]$, et de classe $\mathcal{C}^1$ en tout point où $f$ est continue (avec dérivée $f(x)$) ; - **Intégration par parties** : si $f, g$ sont CPPM et dérivables par morceaux avec $f'g$ et $fg'$ CPPM, la formule $\int_a^b f g' + \int_a^b f' g = [fg]_a^b$ reste valable en prenant les limites aux points de découpage (les valeurs aux points isolés n'influencent pas l'intégrale). De plus, toute fonction CPPM sur $[a, b]$ est **bornée**, et $\left|\int_a^b f\right| \leq (b - a) \sup_{[a,b]} |f|$. #### 4. Extension aux suites de fonctions de classe $\mathcal{C}^k$ et intégration des limites **Rappel du cadre** (lien avec les théorèmes sur les suites de fonctions) : si $(f_n)$ est une suite de fonctions **continues** sur $[a, b]$ convergeant **uniformément** vers $f$ sur $[a, b]$, alors $$\int_a^b f_n(t)\,dt \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_a^b f(t)\,dt$$ (permutation limite-intégrale). **Extension à l'ordre $\mathcal{C}^k$** : si les $f_n$ sont de classe $\mathcal{C}^k$ sur $[a, b]$, si $(f_n^{(j)})$ converge simplement vers $f^{(j)}$ pour $0 \leq j \leq k-1$ et si $(f_n^{(k)})$ converge **uniformément** vers $g$, alors $f$ est de classe $\mathcal{C}^k$, $f^{(k)} = g$, et pour tout $j \leq k$ : $$\int_a^b f_n^{(j)}(t)\,dt \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_a^b f^{(j)}(t)\,dt.$$ Le même résultat vaut pour une **série** $\sum f_n$ : convergence simple de $\sum f_n^{(j)}$ ($j < k$) + convergence uniforme de $\sum f_n^{(k)}$ permettent la permutation $\int \sum = \sum \int$ pour les dérivées jusqu'à l'ordre $k$. Ces extensions reposent sur la continuité de l'intégrale vis-à-vis de la norme de la convergence uniforme : $\left|\int_a^b (f_n - f)\right| \leq (b-a) \|f_n - f\|_\infty$. *Exemple* : $f_n(x) = \sum_{j=0}^{n} \frac{x^j}{j!} \to e^x$ uniformément sur $[0, 1]$, donc $\int_0^1 f_n \to \int_0^1 e^x = e - 1$, soit $\sum_{j \geq 0} \frac{1}{(j+1)!(j+1)} = e - 1$. #### 5. Exemple récapitulatif Soit $f : [-2, 2] \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = -1$ si $x < 0$, $f(x) = x$ si $x \geq 0$ : $f$ est CPPM (découpage en $0$ ; limite à gauche $-1$, à droite $0$ en $0$). Alors $$\int_{-2}^{2} f(t)\,dt = \int_{-2}^{0} (-1)\,dt + \int_{0}^{2} t\,dt = -2 + 2 = 0.$$ Le prolongement par continuité du morceau $]-2, 0[$ est la constante $-1$, celui de $]0, 2[$ est $x \mapsto x$ ; la valeur de $f$ en $0$ (ici $f(0) = 0$) ne modifie pas l'intégrale.

