Normes

#### 1. Norme sur un espace vectoriel réel ou complexe Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). Une **norme** sur $E$ est une application $N : E \to \mathbb{R}_+$ telle que : 1. $N(x) = 0 \iff x = 0$ (séparabilité) ; 2. $N(\lambda x) = |\lambda| N(x)$ pour tout $\lambda \in \mathbb{K}$ (homogénéité) ; 3. $N(x + y) \leq N(x) + N(y)$ (inégalité triangulaire). On note alors $N(x) = \|x\|$. **Normes usuelles sur $\mathbb{K}^n$** (pour $x = (x_1, \ldots, x_n)$) : $$\|x\|_1 = \sum_{i=1}^{n} |x_i|, \qquad $$ $$ \|x\|_2 = \left(\sum_{i=1}^{n} |x_i|^2\right)^{1/2}, \qquad $$ $$ \|x\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|.$$ La norme $\|\cdot\|_2$ est bien définie grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz ; l'inégalité triangulaire pour $\|\cdot\|_2$ est l'inégalité de Minkowski. #### 2. Espace vectoriel normé Un **espace vectoriel normé** est un couple $(E, \|\cdot\|)$ où $\|\cdot\|$ est une norme sur $E$. Exemples : $(\mathbb{K}^n, \|\cdot\|_1)$, $(\mathbb{K}^n, \|\cdot\|_2)$, $(\mathbb{K}^n, \|\cdot\|_\infty)$ ; $(\mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \|\cdot\|_1)$ (avec la norme vue sur $\mathbb{K}^{n^2}$) ; les espaces de polynômes ou de fonctions munis des normes ci-dessous. Un même espace vectoriel peut être muni de plusieurs normes distinctes. #### 3. Norme infinie sur un espace de fonctions bornées Sur l'espace $\mathcal{B}(X, \mathbb{K})$ des fonctions **bornées** de $X$ dans $\mathbb{K}$, la **norme infinie** (ou norme de la convergence uniforme) est $$\|f\|_\infty = \sup_{t \in X} |f(t)|.$$ Elle est bien définie car $f$ est bornée. Convergence en norme infinie = **convergence uniforme**. Exemple : $\|f\|_\infty = 1$ pour $f(t) = \sin t$ sur $\mathbb{R}$. #### 4. Norme associée à un produit scalaire (espace préhilbertien réel) Si $E$ est préhilbertien réel (muni d'un produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$), alors $$\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$$ définit une norme (positivité et séparabilité sont claires ; l'homogénéité vient de $\langle \lambda x, \lambda x \rangle = \lambda^2 \langle x, x \rangle$ ; l'inégalité triangulaire s'obtient par Cauchy-Schwarz : $\|x+y\|^2 \leq (\|x\| + \|y\|)^2$). C'est la **norme euclidienne** associée. Deux produits scalaires différents donnent deux normes différentes (sur $\mathbb{R}^n$, $\langle x, y \rangle = \sum a_i x_i y_i$ avec $a_i > 0$ donne la norme $\sqrt{\sum a_i x_i^2}$). #### 5. Utilisation de $\sup(kA) = k \sup(A)$ Pour $A \subset \mathbb{R}$ **non vide et majorée** et $k \in \mathbb{R}_+$ : $$\sup(kA) = k \sup(A), \quad \text{où } kA = \{ka \mid a \in A\}.$$ Preuve : $ka \leq k\sup(A)$ pour tout $a \in A$ donc $k\sup(A)$ majore $kA$ ; réciproquement, pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $a \in A$ avec $a > \sup(A) - \varepsilon/k$, donc $ka > k\sup(A) - \varepsilon$. **Utilisation typique** : calculer $\|\lambda f\|_\infty = \sup_t |\lambda f(t)| = |\lambda| \sup_t |f(t)| = |\lambda| \|f\|_\infty$ (homogénéité de la norme infinie sur les fonctions bornées), ou comparer des bornes supérieures dans les exercices d'encadrement. #### 6. Distance associée à une norme À toute norme $\|\cdot\|$ sur $E$, on associe la **distance** $$d(x, y) = \|x - y\|.$$ C'est une distance au sens métrique : $d(x,y) \geq 0$, $d(x,y) = 0 \iff x = y$, symétrie $d(x,y) = d(y,x)$, et inégalité triangulaire $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$ (issue de l'inégalité triangulaire de la norme). Exemple : $d_2(x, y) = \sqrt{\sum (x_i - y_i)^2}$, distance euclidienne. #### 7. Boule ouverte, boule fermée, sphère Dans $(E, \|\cdot\|)$, pour $a \in E$ et $r > 0$ : $$\text{boule ouverte } B(a, r) = \{x \in E \mid \|x - a\| < r\}, \quad \text{boule fermée } \bar{B}(a, r) = \{x \in E \mid \|x - a\| \leq r\},$$ $$\text{sphère } S(a, r) = \{x \in E \mid \|x - a\| = r\}.$$ La forme des boules **dépend de la norme** : dans $\mathbb{R}^2$, les boules unité fermées sont : - le carré incliné (losange) pour $\|\cdot\|_1$, - le disque pour $\|\cdot\|_2$, - le carré pour $\|\cdot\|_\infty$. #### 8. Partie convexe, convexité des boules Une partie $C \subset E$ est **convexe** si pour tous $x, y \in C$ et tout $t \in [0, 1]$, $tx + (1-t)y \in C$ (elle contient tous les segments $[x, y]$). **Théorème** : les boules ouvertes et fermées sont **convexes**. Preuve : soient $x, y \in B(a, r)$ et $t \in [0, 1]$ ; posons $z = tx + (1-t)y$. Alors $\|z - a\| = \|t(x - a) + (1-t)(y - a)\| $ $ \leq t\|x - a\| + (1-t)\|y - a\| < tr + (1-t)r = r$ (idem avec $\leq$ pour la boule fermée). #### 9. Partie bornée, suite bornée, fonction bornée - $A \subset E$ est **bornée** s'il existe $M \geq 0$ tel que $\|x\| \leq M$ pour tout $x \in A$ (équivalent : $A \subset B(0, M)$). - Une **suite** $(u_n)$ est bornée si $\{u_n \mid n \in \mathbb{N}\}$ est bornée : $\exists M \geq 0$, $\forall n$, $\|u_n\| \leq M$. - Une **fonction** $f : X \to E$ est bornée si $f(X)$ est une partie bornée ; à valeurs dans $\mathbb{K}$, cela s'écrit $\sup_{t \in X} |f(t)| < +\infty$. - Toute réunion finie de parties bornées est bornée ; toute partie d'une partie bornée est bornée.

Sommaire du cours

Teste-toi : 3 questions