Probabilités

#### 1. Probabilité, $\sigma$-additivité, espace probabilisé Soient $\Omega$ un univers (l'ensemble des issues) et $\mathcal{A}$ une tribu sur $\Omega$ (l'ensemble des événements). Une **probabilité** $P$ sur $(\Omega, \mathcal{A})$ est une application $P : \mathcal{A} \to [0, 1]$ telle que : 1. $P(\Omega) = 1$ ; 2. **$\sigma$-additivité** : pour toute suite $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'événements **deux à deux incompatibles** ($A_i \cap A_j = \emptyset$ si $i \neq j$) : $$P\left(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n\right) = \sum_{n \in \mathbb{N}} P(A_n).$$ Pour $A \in \mathcal{A}$, $P(A)$ est la **probabilité de l'événement $A$**. Le triplet $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ est un **espace probabilisé**. La $\sigma$-additivité généralise l'additivité finie : pour deux événements incompatibles $A, B$, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$. #### 2. Réunion, différence, contraire ; croissance Pour tous événements $A, B$ : - **Événement contraire** : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ ; - **Différence** : $P(A \setminus B) = P(A) - P(A \cap B)$ (car $A = (A \setminus B) \sqcup (A \cap B)$) ; en particulier $B \subset A \Rightarrow P(A \setminus B) = P(A) - P(B)$ ; - **Réunion** : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ (formule du crible à deux termes) ; - **Croissance** : si $A \subset B$, alors $P(A) \leq P(B)$ (car $P(B) = P(A) + P(B \setminus A) \geq P(A)$). Plus généralement $P(A \setminus B) \geq 0$ redonne la croissance. Exemple : $P(A) = 0{,}3$, $P(B) = 0{,}4$, $P(A \cap B) = 0{,}1$ donnent $P(A \cup B) = 0{,}6$, $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 0{,}4$. #### 3. Continuité croissante, continuité décroissante - **Continuité croissante** : si $(A_n)$ est une suite **croissante** d'événements ($A_n \subset A_{n+1}$), alors $$P\left(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n\right) = \lim_{n \to +\infty} P(A_n).$$ *Preuve* : poser $B_0 = A_0$, $B_n = A_n \setminus A_{n-1}$ (incompatibles) ; par $\sigma$-additivité, $P(\bigcup A_n) = \sum P(B_n) = \lim_N \sum_{n \leq N} P(B_n) = \lim_N P(A_N)$ (télescopicité via Chasles). - **Continuité décroissante** : si $(A_n)$ est **décroissante** ($A_{n+1} \subset A_n$), alors $$P\left(\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n\right) = \lim_{n \to +\infty} P(A_n).$$ *Preuve* : appliquer la continuité croissante aux complémentaires $\bar{A}_n$ (croissants) et passer au complémentaire. **Application (suite non nécessairement monotone)** : pour une suite quelconque $(A_n)$ d'événements, les suites $\left(\bigcup_{k=0}^{n} A_k\right)$ et $\left(\bigcap_{k=0}^{n} A_k\right)$ sont croissante et décroissante, donc : $$P\left(\bigcup_{k=0}^{n} A_k\right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} P\left(\bigcup_{k \in \mathbb{N}} A_k\right), \qquad P\left(\bigcap_{k=0}^{n} A_k\right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} P\left(\bigcap_{k \in \mathbb{N}} A_k\right).$$ #### 4. Sous-additivité **Théorème** : pour toute suite $(A_n)$ d'événements (pas nécessairement incompatibles) : $$P\left(\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n\right) \leq \sum_{n \in \mathbb{N}} P(A_n).