#### 1. Définition de la convergence Soit $f$ une fonction **continue par morceaux** sur $[a, +\infty[$. Pour $x \geq a$, l'intégrale $\int_a^x f(t)\,dt$ est définie (fonction continue par morceaux sur un segment). La fonction $$F : x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$$ est appelée **fonction d'intégration** (ou primitive généralisée). L'intégrale $\int_a^{+\infty} f(t)\,dt$ est dite **convergente** si $F(x)$ admet une **limite finie** lorsque $x \to +\infty$ ; dans le cas contraire, elle est **divergente**. En cas de convergence, on note $$\int_a^{+\infty} f(t)\,dt = \lim_{x \to +\infty} \int_a^x f(t)\,dt = \lim_{x \to +\infty} F(x).$$ **Notations** : $\int_a^{+\infty} f$, $\int_a^{+\infty} f(t)\,dt$. #### 2. Intégrale convergente ou divergente en $+\infty$ On dit que $\int_a^{+\infty} f$ est **convergente en $+\infty$** (resp. **divergente en $+\infty$**) selon que $F$ admet (resp. n'admet pas) une limite finie en $+\infty$. Exemples : - $\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2}$ **converge** (vaut $1$) : $F(x) = 1 - \frac{1}{x} \to 1$ ; - $\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t}$ **diverge** : $F(x) = \ln x \to +\infty$ ; - $\int_0^{+\infty} e^{-t}\,dt$ **converge** (vaut $1$) ; - $\int_0^{+\infty} \cos(t)\,dt$ **diverge** : $F(x) = \sin(x)$ n'a pas de limite en $+\infty$ (bien que $F$ soit bornée !). Pour $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ : convergence par séparabilité (parties réelle et imaginaire convergentes). #### 3. Cas des fonctions à valeurs positives : critère de majoration **Théorème** : si $f$ est CPPM sur $[a, +\infty[$ et **à valeurs positives** ($f(t) \geq 0$), alors $$\int_a^{+\infty} f(t)\,dt \text{ converge} \iff x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt \text{ est \textbf{majorée}}.$$ *Preuve* : $F$ est **croissante** (si $x_2 \geq x_1$, $F(x_2) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_2} f \geq 0$ par positivité de l'intégrale). Une fonction croissante admet une limite finie en $+\infty$ si et seulement si elle est majorée (alors la limite est $\sup_x F(x)$). Conséquence pratique : pour $f \geq 0$, il suffit d'exhiber un **majorant explicite** de $F$ (par exemple via la comparaison série-intégrale : $\int_a^{x+1} f \leq \sum_{k=a}^{x} f(k) \leq M$ pour une série convergente). Exemple : $\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^2}$ : $F(x) = 1 - \frac{1}{x} \leq 1$, donc convergence. #### 4. Comparaison d'intégrales (théorème de comparaison) **Théorème** : si $f$ et $g$ sont CPPM sur $[a, +\infty[$ avec $$0 \leq f(t) \leq g(t) \quad \text{pour tout } t \geq a,$$ alors la **convergence de $\int_a^{+\infty} g$ implique celle de $\int_a^{+\infty} f$**. *Preuve* : pour tout $x \geq a$, $0 \leq \int_a^x f \leq \int_a^x g \leq \int_a^{+\infty} g = M$ (au sens : $F_f(x) \leq F_g(x) \leq M$ par croissance de $F_g$ et convergence de $\int g$). La fonction $F_f$ est croissante et majorée par $M$ : par le critère de majoration (section 3), $\int_a^{+\infty} f$ converge, et de plus $$0 \leq \int_a^{+\infty} f \leq \int_a^{+\infty} g.$$ **Contraposée** : si $\int_a^{+\infty} f$ diverge, alors $\int_a^{+\infty} g$ diverge. **Équivalents et domination** : si $f, g \geq 0$ et $f \sim g$ en $+\infty$, alors $\int f$ et $\int g$ sont **de même nature** (comparaison avec $2g$ puis $\frac{1}{2}g$ au voisinage de $+\infty$). Applications classiques : $\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^{\alpha}}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$ (comparaison série-intégrale) ; $\int_2^{+\infty} \frac{dt}{t \ln^2 t}$ converge ; $\int_0^{+\infty} e^{-t^2}\,dt$ converge car $e^{-t^2} \leq e^{-t}$ pour $t \geq 1$ et $\int_0^1 e^{-t^2}\,dt$ est usuelle. #### 5. Exemple récapitulatif Étudions $\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^3 + 1}$. - La fonction est continue positive sur $[1, +\infty[$. - **Comparaison** : $\frac{1}{t^3 + 1} \leq \frac{1}{t^3}$ pour $t \geq 1$. - Or $\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^3}$ **converge** (Riemann, $\alpha = 3 > 1$ ; ou $F(x) = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{x^2}\right) \leq \frac{1}{2}$ majorée). - Donc $\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^3 + 1}$ **converge**, et $0 \leq \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^3+1} \leq \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^3} = \frac{1}{2}$. - Par équivalent ($\frac{1}{t^3+1} \sim \frac{1}{t^3}$), les deux intégrales sont de même nature et les restes sont équivalents : $\int_x^{+\infty} \frac{dt}{t^3+1} \sim \frac{1}{2x^2}$.

