Modes de convergence d'une suite ou d'une série de fonctions

#### 1. Convergence simple d'une suite de fonctions Soient $X$ un ensemble et $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions de $X$ dans $\mathbb{K}$ ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). La suite $(f_n)$ **converge simplement** vers $f$ définie sur $X$ si $$\forall x \in X, \quad f_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} f(x).$$ La convergence est ponctuelle : le rang de convergence peut **dépendre de $x$**. Exemple : $f_n(x) = \frac{x}{n}$ sur $[0, 1]$ converge uniformément vers $0$ ($\sup_{[0,1]} |f_n| = \frac{1}{n} \to 0$) ; sur $\mathbb{R}$ en revanche, la convergence n'est que simple ($\sup_{x \in \mathbb{R}} |f_n(x)| = +\infty$). Contre-exemple : $x^n$ sur $[0,1]$ converge simplement mais pas uniformément ($\sup_{[0,1]} |f_n - f| = 1$). #### 3. La convergence uniforme entraîne la convergence simple **Immédiat** : si $\sup_{x \in X} |f_n(x) - f(x)| \to 0$, alors pour chaque $x$ fixé, $|f_n(x) - f(x)| \leq \sup_{X} |f_n - f| \to 0$, donc $f_n(x) \to f(x)$. **La réciproque est fausse** : $x^n$ sur $[0, 1]$ (simple, pas uniforme). **Intérêt de la convergence uniforme** : elle **préserve la continuité** (limite uniforme de fonctions continues = continue), permet l'**interversion limite-intégrale** ($\int f_n \to \int f$ sur un segment) et, sous une hypothèse de dérivées, l'**interversion limite-dérivée**. #### 4. Norme de la convergence uniforme sur l'espace des fonctions bornées Sur $\mathcal{B}(X, \mathbb{K})$, l'espace des fonctions **bornées** de $X$ dans $\mathbb{K}$ : $$\|f\|_\infty = \sup_{x \in X} |f(x)|$$ définit une norme (la **norme de la convergence uniforme**, ou norme sup). Pour des fonctions bornées $f_n$ et $f$ : $$f_n \to f \text{ uniformément} \iff \|f_n - f\|_\infty \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0.$$ Remarque : même si chaque $f_n$ est bornée, la limite simple peut être non bornée — dans ce cas la suite n'est pas convergente dans $\mathcal{B}(X, \mathbb{K})$. L'espace $\mathcal{B}(X, \mathbb{K})$ muni de $\|\cdot\|_\infty$ est **complet** (toute suite de Cauchy y converge). #### 5. Convergence simple, uniforme, normale d'une série de fonctions Soit $\sum u_n$ une série de fonctions de $X$ dans $\mathbb{K}$, de sommes partielles $S_N = \sum_{n=0}^{N} u_n$ et de reste $R_N(x) = \sum_{n=N+1}^{+\infty} u_n(x)$ : - **convergence simple** : pour tout $x$, la série numérique $\sum u_n(x)$ converge ; on note $S(x) = \sum u_n(x)$ ; - **convergence uniforme** : $R_N \to 0$ uniformément, i.e. $\sup_{x \in X} |R_N(x)| \to 0$ (équivalent : $S_N \to S$ uniformément) ; - **convergence normale** : la série $\sum \|u_n\|_\infty$ **converge**, où $\|u_n\|_\infty = \sup_{x \in X} |u_n(x)|$. #### 6. La convergence normale entraîne la convergence uniforme **Théorème** : si $\sum u_n$ converge normalement sur $X$, alors elle converge **uniformément** (et simplement) sur $X$. *Preuve* : pour tous $x \in X$ et $N \in \mathbb{N}$, $$|R_N(x)| = \left|\sum_{n=N+1}^{+\infty} u_n(x)\right| \leq \sum_{n=N+1}^{+\infty} \|u_n\|_\infty = \sum_{n=N+1}^{+\infty} \|u_n\|_\infty \xrightarrow[N \to +\infty]{} 0$$ (reste d'une série numérique convergente, indépendant de $x$). De plus, chaque $u_n$ bornée et $\sum \|u_n\|_\infty < +\infty$ entraîne que $S = \sum u_n$ est bornée (somme absolument bornée). **Attention** : la réciproque est fausse — $\sum \frac{(-1)^n x^2}{n^2 + x^2}$ peut converger uniformément sans converger normalement ; exemple classique : $\sum \frac{(-1)^n}{n} x^n$ sur $[0,1]$ converge uniformément (Abel) mais $\sum \|u_n\|_\infty = \sum \frac{1}{n}$ diverge. #### 7. Utilisation d'une majoration uniforme pour établir la convergence normale **Critère pratique** : si l'on trouve une suite $(M_n)$ de réels positifs telle que $$|u_n(x)| \leq M_n \quad \text{pour tout } x \in X \text{ et tout } n, \qquad \text{et} \quad \sum_{n} M_n \text{ converge},$$ alors la série $\sum u_n$ **converge normalement** (donc uniformément) sur $X$ : c'est la généralisation du critère de comparaison, appelée aussi **critère de Weierstrass**. Exemples : - $\sum \frac{\sin(nx)}{n^2}$ sur $\mathbb{R}$ : $\left|\frac{\sin(nx)}{n^2}\right| \leq \frac{1}{n^2}$ et $\sum \frac{1}{n^2} < +\infty$ → convergence normale, donc uniforme, et la somme est continue sur $\mathbb{R}$ ; - $\sum \frac{x^n}{n!}$ sur tout segment $[-R, R]$ : $|u_n(x)| \leq \frac{R^n}{n!}$ et $\sum \frac{R^n}{n!} < +\infty$ (d'Alembert) → convergence normale sur tout segment ; la convergence est même normale sur $\mathbb{R}$ avec $M_n = \frac{R^n}{n!}$ fixant $R = |x|$... plus simplement, normale sur tout borné. #### 8. La convergence normale entraîne la convergence absolue en tout point **Théorème** : si $\sum u_n$ converge normalement sur $X$, alors pour **tout** $x \in X$, la série numérique $\sum u_n(x)$ est **absolument convergente** : $$\sum_{n=0}^{+\infty} |u_n(x)| \leq \sum_{n=0}^{+\infty} \|u_n\|_\infty < +\infty.$$ La convergence normale est donc le mode de convergence **le plus fort** des trois : $$\text{normale} \implies \text{uniforme} \implies \text{simple}, \qquad \text{normale} \implies \text{absolue en chaque point},$$ et les réciproques sont fausses en général. Exemple : $\sum \frac{\sin(nx)}{n^2}$ est normalement convergente, donc absolument convergente en chaque $x$, uniformément convergente, de somme continue.