$$ *Preuve* : poser $B_0 = A_0$ et $B_n = A_n \setminus (A_0 \cup \cdots \cup A_{n-1})$ : les $B_n$ sont incompatibles, de réunion $\bigcup A_n$, et $B_n \subset A_n$ donne $P(B_n) \leq P(A_n)$ (croissance) ; la $\sigma$-additivité et la comparaison des séries à termes positifs concluent. **Remarque de l'énoncé** : la série à termes positifs $\sum P(A_n)$ a toujours une somme dans $[0, +\infty]$ ; en cas de **divergence**, on convient que $\sum_n P(A_n) = +\infty$ et l'inégalité est triviale. Corollaire utile : si $\sum_n P(A_n) < +\infty$, alors $P(\bigcup_{n \geq N} A_n) \leq \sum_{n \geq N} P(A_n) \to 0$ (queue de suite négligeable). #### 5. Événement presque sûr, événement négligeable, système quasi-complet - Un événement $A$ est **presque sûr** si $P(A) = 1$ ; il est **négligeable** si $P(A) = 0$. (Par le complémentaire : $A$ presque sûr $\iff \bar{A}$ négligeable.) - **Système quasi-complet d'événements** : une suite $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'événements **deux à deux incompatibles** est un système quasi-complet si sa réunion est **presque sûre** : $$P\left(\bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} A_n\right) = 1.$$ **Conséquence (probabilités totales dénombrables)** : pour tout événement $B \in \mathcal{A}$, $$P(B) = P\left(B \cap \bigsqcup_n A_n\right) = \sum_{n \in \mathbb{N}} P(B \cap A_n),$$ et pour toute variable aléatoire, les calculs se ramènent aux contributions sur chaque $A_n$. C'est la version dénombrable du « système complet d'événements » (partition finie) de première année. *Exemple* : lancer répété d'une pièce équilibrée, $A_n$ = « les $n$ premiers lancers sont face » : $P(A_n) = 2^{-n}$. La suite est décroissante et $P(\bigcap_n A_n) = \lim 2^{-n} = 0$ (continuité décroissante) : l'événement « tous les lancers sont face » est **négligeable**. La suite $(\{$n-ième lancer est pile$\}, \{$face$\})$... plus simplement : $B_n$ = « premier face au $n$-ième lancer » forme un système quasi-complet ($P(B_n) = 2^{-n}$, $\sum P(B_n) = 1$). #### 6. Exemple récapitulatif Sur $\Omega = \mathbb{N}^*$ (lancer d'un dé équilibré jusqu'au premier $6$, $A_k$ = « premier $6$ au lancer $k$ »), $P(A_k) = \left(\frac{5}{6}\right)^{k-1}\frac{1}{6}$ : les $A_k$ forment un système quasi-complet ($\sum_k P(A_k) = 1$, géométrique). Pour $B$ = « le nombre de lancers est pair » : $P(B) = \sum_{p \geq 1} P(A_{2p}) = \sum_{p \geq 1} \left(\frac{5}{6}\right)^{2p-1} \frac{1}{6} = \frac{5}{11}$ (série géométrique de raison $\frac{25}{36}$) — calcul effectué grâce au système quasi-complet. La sous-additivité donne aussi directement $P(\bigcup_k A_{2k}) \leq \sum_k P(A_{2k})$, ici avec égalité (événements incompatibles).

#### 1. Univers, tribu, espace probabilisable - L'**univers** $\Omega$ est l'ensemble des issues (résultats) de l'expérience aléatoire. - Une **tribu** $\mathcal{A}$ sur $\Omega$ est une partie de $\mathcal{P}(\Omega)$ telle que : 1. $\Omega \in \mathcal{A}$ (donc $\emptyset \in \mathcal{A}$) ; 2. $\mathcal{A}$ est stable par **complémentaire** : $A \in \mathcal{A} \Rightarrow \bar{A} \in \mathcal{A}$ ; 3. $\mathcal{A}$ est stable par **réunion et intersection dénombrables** : pour toute suite $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de $\mathcal{A}$, $\bigcup_{n} A_n \in \mathcal{A}$ et $\bigcap_n A_n \in \mathcal{A}$. (On se limite ici à la définition et à ces stabilités par les opérations ensemblistes finies ou dénombrables.) Le couple $(\Omega, \mathcal{A})$ est un **espace probabilisable** : c'est le cadre dans lequel on définira les probabilités. - **Traduction des réalisations par les quantificateurs** : pour une suite d'événements $(A_n)$ : $$\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n = \{\omega \in \Omega \mid \exists\, n \in \mathbb{N},\, \omega \in A_n\} \quad (\text{« il existe } n \text{ tel que } A_n \text{ se réalise »}),$$ $$\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n = \{\omega \in \Omega \mid \forall\, n \in \mathbb{N},\, \omega \in A_n\} \quad (\text{« pour tout } n, \text{ } A_n \text{ se réalise »}).