#### 1. Théorème de convergence dominée **Théorème** : soient $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, $(f_n)$ une suite de fonctions **continues par morceaux sur $I$** convergeant **simplement** vers une fonction $f$ **continue par morceaux** sur $I$. S'il existe une fonction $\varphi : I \to \mathbb{R}_+$ **intégrable sur $I$** (continue par morceaux et d'intégrale absolument convergente) telle que $$|f_n(t)| \leq \varphi(t) \quad \text{pour tout } t \in I \text{ et tout } n \in \mathbb{N},$$ alors les fonctions $f_n$ et $f$ sont **intégrables sur $I$**, et $$\int_I f_n(t)\,dt \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_I f(t)\,dt.$$ *Remarques* : - en passant à la limite dans la domination, on obtient $|f(t)| \leq \varphi(t)$ : la fonction limite $f$ est donc intégrable (dominée par $\varphi$) ; - la **domination uniforme par une fonction intégrable indépendante de $n$** est l'hypothèse essentielle. Contre-exemple la montrant nécessaire : $f_n = n\,\mathbb{1}_{]0, 1/n[}$ sur $]0, 1[$ converge simplement vers $0$, mais $\int_0^1 f_n = 1 \not\to 0 = \int_0^1 0$, et aucune fonction intégrable ne peut dominer la famille ; - la démonstration repose sur un découpage de $I$ en segments et sur l'uniformité « évanescente » de la convergence sur les petits morceaux (détail hors programme). *Exemple* : sur $I = [0, 1]$, $f_n(t) = t^n$ : convergence simple vers $f$ valant $0$ sur $[0, 1[$ et $1$ en $1$ (CPPM), et $|f_n| \leq 1 = \varphi$ intégrable sur $[0,1]$ ; donc $\int_0^1 t^n\,dt = \frac{1}{n+1} \to 0 = \int_0^1 f$. #### 2. Théorème d'intégration terme à terme **Théorème** : soit $\sum_{n \geq 0} f_n$ une série de fonctions **intégrables sur $I$** (chaque $f_n$ étant CPPM et $\int_I |f_n| < +\infty$) telle que : 1. la série $\sum f_n$ **converge simplement** sur $I$ ; 2. sa somme $S = \sum_{n \geq 0} f_n$ soit **continue par morceaux** sur $I$ ; 3. la série $\sum_{n \geq 0} \left(\int_I |f_n(t)|\,dt\right)$ **converge**. Alors la fonction $S$ est **intégrable sur $I$** et on peut **permuter l'intégrale et la somme** : $$\int_I \left(\sum_{n \geq 0} f_n(t)\right) dt = \sum_{n \geq 0} \left(\int_I f_n(t)\,dt\right).