Isométries vectorielles d'un espace euclidien

#### Définitions - $E$ désigne un plan euclidien orienté. - $(e_1, e_2)$ est une base orthonormée directe. - $u \in \mathcal{O}(E)$, où $\mathcal{O}(E)$ représente le groupe des isométries vectorielles de $E$. - $A = \text{Mat}_{(e)}(u) = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$ est la matrice de l'isométrie $u$ dans la base $(e_1, e_2)$. #### Propriétés des matrices orthogonales - Une matrice $A$ est orthogonale si $A^T A = I$, où $I$ est la matrice identité. - Les éléments de $A$ satisfont aux équations : - $a^2 + b^2 = 1$ - $c^2 + d^2 = 1$ - $ac + bd = 0$ #### Représentation des éléments de la matrice - Il existe des réels $\alpha$ et $\beta$ tels que : - $a = \cos \alpha$ et $b = \sin \alpha$ - $d = \cos \beta$ et $c = \sin \beta$ - La relation entre $\alpha$ et $\beta$ est donnée par $\sin(\alpha + \beta) = 0$, ce qui implique $\beta \equiv -\alpha \pmod{\pi}$. #### Types de matrices pour les isométries - Deux types de matrices pour les isométries vectorielles : - $A_1$ avec $\det A_1 = 1$ pour les isométries directes - $A_2$ avec $\det A_2 = -1$ pour les isométries indirectes #### Théorème - Les isométries vectorielles directes sont associées aux matrices de type $A_1$, et les isométries indirectes aux matrices de type $A_2$.