$$ Exemple : « obtenir au moins un $6$ en $n$ lancers » $= \bigcup_{k=1}^{n} A_k$ où $A_k$ = « le $k$-ième lancer donne $6$ » ; « obtenir que des $6$ » $= \bigcap_{k \geq 1} A_k$. #### 2. Événements Les éléments de $\mathcal{A}$ sont les **événements**. Le vocabulaire de première année se généralise au cadre dénombrable : - $\emptyset$ : événement **impossible** ; $\Omega$ : événement **certain** ; - $A \cap B = \emptyset$ : événements **incompatibles** (disjoints) ; - $A \subset B$ : $A$ **implique** $B$ ; $\bar{A}$ : événement **contraire** ; - **système complet d'événements** : partition finie $(A_1, \ldots, A_p)$ de $\Omega$ (incompatibles deux à deux, de réunion $\Omega$) — généralisé en partition **dénombrable** et, avec une réunion seulement presque sûre, en **système quasi-complet** ; - les singletons $\{\omega\}$ (lorsqu'ils sont dans $\mathcal{A}$) sont les **événements élémentaires**. #### 3. Variable aléatoire discrète **Définition** : une **variable aléatoire discrète** (VAD) $X$ est une application $X : \Omega \to E$ (où $E$ est un ensemble, typiquement $\mathbb{R}$, $\mathbb{N}$ ou un ensemble de mots) telle que : 1. $X(\Omega)$ est **au plus dénombrable** ; 2. pour tout $x \in X(\Omega)$, l'image réciproque $X^{-1}(\{x\})$ est un **événement** (élément de $\mathcal{A}$). Cette seconde condition (de « mesurabilité ») est ce qui permet de parler de la probabilité que $X$ prenne la valeur $x$. **Remarque importante** : l'univers $\Omega$ n'est **en général pas explicité** — on travaille directement avec la loi de $X$ (les valeurs $x$ et leurs probabilités) sans décrire $\Omega$ ni les $\omega$. **Notations** (pour $x \in X(\Omega)$ et $A \subset E$) : - $(X = x)$ ou $\{X = x\}$ désigne l'événement $X^{-1}(\{x\}) = \{\omega \in \Omega \mid X(\omega) = x\}$ ; - $(X \in A) = \{\omega \mid X(\omega) \in A\} = \bigsqcup_{x \in A \cap X(\Omega)} (X = x)$ (réunion dénombrable d'événements incompatibles) ; - si $X$ est à valeurs réelles : $(X \geq x) = \{\omega \mid X(\omega) \geq x\}$, et les analogues $(X > x)$, $(X \leq x)$, $(X < x)$ — tous sont des événements (réunions ou intersections dénombrables des $(X = x)$). *Exemple* : lancer de deux dés équilibrés, $X$ = somme des deux dés : $X(\Omega) = \{2, \ldots, 12\}$ est dénombrable (fini) ; $(X = 4) = X^{-1}(\{4\})$ contient les triplets... les couples $(1,3), (2,2), (3,1)$ ; $(X \geq 11) = (X = 11) \sqcup (X = 12)$ ; l'univers $\Omega = \{1, \ldots, 6\}^2$ n'a pas besoin d'être détaillé pour calculer les probabilités des $(X = x)$. #### 4. Exemple récapitulatif Dé à trois faces étiquetées $-1, 0, 1$ équilibré : $\Omega = \{-1, 0, 1\}$, $\mathcal{A} = \mathcal{P}(\Omega)$ (tribu : contient $\Omega$, stable par complémentaire et réunions dénombrables — ici trivialement car finie). $X : \Omega \to \mathbb{R}$, $X(\omega) = \omega^2$ : $X(\Omega) = \{0, 1\}$ au plus dénombrable, $X^{-1}(\{0\}) = \{0\} \in \mathcal{A}$, $X^{-1}(\{1\}) = \{-1, 1\} \in \mathcal{A}$ : $X$ est une VAD. L'événement $(X \geq 1) = \{-1, 1\} = (X = 1)$ ; la « réalisation » de $\bigcup_{n}(X = n)$ pour $n$ entier se traduit par « il existe $n$ tel que $X = n$ », ici réduit à $\{0, 1\}$.