$$ *Preuve (idée)* : on applique le théorème de convergence dominée à la suite des sommes partielles $S_N$, qui converge simplement vers $S$ (CPPM) et vérifie $$|S_N(t)| \leq \sum_{n=0}^{N} |f_n(t)| \leq \varphi(t) := \sum_{n=0}^{+\infty} |f_n(t)|,$$ où $\varphi$ est CPPM et intégrable (par le théorème d'intégration terme à terme appliqué aux séries $\sum |f_n|$, ou par croissance : $\int_I \varphi = \lim_N \sum_{n \leq N} \int_I |f_n| < +\infty$). Le TCD donne alors $\int_I S_N \to \int_I S$, soit la permutation. *Exemple* : $\sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{n!}$ sur $I = [0, 1]$ : chaque $f_n$ est intégrable, $\sum f_n$ converge simplement vers $e^t$ (CPPM), et $$\sum_{n \geq 0} \int_0^1 \frac{t^n}{n!}\,dt = \sum_{n \geq 0} \frac{1}{(n+1)!\,(n+1)} < +\infty$$ (convergence, comparable à $\sum \frac{1}{n!}$). Donc $\int_0^1 e^t\,dt = \sum_{n \geq 0} \frac{1}{(n+1)!\,(n+1)} = e - 1$. #### 3. Utilisation type du théorème de convergence dominée **Recette** pour calculer $\lim_n \int_I f_n$ : 1. identifier la limite simple $f$ et vérifier qu'elle est CPPM ; 2. chercher une fonction intégrable $\varphi$ dominante ($|f_n| \leq \varphi$), souvent à partir d'inégalités simples ($|t^n| \leq 1$ sur $[0,1]$, $|e^{-nt}| \leq e^{-t}$ pour $n \geq 1$ et $t \geq 0$, etc.) ; 3. conclure $\int_I f_n \to \int_I f$. La domination est aussi un critère d'**intégrabilité** : toute fonction CPPM majorée en module par une fonction intégrable est intégrable. *Exemple sur un intervalle infini* : $f_n(t) = e^{-t}\mathbb{1}_{t \leq n}(1 + t/n)^n \to e^{-t} \cdot e^{t}\mathbb{1}_{t\leq n} \to 1$... (exemple à manier) — plus simplement, $f_n(t) = \frac{n}{t} e^{-nt}$ sur $[1, +\infty[$ : $f_n \to 0$ simplement, et pour $n \geq 1$, $\frac{n}{t} e^{-nt} \leq e^{-t}$ (car $n e^{-nt} \leq e^{-t}$ pour $t \geq 1$, $n \geq 1$) avec $\int_1^{+\infty} e^{-t}\,dt < +\infty$ : donc $\int_1^{+\infty} f_n \to 0$. #### 4. Exemple récapitulatif Soit $f_n(t) = \frac{t^n}{1 + t^{2n}}$ sur $I = [0, +\infty[$. - **Limite simple** : $f_n(t) \to 0$ si $0 \leq t < 1$, $f_n(1) = \frac{1}{2}$, et pour $t > 1$, $f_n(t) = \frac{t^n}{t^{2n}} = \frac{1}{t^n} \to 0$. La limite $f$ (valant $\frac{1}{2}$ en $1$, $0$ ailleurs) est continue par morceaux. - **Domination** : $|f_n(t)| \leq 1$ pour $t \in [0, 1]$ ; pour $t \geq 1$ et $n \geq 2$, $f_n(t) \leq \frac{t^n}{t^{2n}} = \frac{1}{t^n} \leq \frac{1}{t^2}$. On peut donc prendre $\varphi(t) = 1$ sur $[0, 1]$ et $\varphi(t) = \frac{1}{t^2}$ sur $]1, +\infty[$ : $\varphi$ est CPPM et intégrable sur $[0, +\infty[$ ($\int_0^1 1\,dt + \int_1^{+\infty}\frac{dt}{t^2} = 1 + 1 = 2$). - **Conclusion** : $f_n$ et $f$ sont intégrables sur $[0, +\infty[$ et $\int_0^{+\infty} f_n \to \int_0^{+\infty} f = 0$.