#### 1. Une isométrie conserve la norme Soit $E$ un espace euclidien (espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$). Un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ est une **isométrie vectorielle** (ou endomorphisme orthogonal) si elle **conserve la norme** : $$\|u(x)\| = \|x\| \quad \text{pour tout } x \in E.$$ Elle conserve aussi les distances : $\|u(x) - u(y)\| = \|x - y\|$. Une isométrie est **injective** ($u(x) = 0 \Rightarrow \|x\| = 0 \Rightarrow x = 0$), donc **bijective** en dimension finie ; en particulier $u^{-1}$ est aussi une isométrie. #### 2. Exemples : symétries, réflexions, rotations - **Symétrie orthogonale** par rapport à un sous-espace $F$ : $s_{|F} = \mathrm{Id}_F$ et $s_{|F^\perp} = -\mathrm{Id}_{F^\perp}$. C'est une isométrie. - **Réflexion** : symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan $H$, $s_H(x) = x - 2\,\dfrac{\langle x, n \rangle}{\|n\|^2}\,n$ où $n$ est un vecteur normal à $H$ ; c'est une isométrie de déterminant $-1$. - **Rotations du plan** : matrices $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$, isométries de déterminant $+1$ ; l'identité et la symétrie centrale $-\mathrm{Id}$ en sont des cas particuliers. - Dans $\mathbb{R}^3$ : rotations d'axe une droite, réflexions par rapport à un plan, symétries orthogonales, retournements. #### 3. Une isométrie conserve le produit scalaire $u$ est une isométrie si et seulement si $$\langle u(x), u(y) \rangle = \langle x, y \rangle \quad \text{pour tous } x, y \in E.$$ Cela découle de la **formule de polarisation** $\langle x, y \rangle = \frac{1}{4}\big(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2\big)$, qui exprime le produit scalaire à partir de la norme. En particulier, une isométrie **conserve l'orthogonalité** : $x \perp y \Rightarrow u(x) \perp u(y)$. #### 4. Image d'une base orthonormée par une isométrie **Théorème** : $u$ est une isométrie si et seulement si l'image par $u$ de **toute** base orthonormée est une base orthonormée. Traduction matricielle : si $\mathcal{B}$ est une base orthonormée et $A = \mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u)$, alors $u$ est une isométrie si et seulement si **les colonnes de $A$ forment une famille orthonormée**, ce qui équivaut à $$A^{\mathsf{T}} A = I_n \iff A^{-1} = A^{\mathsf{T}} \iff A A^{\mathsf{T}} = I_n.$$ De telles matrices sont dites **orthogonales** : leurs colonnes (et leurs lignes) sont orthonormées. #### 5. Le groupe orthogonal L'ensemble des isométries vectorielles de $E$ est un **groupe pour la composition**, noté $\mathrm{O}(E)$ : sous-groupe de $\mathrm{GL}(E)$. En matrices (dans une base orthonormée), $$\mathrm{O}(n) = \{A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mid A^{\mathsf{T}}A = I_n\}.$$ - **Déterminant** : pour $A \in \mathrm{O}(n)$, $\det(A)^2 = \det(A^{\mathsf{T}})\det(A) = \det(A^{\mathsf{T}}A) = 1$, donc $\det(A) = \pm 1$ : une isométrie préserve les volumes en valeur absolue. - Le sous-ensemble $\mathrm{SO}(E) = \{u \in \mathrm{O}(E) \mid \det u = 1\}$ (matrices : $\mathrm{SO}(n)$) est le **groupe spécial orthogonal** (rotations), sous-groupe distingué d'indice $2$ de $\mathrm{O}(E)$. #### 6. Notation $\mathrm{O}(E)$ - $\mathrm{O}(E)$ désigne le groupe orthogonal de l'espace euclidien $E$ ; on écrit $\mathrm{O}(n)$ ou $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ pour la version matricielle, et $\mathrm{SO}(E)$ / $\mathrm{SO}(n)$ pour le sous-groupe de déterminant $1$. - **Attention** : $\mathrm{O}(E)$ dépend du produit scalaire choisi sur $E$ : deux produits scalaires différents définissent deux groupes orthogonaux différents. - Toute isométrie de $E$ est un automorphisme : $\mathrm{O}(E) \subset \mathrm{GL}(E)$, et $|\det u| = 1$ pour tout $u \in \mathrm{O}(E)$. #### 7. Stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace stable **Théorème** : si $F$ est un sous-espace **stable** par une isométrie $u$, alors $F^\perp$ est aussi stable par $u$. *Preuve* : soit $y \in F^\perp$ et $x \in F$. Comme $u$ est bijective et $F$ stable, $u(F) \subset F$ et $\dim u(F) = \dim F$, donc $u(F) = F$ : il existe $x' \in F$ avec $x = u(x')$. Alors $$\langle u(y), x \rangle = \langle u(y), u(x') \rangle = \langle y, x' \rangle = 0,$$ d'où $u(y) \in F^\perp$. Conséquence : $E = F \oplus F^\perp$ avec $F$ et $F^\perp$ stables : dans une base adaptée, la matrice de $u$ est diagonale par blocs $\begin{pmatrix} A_F & 0 \\ 0 & A_{F^\perp} \end{pmatrix}$ avec $A_F \in \mathrm{O}(F)$ et $A_{F^\perp} \in \mathrm{O}(F^\perp)$. C'est le point de départ de la réduction des isométries (classification des rotations de $\mathbb{R}^3$, réduction en blocs de rotation/réflexion). #### 8. Exemple récapitulatif - **Réflexion d'axe la droite $y = x$** dans $\mathbb{R}^2$ : $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. On vérifie $A^{\mathsf{T}}A = I_2$ et $\det A = -1$ : c'est une isométrie ; l'image de la base canonique, $(e_2, e_1)$, est bien une base orthonormée. - **Rotation** $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ : $R_\theta^{\mathsf{T}}R_\theta = I_2$, $\det R_\theta = 1$, $R_\theta^{-1} = R_{-\theta} = R_\theta^{\mathsf{T}}$. - **Stabilité de l'orthogonal** : pour la rotation de $\mathbb{R}^3$ d'axe $Oz$ (angle $\theta$), le plan $F = \mathrm{Vect}(e_1, e_2)$ est stable, et l'axe $F^\perp = \mathrm{Vect}(e_3)$ est lui aussi stable (les vecteurs de l'axe sont fixes) : la matrice est $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Soit $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ euclidien. Une **isométrie vectorielle** (automorphisme orthogonal) est $u$ tel que $\langle u(x),u(y)\rangle=\langle x,y\rangle$ pour tous $x,y$, i.e. $u$ préserve le **produit scalaire** (et la norme).

- **Caractérisation** : $u^*u=\mathrm{id}$ (i.e. $u^{-1}=u^*$) ; $\|u(x)\|=\|x\|$. - **Groupe** : $O(E)$ (groupe orthogonal). - **Déterminant** : $\det u=\pm1$ ; $SO(E)$ si $\det u=+1$. - **Matrices** : matrices orthogonales ($A^{T}A=I$).

1. **Utiliser** $A^TA=I$ (colonnes orthonormées). 2. **Calculer** $\det u=\pm1$ (rotation vs réflexion). 3. **Étudier** le spectre (valeurs propres de module $1$). - **Piège classique** : valeurs propres complexes (rotation) ; confondre isométrie et similitude ($\lambda u$) ; $\det=\pm1$ nécessaire mais non suffisant.

- Une rotation de $\mathbb{R}^2$ : $\det=+1$, valeurs propres $e^{\pm i\theta}$. ```mermaid graph TD I["Isometrie : <u(x),u(y)> = <x,y>"] --> C["u* u = id (u^-1 = u*)"] I --> D["det u = +/- 1"] I --> O["Groupe orthogonal O(E), SO(E)"] ```