#### 1. Ensembles (au plus) dénombrables Un ensemble $E$ est **dénombrable** s'il est en bijection avec $\mathbb{N}$, et **au plus dénombrable** s'il est en bijection avec **une partie de** $\mathbb{N}$ — autrement dit s'il peut être décrit en extension sous la forme $\{x_i \mid i \in I\}$ avec $I = \mathbb{N}$ (dénombrable) ou $I \subset \mathbb{N}$ (au plus dénombrable) et des $x_i$ **deux à deux distincts**<br> **Ensembles dénombrables** : - $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$ ($\mathbb{Z} = \{0, 1, -1, 2, -2, \ldots\}$) ; - un **produit cartésien d'un nombre fini** d'ensembles dénombrables ($\mathbb{N}^2$, $\mathbb{Z} \times \mathbb{N}$, etc. — via le codage par les nombres premiers ou le parcours en diagonale) ; - une **union au plus dénombrable d'ensembles au plus dénombrables** (par exemple $\mathbb{Q} = \bigcup_{b \geq 1} \{p/b \mid p \in \mathbb{Z}\}$) ; - toute **partie** d'un ensemble dénombrable est au plus dénombrable. *Contre-exemple (admis)* : $\mathbb{R}$ n'est pas dénombrable. <br> #### 2. Familles d'éléments de $[0, +\infty]$ : somme et sommabilité En vue de généraliser les sommes finies et les sommes de séries de réels positifs, on sait associer à **toute famille au plus dénombrable** $(x_i)_{i \in I}$ d'éléments de $[0, +\infty]$ sa somme $$\sum_{i \in I} x_i \in [0, +\infty]$$ (définie comme la somme de la série obtenue par une énumération ; pour des termes positifs, le résultat ne dépend pas de l'énumération). **Sommation par paquets** : pour tout découpage $I = \bigsqcup_{n \in \mathbb{N}} I_n$ de $I$ en paquets au plus dénombrables : $$\sum_{i \in I} x_i = \sum_{n \in \mathbb{N}} \left(\sum_{i \in I_n} x_i\right).$$ La famille $(x_i)_{i \in I}$ est dite **sommable** si $\sum_{i \in I} x_i < +\infty$. **En pratique (cas positif)** : les étudiants peuvent **découper, calculer et majorer** leurs sommes directement ; la **finitude de la somme** vaut preuve de sommabilité — pas de difficulté d'ordre ni de convergence conditionnelle dans le cas positif. *Exemple* : $\sum_{(i,j) \in \mathbb{N}^2} 2^{-(i+j)} = \sum_{i,j \geq 0} 2^{-i} 2^{-j} = \left(\sum_i 2^{-i}\right)\left(\sum_j 2^{-j}\right) = 4 < +\infty$ : la famille est sommable. #### 3. Familles sommables de nombres complexes - **Définition** : une famille $(x_i)_{i \in I}$ au plus dénombrable de nombres complexes est **sommable** si la famille positive $(|x_i|)_{i \in I}$ est sommable ($\sum_{i \in I} |x_i| < +\infty$). - **Cas $I = \mathbb{N}$** : la sommabilité de la suite $(x_n)$ équivaut à la **convergence absolue** de la série $\sum x_n$ — les deux notions coïncident. - **Domination** : si $|x_i| \leq y_i$ pour tout $i \in I$ et si $(y_i)_{i \in I}$ (à valeurs positives) est sommable, alors $(x_i)_{i \in I}$ est sommable. - **Manipulations en cas de sommabilité** : les sommes se traitent comme des sommes finies : - **croissance** : si $|x_i| \leq y_i$ avec $(y_i)$ sommable, alors $\sum_I |x_i| \leq \sum_I y_i$ ; - **linéarité** : si $(x_i)$ et $(y_i)$ sont sommables et $\lambda, \mu \in \mathbb{C}$, alors $(\lambda x_i + \mu y_i)$ est sommable et $\sum_I (\lambda x_i + \mu y_i) = \lambda \sum_I x_i + \mu \sum_I y_i$ ; - **sommation par paquets** : pour tout découpage $I = \bigsqcup_n I_n$, $\sum_{i \in I} x_i = \sum_n \sum_{i \in I_n} x_i$ (valable car la famille des modules est sommable) ; - **théorème de Fubini** (discret) : si $(x_{i,j})_{(i,j) \in \mathbb{N}^2}$ est sommable, alors $\sum_{(i,j)} x_{i,j} = \sum_i \left(\sum_j x_{i,j}\right) = \sum_j \left(\sum_i x_{i,j}\right)$ — les trois sommes coïncident ; - **produit de deux sommes** : si $(x_i)_{i \in I}$ et $(y_j)_{j \in J}$ sont sommables, alors la famille produit $(x_i y_j)_{(i,j) \in I \times J}$ est sommable et $$\left(\sum_{i \in I} x_i\right)\left(\sum_{j \in J} y_j\right) = \sum_{(i,j) \in I \times J} x_i\, y_j.