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions définies sur un ensemble $X$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ (ou un e.v.n. $F$). Plusieurs **modes de convergence** vers une fonction $f$ coexistent, du plus faible au plus fort. **Définitions.** - **Convergence simple** : pour tout $x\in X$, $f_n(x)\to f(x)$. - **Convergence uniforme** : $\|f_n-f\|_\infty=\sup_{x\in X}|f_n(x)-f(x)|\to 0$. - **Convergence normale** (séries) : $\sum_n\|f_n\|_\infty<+\infty$. Pour les séries, on parle de convergence (simple, uniforme, normale) de $\sum f_n$ via la suite des sommes partielles $S_n=\sum_{k\leq n}f_k$.

- **Hiérarchie** : convergence **normale** $\Rightarrow$ convergence **uniforme** $\Rightarrow$ convergence **simple**. - **Caractérisation de l'uniforme** : $f_n\to f$ uniformément $\iff \|f_n-f\|_\infty\to0$. - **Convergence uniforme sur tout segment** : mode intermédiaire utile en analyse ; implique la convergence simple et la **continuité de la limite** sur chaque segment. - **Cas des séries (normale)** : si $\sum\|f_n\|_\infty<+\infty$, alors $\sum f_n$ converge uniformément (et absolument en tout point). - **Hypothèses de validité** : les implications ne sont **pas** réversibles en général.

1. **Reconnaître le mode** : calculer $f_n(x)$ pour $x$ fixé (simple), puis $\sup_x|f_n-f|$ (uniforme), puis $\sum\|f_n\|_\infty$ (normale). 2. **Prouver l'uniforme** par étude de la fonction $x\mapsto|f_n(x)-f(x)|$ (dérivée, tableau de variations). 3. **Prouver la normale** en majorant $\|f_n\|_\infty$ par $M_n$ avec $\sum M_n<+\infty$. **Pièges classiques.** Convergence **simple $\neq$ uniforme** : l'inverse est faux (exemple $x^n$ sur $[0,1]$). La convergence normale est **spécifique aux séries** (pas aux suites). Attention à préciser **où** (sur $X$, sur tout segment) la convergence est uniforme.

La suite $f_n(x)=x^{n}$ sur $[0,1]$ : $f_n\to f$ **simplement** avec $f(x)=0$ pour $x<1$ et $f(1)=1$. Comme $\|f_n-f\|_\infty=1\not\to0$, la convergence n'est **pas uniforme** sur $[0,1]$. En revanche, sur $[0,a]$ avec $a<1$, $\|f_n\|_\infty=a^{n}\to0$ : convergence **uniforme**. ```mermaid graph TD N["Convergence normale : sum ||f_n||_infini < +infini (series)"] U["Convergence uniforme : ||f_n - f||_infini --> 0"] S["Convergence simple : f_n(x) --> f(x) pour tout x"] N --> U U --> S N --> R["serie absolument convergente"] U --> P["uniforme sur X ; a fortiori sur tout segment"] S --> Q["point par point, sans controle global"] ```