On considère une fonction $f$ définie sur $A \times I$ où $A$ et $I$ sont des intervalles de $\mathbb{R}$, à valeurs dans $\mathbb{K}$, et la fonction à paramètre $$F(x) = \int_I f(x, t)\,dt.$$ Tous les théorèmes reposent sur une **hypothèse de domination** : il existe $\varphi : I \to \mathbb{R}_+$ **intégrable sur $I$** (CPPM, $\int_I \varphi < +\infty$) qui majore les modules. #### 1. Théorème de continuité **Hypothèses** : 1. pour tout $t \in I$, $x \mapsto f(x, t)$ est **continue** sur $A$ ; 2. pour tout $x \in A$, $t \mapsto f(x, t)$ est **continue par morceaux** sur $I$ ; 3. il existe $\varphi$ **intégrable sur $I$** telle que $|f(x, t)| \leq \varphi(t)$ pour tout $(x, t) \in A \times I$. **Conclusion** : pour tout $x \in A$, $t \mapsto f(x, t)$ est intégrable sur $I$, et la fonction $F : x \mapsto \int_I f(x, t)\,dt$ est **définie et continue sur $A$**. *Preuve (caractérisation séquentielle)* : soit $(x_k)$ une suite de $A$ tendant vers $x$. Les fonctions $g_k = f(x_k, \cdot)$ sont CPPM, convergent simplement vers $g = f(x, \cdot)$ (continuité en $x$ pour chaque $t$), et $|g_k| \leq \varphi$ : le **théorème de convergence dominée** (pour les suites) donne $\int_I f(x_k, t)\,dt \to \int_I f(x, t)\,dt$, i.e. $F(x_k) \to F(x)$. #### 2. Théorème de convergence dominée à paramètre continu **Hypothèses** : $a$ est une borne de $A$ (éventuellement infinie) et : 1. pour tout $t \in I$, $f(x, t) \xrightarrow[x \to a]{} \ell(t)$ ; 2. pour tout $x \in A$, $t \mapsto f(x, t)$ est CPPM sur $I$, et $t \mapsto \ell(t)$ est CPPM sur $I$ ; 3. il existe $\varphi$ intégrable sur $I$ avec $|f(x, t)| \leq \varphi(t)$ pour tout $(x, t)$. **Conclusion** : $\ell$ est intégrable sur $I$ (et $|\ell(t)| \leq \varphi(t)$), et $$\int_I f(x, t)\,dt \xrightarrow[x \to a]{} \int_I \ell(t)\,dt :$$ on peut **permuter la limite en la borne et l'intégrale**. *Preuve* : extension directe du théorème de convergence dominée aux suites, via la caractérisation séquentielle des limites : pour toute suite $(x_k)$ de $A$ tendant vers $a$, la suite de fonctions $f(x_k, \cdot)$ converge simplement vers $\ell$ et est dominée par $\varphi$, donc $\int_I f(x_k, \cdot) \to \int_I \ell$ ; la convergence des intégrales pour toute suite équivaut à la convergence en $a$. C'est « une simple extension du théorème relatif aux suites de fonctions », comme le souligne l'énoncé. #### 3. Théorème de dérivation **Hypothèses** : 1. pour tout $t \in I$, $x \mapsto f(x, t)$ est de **classe $\mathcal{C}^1$** sur $A$ ; 2. pour tout $x \in A$, $t \mapsto f(x, t)$ est **intégrable** sur $I$ ; 3. pour tout $x \in A$, $t \mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x, t)$ est **continue par morceaux** sur $I$ ; 4. il existe $\varphi$ intégrable sur $I$ avec $\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x, t)\right| \leq \varphi(t)$ pour tout $(x, t) \in A \times I$ (domination de la **dérivée partielle**). **Conclusion** : la fonction $g : x \mapsto \int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x, t)\,dt$ est **définie et de classe $\mathcal{C}^1$** sur $A$, et pour tout $x \in A$ : $$g'(x) = \int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x, t)\,dt.