$$ **Lien avec les probabilités** : si $(A_n)$ est un système quasi-complet, $P\left(\bigsqcup_n A_n\right) = \sum_n P(A_n)$ est exactement une somme de famille positive sommable (somme $= 1$). #### 4. Exemple récapitulatif Soit la famille $(x_{i,j})_{(i,j) \in \mathbb{N}^2}$ définie par $x_{i,j} = 2^{-i}\,3^{-j}$. - **Sommabilité** : $|x_{i,j}| = 2^{-i} 3^{-j}$ et $$\sum_{(i,j) \in \mathbb{N}^2} 2^{-i} 3^{-j} = \left(\sum_{i \geq 0} 2^{-i}\right) \left(\sum_{j \geq 0} 3^{-j}\right) = 2 \times \frac{3}{2} = 3 < +\infty$$ (produit de deux sommes géométriques) : la famille est **sommable**. - **Fubini** : $\sum_{(i,j)} x_{i,j} = \sum_{i \geq 0} \left(\sum_{j \geq 0} 2^{-i} 3^{-j}\right) = \sum_{i \geq 0} \frac{3}{2} \cdot 2^{-i} = 3$, et de même en sommant d'abord en $i$ : les deux ordres donnent $3$. - **Sommation par paquets** : en regroupant selon $i + j = n$ (paquets $D_n$ = diagonales), chaque paquet a pour somme $\sum_{i=0}^{n} 2^{-i} 3^{-(n-i)}$, et $\sum_n \left(\sum_{i=0}^{n} 2^{-i}3^{-(n-i)}\right) = 3$ : le découpage en diagonales donne la même somme totale.

#### 1. Loi d'une variable aléatoire discrète Soit $X$ une variable aléatoire discrète (VAD) de valeurs $x_0, x_1, \ldots$ ($X(\Omega)$ au plus dénombrable). La **loi** de $X$, notée $P_X$, est la donnée des probabilités $$P_X(x) = P(X = x) \quad \text{pour tout } x \in X(\Omega).$$ La **distribution de probabilités** $(P(X = x))_{x \in X(\Omega)}$ détermine entièrement $P_X$ : - c'est une famille **sommable** de $[0, 1]$ : $\sum_{x \in X(\Omega)} P(X = x) = 1$ ; - pour toute partie $A \subset X(\Omega)$ : $P(X \in A) = \sum_{x \in A} P(X = x)$ (sommation par paquets sur la famille sommable). **Notation** : on écrit $X \sim Y$ lorsque $X$ et $Y$ suivent la **même loi** (à valeurs dans le même ensemble, $P(X = x) = P(Y = x)$ pour tout $x$). #### 2. Variable aléatoire $f(X)$ **Théorème** : si $X$ est une VAD et $f : X(\Omega) \to \mathbb{K}$ une application quelconque, alors $f(X)$ est une **variable aléatoire discrète** (au plus dénombrable, et les images réciproques sont des événements : $f(X)^{-1}(\{y\}) = \bigsqcup_{x \in f^{-1}(\{y\})} (X = x)$, union dénombrable d'événements). **Loi de $f(X)$** : pour $y \in f(X(\Omega))$, $$P(f(X) = y) = \sum_{x \in f^{-1}(\{y\}) \cap X(\Omega)} P(X = x)$$ (sommation par paquets sur la famille sommable $(P(X=x))$). **Théorème** : si $X \sim Y$, alors $f(X) \sim f(Y)$ — la loi de $f(X)$ ne dépend que de la loi de $X$ (et de $f$), pas de l'univers. Exemple : si $X \sim Y$ à valeurs dans $\mathbb{N}$, alors $X^2 \sim Y^2$ et $e^{X}$... (selon $f$ définie sur les valeurs). #### 3. Variable géométrique de paramètre $p$ **Définition** : pour $p \in \,]0, 1[$, une VAD $X$ suit la **loi géométrique** de paramètre $p$ (noté $X \sim \mathcal{G}(p)$) si $$P(X = k) = p\,(1 - p)^{k-1} \quad \text{pour tout } k \in \mathbb{N}^*.