Isométries vectorielles d'un plan euclidien

#### 1. Description des matrices de $\mathrm{O}_2(\mathbb{R})$ et $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ Soit $P$ un plan euclidien et $\mathcal{B}$ une base orthonormée. Les isométries de $P$ ont pour matrices les éléments de $$\mathrm{O}_2(\mathbb{R}) = \{A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \mid A^{\mathsf{T}}A = I_2\},$$ et on obtient la description complète : $$\mathrm{O}_2(\mathbb{R}) = \left\{ \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \;\middle|\; \theta \in \mathbb{R} \right\} \;\cup\; \left\{ \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix} \;\middle|\; \theta \in \mathbb{R} \right\}.$$ - Les matrices du **premier type** ont pour déterminant $1$ : elles forment $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R}) = \{A \in \mathrm{O}_2(\mathbb{R}) \mid \det A = 1\}$ — ce sont les matrices de rotations. - Les matrices du **second type** ont pour déterminant $-1$ (symétries orthogonales, réflexions). - *Idée de preuve* : les colonnes d'une matrice orthogonale forment une base orthonormée $(c_1, c_2)$ ; la deuxième colonne est $c_2 = \pm(-\sin\theta, \cos\theta)$ où $(\cos\theta, \sin\theta) = c_1$. #### 2. Commutativité de $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ Le groupe $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R}) = \{R_\theta \mid \theta \in \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}\}$ est **commutatif** : pour tous $\theta, \varphi$, $$R_\theta R_\varphi = R_{\theta + \varphi} = R_\varphi R_\theta,$$ et $R_\theta^{-1} = R_{-\theta}$. L'application $\theta \mapsto R_\theta$ est un **isomorphisme de groupes** de $(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}, +)$ sur $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$. *Attention* : $\mathrm{O}_2(\mathbb{R})$ tout entier n'est **pas** commutatif (une rotation et une réflexion ne commutent pas en général) ; seule la partie de déterminant $1$ l'est. #### 3. Rotation vectorielle d'un plan euclidien orienté, mesure d'un angle orienté Un plan euclidien **orienté** est muni d'un choix d'orientation (une base orthonormée directe de référence). Une **rotation vectorielle** de $P$ est une isométrie de déterminant $+1$ : $u \in \mathrm{SO}(P)$. Dans toute base orthonormée **directe**, sa matrice est $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ ; l'angle $\theta$ (modulo $2\pi$) ne dépend pas du choix de la base directe. **Mesure d'un angle orienté de vecteurs non nuls** : soient $x, y \in P \setminus \{0\}$. Il existe une **unique** rotation $r \in \mathrm{SO}(P)$ envoyant $\frac{x}{\|x\|}$ sur $\frac{y}{\|y\|}$ ; la **mesure** de l'angle orienté $(\overrightarrow{x}, \overrightarrow{y})$ est l'angle $\theta \in \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ de cette rotation. La mesure ne dépend que des **directions** de $x$ et $y$ (et non de leurs normes), et l'ensemble des angles orientés s'identifie à $\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$, avec l'addition : la composée de rotations d'angles $\theta$ et $\varphi$ est la rotation d'angle $\theta + \varphi$. #### 4. Classification des isométries vectorielles du plan euclidien **Théorème** : toute isométrie vectorielle d'un plan euclidien orienté $P$ est exactement l'une des deux : 1. une **rotation vectorielle** (déterminant $+1$), rotation d'angle $\theta \in \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ ; 2. une **symétrie orthogonale** (réflexion) par rapport à une droite vectorielle (déterminant $-1$). *Preuve* : soit $u$ une isométrie. Si $\det u = 1$, $u$ est une rotation (définition). Si $\det u = -1$, l'écriture de sa matrice (section 1) montre $\mathrm{tr}(u) = 0$, donc $\chi_u(X) = X^2 - 1$ : les valeurs propres $1$ et $-1$ existent dans $\mathbb{R}$, les droites propres $E_1$ et $E_{-1}$ sont orthogonales (vecteurs propres de valeurs propres distinctes d'une isométrie), et $u$ est la symétrie orthogonale par rapport à $E_1$. Remarque : toute réflexion est le produit de deux rotations, et toute rotation d'angle $\theta$ est le produit de deux réflexions d'axes faisant un angle de $\theta/2$ : $s_{D_1} \circ s_{D_2} = R_{2(\varphi_1 - \varphi_2)}$ si $D_i$ fait l'angle $\varphi_i$ avec l'axe. #### 5. Exemple récapitulatif - $R_{\pi/2}$ et $R_{\pi/3}$ commutent : $R_{\pi/2}R_{\pi/3} = R_{5\pi/6} = R_{\pi/3}R_{\pi/2}$. - La réflexion d'axe faisant l'angle $\varphi$ avec l'axe des abscisses a pour matrice (dans la base canonique) $S_\varphi = \begin{pmatrix} \cos 2\varphi & \sin 2\varphi \\ \sin 2\varphi & -\cos 2\varphi \end{pmatrix} \in \mathrm{O}_2(\mathbb{R}) \setminus \mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$. - Composée de deux réflexions : $S_{\varphi_1}S_{\varphi_2} = R_{2(\varphi_1 - \varphi_2)}$ ; par exemple $S_{\pi/4}\,S_0 = R_{\pi/2}$. - Angle orienté : dans le plan orienté canoniquement, la mesure de l'angle orienté $(\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2})$ est $+\pi/2$, celle de $(\overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{e_1})$ est $-\pi/2$ : l'orientation choisie fixe le signe.

Isométries vectorielles d'un plan euclidien

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