Limite et continuité en un point

#### 1. Limite d'une fonction en un point adhérent à son domaine Soient $E, F$ deux espaces vectoriels normés, $D \subset E$ et $f : D \to F$. Soit $a$ un point **adhérent** à $D$ (toute boule centrée en $a$ rencontre $D$ ; en particulier $a$ peut ne pas appartenir à $D$). On dit que $f$ admet pour **limite** $\ell \in F$ en $a$ si $$\forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0, \ \forall x \in D, \quad \|x - a\| \leq \delta \implies \|f(x) - \ell\| \leq \varepsilon.$$ On note $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$. **Caractérisation séquentielle** : $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ si et seulement si pour **toute** suite $(x_n)$ d'éléments de $D$ telle que $x_n \to a$ (avec $x_n \neq a$ si $a \in D$ et qu'on étudie la limite au point), on a $f(x_n) \to \ell$. *Esquisse* : le sens direct est immédiat (appliquer la définition à la suite) ; la réciproque se démontre par contraposée en construisant une suite $x_n \in D$ avec $\|x_n - a\| \leq 1/n$ et $\|f(x_n) - \ell\| > \varepsilon$. La limite, lorsqu'elle existe, est **unique**. Exemple : $f : \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ a pour limite $1$ en $0$ (point adhérent au domaine mais hors du domaine). #### 2. Opérations algébriques sur les limites, composition Si $f : D \to F$ a pour limite $\ell$ en $a$, $g : D \to F$ a pour limite $m$ en $a$, et $(\lambda_n) \to \lambda$ : - **Somme** : $f + g \to \ell + m$ ($\|f(x) + g(x) - \ell - m\| \leq \|f(x) - \ell\| + \|g(x) - m\|$). - **Produit externe** : $\lambda f \to \lambda \ell$ ; si $(\lambda_n)$ est une suite de scalaires convergeant vers $\lambda$ et $(f_n)$ des fonctions... (cas scalaire) $\lambda f \to \lambda\ell$. - **Produit** (si $F$ est une algèbre normée avec $\|uv\| \leq \|u\|\|v\|$, ou $F = \mathbb{K}$) : $fg \to \ell m$ via $\|f(x)g(x) - \ell m\| \leq \|f(x)\|\,\|g(x) - m\| + \|f(x) - \ell\|\,\|m\|$. - **Composition** : si $f : E \to F$ a pour limite $\ell$ en $a$ et si $g : F \to G$ est **continue en $\ell$**, alors $g \circ f$ a pour limite $g(\ell)$ en $a$ (la continuité en un point suffit : on compose les $\varepsilon$-$\delta$). Exemple : $\lim_{x \to 0} \exp\left(\frac{\sin x}{x}\right) = e$. Ces opérations se justifient proprement avec la caractérisation séquentielle et les opérations sur les limites de suites. #### 3. Continuité en un point. Caractérisation séquentielle Soit $f : D \to F$ et $a \in D$. On dit que $f$ est **continue en $a$** si $$\lim_{x \to a, \, x \in D} f(x) = f(a),$$ c'est-à-dire : $\forall \varepsilon > 0$, $\exists \delta > 0$, $\forall x \in D$, $\|x - a\| \leq \delta \implies \|f(x) - f(a)\| \leq \varepsilon$. **Caractérisation séquentielle** : $f$ est continue en $a$ si et seulement si pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $D$ avec $x_n \to a$, on a $f(x_n) \to f(a)$. On dit que $f$ est **continue sur $D$** si elle est continue en tout point de $D$. Exemples dans un espace vectoriel normé : la norme $x \mapsto \|x\|$ est continue (via $|\,\|x\| - \|y\|\,| \leq \|x - y\|$) ; toute application linéaire en dimension finie est continue ; les additions et produits (dans une algèbre) sont continus. Exemple de discontinue : la fonction indicatrice de $\mathbb{Q}$ est discontinue en tout point de $\mathbb{R}$ (car $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ sont denses : on trouve des suites rationnelles et irrationnelles tendant vers n'importe quel point). #### 4. Exemple récapitulatif Soit $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$ pour $(x,y) \neq (0,0)$. Le point $a = (0,0)$ est adhérent au domaine. En passant par les suites $x_n = (t_n, 0)$ puis $(t_n, t_n)$ avec $t_n \to 0$, on obtient $f(x_n) \to 0$ puis $f(x_n) \to 1/2$ : deux suites tendent vers $a$ avec des limites d'images différentes, donc $f$ **n'a pas de limite en $(0,0)$** (caractérisation séquentielle par contraposée). En revanche $g(x, y) = \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}$ (avec $g(0,0) = 0$) est continue en $(0,0)$ : $\left|\frac{x^2 y}{x^2+y^2}\right| \leq |y| \leq \sqrt{x^2 + y^2} \to 0$.

$f:X\to F$ (X partie de l'EVN $E$) admet pour **limite** $\ell$ en $a\in\overline{X}$ si $\|f(x)-\ell\|\to0$ quand $x\to a$. $f$ est **continue** en $a\in X$ si $\lim_a f=f(a)$.

- **Limite** : $\forall\varepsilon>0,\ \exists\eta>0,\ \|x-a\|<\eta\Rightarrow\|f(x)-\ell\|<\varepsilon$. - **Continuité** : $\lim_a f=f(a)$. - **Caractérisation séquentielle** : $x_n\to a\Rightarrow f(x_n)\to f(a)$. - **Opérations** : sommes, produits, composées (continuité préservée).

1. **Revenir** à la définition $\varepsilon$-$\eta$. 2. **Utiliser** la caractérisation séquentielle. 3. **Composer** avec les opérations (continuité). - **Piège classique** : oublier que $a$ doit être adhérent à $X$ ; confondre limite et valeur.

- $\sin x/x\to1$ en $0$ (prolongement continu). ```mermaid graph TD L["Limite en a : ||f(x)-l|| -> 0"] --> E["Definition eps-eta"] L --> S["Caracterisation sequentielle"] C["Continuite en a : lim_a f = f(a)"] --> S ```