$$ Vérifications : $\sum_{k \geq 1} p(1-p)^{k-1} = p \cdot \frac{1}{p} = 1$ (série géométrique). **Relation caractéristique** : pour tout $k \in \mathbb{N}$, $$P(X > k) = (1 - p)^k$$ (via $\sum_{j=k+1}^{+\infty} p(1-p)^{j-1}$, ou : « les $k$ premiers essais ont tous échoué »). **Interprétation** : $X$ est le **rang du premier succès** dans une suite illimitée d'**épreuves de Bernoulli indépendantes et de même paramètre $p$** (succès de probabilité $p$ à chaque épreuve) : $P(X = k)$ = succès au $k$-ième essai et échecs avant ; $P(X > k)$ = échec sur les $k$ premiers essais. #### 4. Variable de Poisson de paramètre $\lambda$ **Définition** : pour $\lambda > 0$, une VAD $X$ suit la **loi de Poisson** de paramètre $\lambda$ (noté $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$) si $$P(X = k) = e^{-\lambda}\, \frac{\lambda^k}{k!} \quad \text{pour tout } k \in \mathbb{N}.$$ Vérifications : $\sum_{k \geq 0} e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda} e^{\lambda} = 1$ (série exponentielle). **Interprétation (événements rares)** : la loi de Poisson est la **loi des événements rares** — elle approche la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p_n)$ lorsque $n \to +\infty$ et $n p_n \to \lambda$ (nombre d'occurrences d'un événement de petite probabilité parmi un grand nombre d'essais indépendants : appels téléphoniques par minute, désintégrations radioactives par seconde, fautes d'impression par page). Elle est déterminée par le seul paramètre $\lambda$ (qui est son espérance). #### 5. Couple de variables aléatoires discrètes Un **couple** $(X, Y)$ de VAD est la variable aléatoire à valeurs dans le **produit** $X(\Omega) \times Y(\Omega)$ (au plus dénombrable, produit fini de dénombrables) définie par $(X, Y)(\omega) = (X(\omega), Y(\omega))$ ; c'est bien une VAD (les images réciproques des singletons sont des événements). Notation : $$P(X = x, Y = y) = P\big((X = x) \cap (Y = y)\big) = P(\{\omega \mid X(\omega) = x \text{ et } Y(\omega) = y\}).$$ **Extension aux $n$-uplets** : $(X_1, \ldots, X_n)$ est une VAD à valeurs dans le produit des $X_i(\Omega)$, avec les notations $P(X_1 = x_1, \ldots, X_n = x_n)$. #### 6. Loi conjointe, lois marginales - **Loi conjointe** du couple $(X, Y)$ : la famille $(P(X = x, Y = y))_{(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)}$, sommable de somme $1$. - **Lois marginales** : elles se déduisent de la loi conjointe par sommation : $$P(X = x) = \sum_{y \in Y(\Omega)} P(X = x, Y = y), \qquad P(Y = y) = \sum_{x \in X(\Omega)} P(X = x, Y = y).$$ *Attention* : la connaissance des lois marginales ne suffit **pas** en général à reconstituer la loi conjointe (il faut connaître la dépendance entre $X$ et $Y$). #### 7. Loi conditionnelle de $Y$ sachant un événement $A$ Si $A$ est un événement de probabilité non nulle, la **loi conditionnelle de $Y$ sachant $A$** est $$P(Y = y \mid A) = \frac{P((Y = y) \cap A)}{P(A)} \quad \text{pour } y \in Y(\Omega),$$ qui définit bien une loi (famille sommable de somme $1$). On l'utilise notamment avec $A$ de la forme $(X = x)$ : $P(Y = y \mid X = x) = \frac{P(X = x, Y = y)}{P(X = x)}$ (si $P(X = x) > 0$). #### 8. Exemple récapitulatif Deux pièces équilibrées : $\Omega = \{P, F\}^2$, $X$ = nombre de piles, $Y$ = nombre de faces ($X + Y = 2$). Loi conjointe : $P(X = 0, Y = 2) = \frac{1}{4}$, $P(X = 1, Y = 1) = \frac{1}{2}$, $P(X = 2, Y = 0) = \frac{1}{4}$. **Marginales** : $P(X = 0) = \frac{1}{4}$, $P(X = 1) = \frac{1}{2}$, $P(X = 2) = \frac{1}{4}$ ; idem pour $Y$ ($X \sim Y$, les deux sont $\mathcal{B}(2, \frac{1}{2})$). **Loi conditionnelle** : $P(Y = 1 \mid X = 1) = \frac{P(X=1, Y=1)}{P(X=1)} = 1$ : sachant $X = 1$, $Y$ est presque sûrement $1$ (déterminée). Avec une pièce truquée, les marginales restent semblables mais la conjointe change : les marginales ne suffisent pas.