$$ En particulier $F = \int_I f(x, \cdot)$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $A$ et $$F'(x) = \int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x, t)\,dt$$ (on peut **permuter la dérivation et l'intégration**). *Preuve (idée)* : pour $x, x + h \in A$, le théorème des accroissements finis donne $\frac{f(x+h, t) - f(x, t)}{h} = \frac{\partial f}{\partial x}(c_h, t)$ pour un $c_h$ entre $x$ et $x+h$ ; le quotient différentiel est donc dominé par $\varphi$, et sa limite simple en $h \to 0$ est $\frac{\partial f}{\partial x}(x, t)$ ; on conclut avec le théorème de convergence dominée à paramètre (section 2) appliqué à la borne $a = x$. #### 4. Extension à la classe $\mathcal{C}^k$ **Théorème** : si pour tout $t \in I$, $x \mapsto f(x, t)$ est de **classe $\mathcal{C}^k$** sur $A$ ; si pour $0 \leq j \leq k-1$, $t \mapsto \frac{\partial^j f}{\partial x^j}(x, t)$ est **intégrable** sur $I$ pour tout $x$ ; et si $t \mapsto \frac{\partial^k f}{\partial x^k}(x, t)$ est CPPM et **dominée** : $\left|\frac{\partial^k f}{\partial x^k}(x, t)\right| \leq \varphi(t)$ avec $\varphi$ intégrable, alors $F(x) = \int_I f(x, t)\,dt$ est de **classe $\mathcal{C}^k$** sur $A$ et, pour $0 \leq j \leq k$ : $$F^{(j)}(x) = \int_I \frac{\partial^j f}{\partial x^j}(x, t)\,dt.$$ Preuve par récurrence à partir du théorème de dérivation (l'hypothèse de domination de la dérivée d'ordre $k$ fournit la domination des dérivées d'ordres inférieurs sur les segments, grâce au théorème des accroissements finis). #### 5. Exemple récapitulatif Soit $F(x) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{1 + t}\,dt$ pour $x > 0$. - **Continuité sur $]0, +\infty[$** : soit $[m, +\infty[$ un sous-intervalle avec $m > 0$. Pour $x \geq m$ : $\left|\frac{e^{-xt}}{1+t}\right| \leq \frac{e^{-mt}}{1 + t} \leq e^{-mt} = \varphi(t)$, intégrable sur $[0, +\infty[$ ; et $t \mapsto \frac{e^{-xt}}{1+t}$ est continue. Donc $F$ est continue sur tout $[m, +\infty[$, i.e. sur $]0, +\infty[$. - **Dérivation** : $\frac{\partial}{\partial x}\frac{e^{-xt}}{1+t} = \frac{-t\,e^{-xt}}{1+t}$, et pour $x \geq m$ : $\left|\frac{-t e^{-xt}}{1+t}\right| \leq t e^{-mt} = \varphi(t)$, intégrable sur $[0, +\infty[$ ($\int_0^{+\infty} t e^{-mt} dt = \frac{1}{m^2}$). Donc $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]0, +\infty[$ et $F'(x) = -\int_0^{+\infty} \frac{t\,e^{-xt}}{1 + t}\,dt$. Comme $0 \leq \frac{t}{1+t} \leq 1$, $\int_0^{+\infty} \frac{t e^{-xt}}{1+t}\,dt \leq \int_0^{+\infty} e^{-xt}\,dt = \frac{1}{x}$ ; et comme $\frac{t}{1+t} \geq \frac{1}{2}$ pour $t \geq 1$, $\int_0^{+\infty} \frac{t e^{-xt}}{1+t}\,dt \geq \frac{1}{2}\int_1^{+\infty} e^{-xt}\,dt = \frac{e^{-x}}{2x}$. D'où l'encadrement $-\frac{1}{x} \leq F'(x) \leq -\frac{e^{-x}}{2x}$. - **Classe $\mathcal{C}^{\infty}$** : $\frac{\partial^k}{\partial x^k}\frac{e^{-xt}}{1+t} = \frac{(-t)^k e^{-xt}}{1+t}$, dominé par $t^k e^{-mt}$ (intégrable) pour $x \geq m$ : $F$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $]0, +\infty[$.

