Matrices orthogonales

#### 1. Définition et interprétation en colonnes et lignes Une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est **orthogonale** si $$A^{\mathsf{T}} A = I_n \iff A^{-1} = A^{\mathsf{T}} \iff A A^{\mathsf{T}} = I_n.$$ - **Interprétation en colonnes** : $A^{\mathsf{T}}A = I_n$ signifie que les colonnes $C_1, \ldots, C_n$ de $A$ vérifient $C_i \cdot C_j = \delta_{ij}$ (produit scalaire canonique de $\mathbb{R}^n$) : les colonnes forment une **famille orthonormée**, donc une base orthonormée. - **Interprétation en lignes** : $AA^{\mathsf{T}} = I_n$ signifie de même que les **lignes** de $A$ forment une base orthonormée. - Exemples : $R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, et plus généralement toute matrice de permutation. #### 2. Caractérisation comme matrice de changement de base orthonormée **Théorème** : une matrice $P$ est orthogonale si et seulement si c'est la **matrice de passage** d'une base orthonormée à une autre base orthonormée. En effet, les colonnes de $P$ sont les coordonnées dans $\mathcal{B}$ des vecteurs de $\mathcal{B}'$ ; elles forment une base orthonormée ssi $\mathcal{B}'$ est orthonormée, ssi $P^{\mathsf{T}}P = I_n$. Conséquence : si $G$ est la matrice de Gram d'une famille de vecteurs, elle se transforme en $G' = P^{\mathsf{T}} G P$ lors d'un changement de base orthonormée — et $G' = G$ lorsque la famille est elle-même orthonormée. #### 3. Caractérisation d'une isométrie par sa matrice dans une base orthonormée **Théorème** : soit $\mathcal{B}$ une base orthonormée de $E$ et $A = \mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u)$. Alors $u$ est une **isométrie vectorielle** si et seulement si $A$ est **orthogonale**. Cela découle de la section 1 : $u$ conserve le produit scalaire ssi l'image de la base orthonormée $\mathcal{B}$ est une base orthonormée, ssi les colonnes de $A$ sont orthonormées. Ainsi, dans une base orthonormée, les isométries et les matrices orthogonales sont les deux faces d'une même notion. #### 4. Terminologie - **Automorphisme orthogonal** / **isométrie vectorielle** / **endomorphisme orthogonal** : endomorphisme $u$ d'un espace euclidien qui conserve la norme (ou, de façon équivalente, le produit scalaire) : $\langle u(x), u(y) \rangle = \langle x, y \rangle$ pour tous $x, y$. - En dimension finie, un tel endomorphisme est automatiquement **bijectif** (isométrie injective). - Version matricielle : **matrice orthogonale** (section 1). La terminologie « automorphisme » insiste sur le fait que $u \in \mathrm{GL}(E)$. #### 5. Groupe orthogonal L'ensemble des matrices orthogonales est un groupe pour le produit matriciel, noté $$\mathrm{O}(n) = \{A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mid A^{\mathsf{T}}A = I_n\},$$ aussi noté $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ ; c'est un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$. Stabilité : si $A, B \in \mathrm{O}(n)$, alors $(AB)^{\mathsf{T}}(AB) = B^{\mathsf{T}}A^{\mathsf{T}}AB = I_n$, et $A^{-1} = A^{\mathsf{T}} \in \mathrm{O}(n)$. Côté endomorphismes, le groupe correspondant est $\mathrm{O}(E)$, isomorphe à $\mathrm{O}(n)$ par le choix d'une base orthonormée. #### 6. Déterminant d'une matrice orthogonale Pour $A \in \mathrm{O}(n)$, $$\det(A)^2 = \det(A^{\mathsf{T}})\det(A) = \det(A^{\mathsf{T}}A) = \det(I_n) = 1,$$ donc $\det(A) = \pm 1$. L'application $\det : \mathrm{O}(n) \to \{-1, 1\}$ est un morphisme de groupes. Interprétation géométrique : $|\det A| = 1$ : une matrice orthogonale **conserve les volumes** (au signe près). #### 7. Groupe spécial orthogonal Le **groupe spécial orthogonal** est $$\mathrm{SO}(n) = \{A \in \mathrm{O}(n) \mid \det A = 1\},$$ aussi noté $\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$ (version endomorphismes : $\mathrm{SO}(E)$). C'est un **sous-groupe distingué** de $\mathrm{O}(n)$, d'indice $2$ : c'est le noyau du morphisme $\det$. Ses éléments sont les isométries **directes** (rotations) ; les éléments de $\mathrm{O}(n) \setminus \mathrm{SO}(n)$, de déterminant $-1$, sont les isométries **inverses** (réflexions, etc.). #### 8. Orientation et bases orthonormées directes Un espace euclidien **orienté** est muni d'une orientation, c'est-à-dire d'un choix de classe d'équivalence de bases (deux bases ont même orientation si le déterminant de leur matrice de passage est $> 0$). Une base orthonormée est **directe** si sa matrice de passage avec la base orthonormée de référence a un déterminant $+1$ ; sinon elle est **rétrograde** (ou indirecte). - Si $P \in \mathrm{O}(n)$ est la matrice de passage d'une base orthonormée $\mathcal{B}$ à une base orthonormée $\mathcal{B}'$ : $\det P = +1$ signifie que $\mathcal{B}'$ a la même orientation que $\mathcal{B}$ ; $\det P = -1$ qu'elle l'inverse. - Ainsi $\mathrm{SO}(n)$ est le groupe des **isométries préservant l'orientation** (rotations), et les éléments de déterminant $-1$ (réflexions) la renversent. Dans $\mathbb{R}^2$ : rotation $\leftrightarrow$ directe, réflexion $\leftrightarrow$ rétrograde ; dans $\mathbb{R}^3$, une base orthonormée directe suit la règle de la main droite. #### 9. Exemple récapitulatif - $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ : $A^{\mathsf{T}}A = I_2$, $\det A = 1$ : $A \in \mathrm{SO}(2)$, c'est la rotation d'angle $\pi/2$, qui envoie la base canonique (directe) sur la base orthonormée directe $(e_2, -e_1)$. - $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ : $B^{\mathsf{T}}B = I_2$, $\det B = -1$ : $B \in \mathrm{O}(2) \setminus \mathrm{SO}(2)$, réflexion d'axe $(Ox)$, qui **renverse l'orientation** (la base image $(e_1, -e_2)$ est rétrograde). - Matrice de passage $P_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ : orthogonale de déterminant $1$, c'est la matrice de passage entre deux bases orthonormées directes faisant l'angle $\theta$.