#### 1. Indépendance de deux événements **Définition** : deux événements $A$ et $B$ sont **indépendants** si $$P(A \cap B) = P(A)\, P(B).$$ **Lien avec la probabilité conditionnelle** : si $P(B) > 0$, l'indépendance de $A$ et $B$ équivaut à $$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = P(A),$$ c'est-à-dire : savoir que $B$ est réalisé **ne modifie pas** la probabilité de $A$. La définition est **symétrique** en $A$ et $B$ (alors que la conditionnelle ne l'est pas), et elle garde un sens même si $P(B) = 0$ ou $P(B) = 1$. Exemples : événements incompatibles ≠ indépendants — si $A \cap B = \emptyset$ avec $P(A), P(B) > 0$, alors $P(A \cap B) = 0 \neq P(A)P(B)$ : des événements incompatibles de probabilité non nulle sont **dépendants**. #### 2. Indépendance et passage au complémentaire **Théorème** : si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\bar{B}$ le sont aussi : $$P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)\left(1 - P(B)\right) = P(A)\,P(\bar{B}).$$ De même, $\bar{A}$ et $B$ sont indépendants, ainsi que $\bar{A}$ et $\bar{B}$ : **l'indépendance est préservée par complémentaires** (dans les quatre combinaisons). #### 3. Indépendance d'une famille finie d'événements **Définition** : les événements $A_1, \ldots, A_n$ sont (**mutuellement**) **indépendants** si pour toute **sous-famille** non vide $J \subset \{1, \ldots, n\}$ : $$P\left(\bigcap_{j \in J} A_j\right) = \prod_{j \in J} P(A_j).$$ Pour $n = 3$, cela signifie que **toutes** les relations suivantes ont lieu : $$P(A_1 \cap A_2) = P(A_1)P(A_2), \quad P(A_1 \cap A_3) = P(A_1)P(A_3), \quad P(A_2 \cap A_3) = P(A_2)P(A_3),$$ $$P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = P(A_1)P(A_2)P(A_3).$$ **Attention : l'indépendance deux à deux n'entraîne pas l'indépendance.** Contre-exemple classique : lancer d'un dé équilibré, $\Omega = \{1, 2, 3, 4\}$, avec $$A_1 = \{1, 2\}, \quad A_2 = \{1, 3\}, \quad A_3 = \{1, 4\} \quad (P(A_i) = \tfrac{1}{2}).$$ Les trois sont **deux à deux indépendants** ($P(A_i \cap A_j) = P(\{1\}) = \frac{1}{4} = P(A_i)P(A_j)$ pour $i \neq j$), mais $$P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = P(\{1\}) = \frac{1}{4} \neq \frac{1}{8} = P(A_1)P(A_2)P(A_3) :$$ ils ne sont **pas** indépendants. #### 4. Extension au cas de $n$ événements La définition de la section 3 est celle des $n$ événements indépendants ; elle implique que toute sous-famille est indépendante (au sens fort). Conséquences utiles : - si $(A_1, \ldots, A_n)$ sont indépendants, il en est de même des événements obtenus en remplaçant certains $A_i$ par leur complémentaire $\bar{A}_i$ (théorème de la section 2, itéré) ; - **épreuves de Bernoulli indépendantes** : l'indépendance des événements « succès au $i$-ième essai » donne $P(X_1 = \epsilon_1, \ldots, X_n = \epsilon_n) = \prod_{i=1}^{n} p^{\epsilon_i} (1-p)^{1-\epsilon_i}$ pour les n-uplets de réalisations — c'est le socle des lois binomiale, géométrique, etc. ; - pour une **suite infinie** d'événements, on exige l'indépendance de toute sous-famille finie (c'est ce qui fonde l'interprétation de la variable géométrique comme rang du premier succès). #### 5. Exemple récapitulatif Deux dés équilibrés : $A$ = « le premier dé donne $6$ », $B$ = « la somme vaut au moins $11$ ». $P(A) = \frac{1}{6}$, $P(B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$, $P(A \cap B) = P(\{(6,5), (6,6)\}) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$. On a $P(A)P(B) = \frac{1}{72} \neq \frac{1}{18}$ : $A$ et $B$ ne sont **pas** indépendants (savoir que $A$ est réalisé double presque la probabilité de $B$ : $P(B \mid A) = \frac{1}{3}$). En revanche, « le premier dé donne $6$ » et « le second dé donne $6$ » sont indépendants, et avec $n$ dés, les événements « le $i$-ième dé donne $6$ » ($1 \leq i \leq n$) sont mutuellement indépendants : $P(\text{tous les dés donnent } 6) = 6^{-n}$.