#### 1. Intégrale absolument convergente ; convergence absolue implique convergence Soit $f$ une fonction continue par morceaux sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. L'intégrale $\int_I f$ est **absolument convergente** si $\int_I |f|$ **converge**. **Théorème** : la convergence absolue **implique** la convergence : si $\int_I |f|$ converge, alors $\int_I f$ converge. De plus, on dispose de l'**inégalité triangulaire** : $$\left| \int_I f(t)\,dt \right| \leq \int_I |f(t)|\,dt.$$ *Preuve (cas $I = [a, b[$)* : pour tout $x \in [a, b[$, $$\left| \int_a^x f(t)\,dt \right| \leq \int_a^x |f(t)|\,dt \leq \int_a^b |f(t)|\,dt,$$ donc la fonction $x \mapsto \int_a^x f$ est majorée en module par la constante $\int_a^b |f|$... plus précisément, le **critère de Cauchy** s'applique : pour $x, y \geq a$, $\left|\int_x^y f\right| \leq \int_x^y |f| \leq \int_{\max(x,y)}^b |f| \to 0$, donc $x \mapsto \int_a^x f$ vérifie le critère de Cauchy en $b$ et converge. L'inégalité triangulaire s'obtient en passant à la limite dans $\left|\int_a^x f\right| \leq \int_a^x |f|$. #### 2. Notations ; intégrable en $b$, en $a$ On note $\int_I f$ ou $\int_I f(t)\,dt$ l'intégrale (généralisée) de $f$ sur $I$. Pour $I = [a, b[$ (resp. $I = ]a, b]$), on dit que $f$ est **intégrable en $b$** (resp. **en $a$**) si $\int_a^b |f(t)|\,dt$ converge (c'est-à-dire si $f$ est intégrable en cette borne au sens absolu). L'étude se fait par la définition : $x \mapsto \int_a^x |f|$ doit être majorée (borne $a$) ou admettre une limite finie en $b$. #### 3. Définition d'une fonction intégrable sur $I$ **Définition** : une fonction $f$ est **intégrable sur $I$** si elle est **continue par morceaux sur $I$** et si son intégrale sur $I$ est **absolument convergente** ($\int_I |f| < +\infty$). Exemples : $\frac{1}{\sqrt{t}}$ sur $]0, 1]$ est intégrable ($\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{t}} = 2 < +\infty$) ; $\frac{1}{t}$ sur $]0, 1]$ ne l'est pas (divergence logarithmique) ; $\frac{1}{t^2}$ sur $[1, +\infty[$ est intégrable ; $\frac{1}{t}$ sur $[1, +\infty[$ ne l'est pas. **Attention** : la convergence (simple) de $\int_I f$ ne suffit pas — il faut la convergence absolue : $\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t}\,dt$ converge (séries alternées / Dirichlet) mais n'est pas absolument convergente ($\int_1^{+\infty} \frac{|\sin t|}{t}\,dt = +\infty$), donc $\frac{\sin t}{t}$ n'est **pas intégrable** au sens de cette définition. #### 4. Espace vectoriel $\mathrm{L}^1(I, \mathbb{K})$ L'ensemble des fonctions **intégrables** sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ est noté $$\mathrm{L}^1(I, \mathbb{K}) = \{f \text{ CPPM sur } I \mid \int_I |f(t)|\,dt < +\infty\}.$$ C'est un **espace vectoriel** (sur $\mathbb{K}$) : si $f, g \in \mathrm{L}^1(I, \mathbb{K})$ et $\lambda \in \mathbb{K}$, alors $f + g$ et $\lambda f$ sont intégrables (via $|f + g| \leq |f| + |g|$ et $|\lambda f| = |\lambda||f|$, et l'inégalité $\int_I |f + g| \leq \int_I |f| + \int_I |g|$). L'application $f \mapsto \int_I |f|$ y joue le rôle d'une norme à la nuance près que $\int_I |f| = 0$ n'implique $f = 0$ que pour des fonctions continues (voir section 5) ; en général elle est « semi-norme » ($\int_I |f| = 0$ pour $f$ nulle hors d'un ensemble fini de points). Sur $\mathrm{L}^1$, l'intégrale $\int_I$ est une **forme linéaire positive**, et la convergence absolue est stable : si $|f| \leq g$ avec $g \in \mathrm{L}^1$, alors $f \in \mathrm{L}^1$. #### 5. Fonction positive d'intégrale nulle **Théorème** : si $f$ est **continue**, **intégrable** et **positive** sur $I$, et si $$\int_I f(t)\,dt = 0,$$ alors $f$ est **identiquement nulle** sur $I$. *Preuve* : par contraposée, si $f(x_0) > 0$ en un point $x_0 \in I$ (intérieur à $I$ ou point de continuité), la continuité fournit un sous-intervalle $[u, v] \subset I$ non réduit sur lequel $f \geq \frac{f(x_0)}{2} > 0$ ; alors $$\int_I f \geq \int_u^v f \geq (v - u)\,\frac{f(x_0)}{2} > 0,$$ contradiction. (Le résultat s'étend aux fonctions CPPM positives.) Application classique : si $\int_I |f| = 0$ pour $f$ continue, alors $f \equiv 0$ (appliquer le théorème à $|f|$, continue et positive). #### 6. Théorème de comparaison (domination asymptotique) Soient $f$ et $g$ CPPM sur $[a, +\infty[$ : - **si $f(t) = O(g(t))$ en $+\infty$ et si $g$ est intégrable en $+\infty$** (i.e. $\int_a^{+\infty} |g| < +\infty$), alors $f$ est **intégrable en $+\infty$** ; - **si $f \sim g$ en $+\infty$** (avec $g$ de signe constant au voisinage de $+\infty$), alors $f$ est intégrable en $+\infty$ **si et seulement si** $g$ l'est. *Preuve* : $f = O(g)$ donne $|f| \leq C|g|$ pour $t \geq A$ ; alors $\int_A^{+\infty} |f| \leq C \int_A^{+\infty} |g| < +\infty$ (domination) et $\int_a^A |f| < +\infty$ (fonction continue sur un segment), d'où l'intégrabilité de $f$. L'équivalence donne la domination dans les deux sens ($|f| \leq 2|g|$ et $|g| \leq 2|f|$ au voisinage de $+\infty$). *Application type* : pour décider de l'intégrabilité en $+\infty$ d'une fonction positive, on cherche un équivalent simple et on le compare aux fonctions de référence (section 7). #### 7. Fonctions de référence - **Riemann en $+\infty$** : $t \mapsto \frac{1}{t^{\alpha}}$ (sur $[1, +\infty[$) est intégrable si et seulement si $\alpha > 1$ : $\int_1^x \frac{dt}{t^{\alpha}} = \frac{x^{1-\alpha} - 1}{1 - \alpha}$ a une limite finie ssi $1 - \alpha < 0$ (et cas $\alpha = 1$ : $\ln x \to +\infty$). - **Riemann en $0^+$** : $t \mapsto \frac{1}{t^{\alpha}}$ (sur $]0, 1]$) est intégrable en $0^+$ si et seulement si $\alpha < 1$ : $\int_x^1 \frac{dt}{t^{\alpha}} = \frac{1 - x^{1-\alpha}}{1 - \alpha}$ a une limite finie ssi $1 - \alpha > 0$ (cas $\alpha = 1$ : $-\ln x \to +\infty$). - **Exponentielles** : $t \mapsto e^{-\alpha t}$ (sur $[1, +\infty[$) est intégrable en $+\infty$ pour $\alpha > 0$ : $\int_1^x e^{-\alpha t}\,dt = \frac{e^{-\alpha} - e^{-\alpha x}}{\alpha} \to \frac{e^{-\alpha}}{\alpha}$ (et non intégrable si $\alpha \leq 0$). - **Logarithme** : $t \mapsto \ln t$ (sur $]0, 1]$) est **intégrable en $0^+$** : $\int_x^1 \ln t\,dt = [-t\ln t + t]_x^1 \to -1$ (mais $t \mapsto \ln t$ n'est **pas** intégrable en $+\infty$). Règle pratique : à l'infini, tout est affaire de **croissances comparées** ($t^{\beta} e^{-\alpha t} \to 0$, $\frac{\ln t}{t^{\beta}} \to 0$ pour $\beta > 0$) ; en $0^+$, ce sont les **puissances** qui dominent le logarithme. #### 8. Exemple récapitulatif Étudions l'intégrabilité de $f(t) = \frac{1}{(1 + t)\sqrt{t}}$ sur $]0, +\infty[$. - **En $0^+$** : $f(t) \sim \frac{1}{\sqrt{t}}$, de la forme $\frac{1}{t^{\alpha}}$ avec $\alpha = \frac{1}{2} < 1$ : intégrable en $0^+$ (fonctions de référence). - **En $+\infty$** : $f(t) \sim \frac{1}{t\sqrt{t}} = \frac{1}{t^{3/2}}$, avec $\alpha = \frac{3}{2} > 1$ : intégrable en $+\infty$. - **Conclusion** : $f$ est intégrable sur $]0, +\infty[$ ($f$ est CPPM, et son intégrale est absolument convergente car $f \geq 0$), donc $f \in \mathrm{L}^1(]0, +\infty[, \mathbb{R})$.

Intégration sur un intervalle quelconque

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