#### 1. Définition de la probabilité conditionnelle Soit $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ un espace probabilisé et $B$ un événement de probabilité **non nulle** ($P(B) > 0$). Pour tout événement $A$, la **probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$** est $$P(A \mid B) = P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.$$ C'est la probabilité que $A$ se réaliste, « rapportée » au nouvel univers $B$ : on refroidit l'univers en $B$. Si $P(B) = 0$, la notation $P(A \mid B)$ n'a pas de sens par cette formule. #### 2. L'application $P_B$ définit une probabilité **Théorème** : si $P(B) > 0$, l'application $P_B : \mathcal{A} \to [0, 1]$, $A \mapsto P_B(A) = P(A \mid B)$, est une **probabilité** sur $(\Omega, \mathcal{A})$ : - $P_B(\Omega) = \frac{P(\Omega \cap B)}{P(B)} = 1$ ; - **$\sigma$-additivité** : pour toute suite $(A_n)$ d'événements deux à deux incompatibles, $$P_B\left(\bigsqcup_n A_n\right) = \frac{P\left((\bigsqcup_n A_n) \cap B\right)}{P(B)} = \frac{\sum_n P(A_n \cap B)}{P(B)} = \sum_n P_B(A_n).$$ **Conséquences** : toutes les formules de la théorie des probabilités valent pour $P_B$ ($P_B(\bar{A}) = 1 - P_B(A)$, croissance, formule du crible, continuités croissante et décroissante, etc.), et deux événements indépendants au sens $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ vérifient $P(A \mid B) = P(A)$. #### 3. Formule des probabilités composées Pour tous événements $A, B$ avec $P(B) > 0$ (resp. $P(A) > 0$) : $$P(A \cap B) = P(B)\, P(A \mid B) = P(A)\, P(B \mid A).$$ **Généralisation** : pour $A_1, \ldots, A_n$ tels que $P(A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1}) > 0$, $$P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n) = P(A_1)\, P(A_2 \mid A_1)\, P(A_3 \mid A_1 \cap A_2) \cdots P(A_n \mid A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1}).$$ *Exemple* : tirages sans remise — probabilité de tirer trois boules rouges dans une urne de $5$ rouges et $5$ noires : $\frac{5}{10} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{1}{12}$. #### 4. Formule des probabilités totales **Théorème** : si $(A_n)_{n \geq 0}$ est un **système complet** (partition finie ou dénombrable de $\Omega$) ou **quasi-complet** d'événements, alors pour tout événement $B$ : $$P(B) = \sum_{n \geq 0} P(B \cap A_n) = \sum_{n \geq 0} P(B \mid A_n)\, P(A_n),$$ avec la **convention** $P(B \mid A_n)\, P(A_n) = 0$ lorsque $P(A_n) = 0$ (l'égalité $P(B \cap A_n) = P(B \mid A_n) P(A_n)$ reste vraie trivialement : les deux membres sont nuls). *Preuve* : les $B \cap A_n$ sont deux à deux incompatibles et de réunion $B$ (ou de réunion presque sûre $B$, auquel cas $B = \bigsqcup (B \cap A_n) \sqcup (B \cap N)$ avec $N$ négligeable) ; la $\sigma$-additivité donne la première égalité, et $P(B \cap A_n) = P(B \mid A_n)P(A_n)$ la seconde. C'est l'outil de base pour calculer $P(B)$ en « décomposant » selon les scénarios $A_n$. *Exemple* : deux urnes ($U_1$ : $7$ blanches, $3$ noires ; $U_2$ : $2$ blanches, $8$ noires), on choisit l'urne au hasard puis une boule : $P(\text{blanche}) = \frac{1}{2}\cdot\frac{7}{10} + \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{10} = \frac{9}{20}$. #### 5. Formule de Bayes **Théorème** : si $P(B) > 0$ et si $(A_n)$ est un système complet (ou quasi-complet), alors pour tout $k$ : $$P(A_k \mid B) = \frac{P(B \mid A_k)\, P(A_k)}{P(B)} = \frac{P(B \mid A_k)\, P(A_k)} {\sum_{n \geq 0} P(B \mid A_n)\, P(A_n)}.$$ La formule de Bayes permet d'**inverser le conditionnement** : passer des causes aux effets ($P(B \mid A_k)$) aux effets observés vers les causes ($P(A_k \mid B)$). *Exemple (test de dépistage)* : maladie touchant $1\%$ de la population ($P(M) = 0{,}01$), test positif avec probabilité $0{,}95$ si malade et probabilité $0{,}02$ si sain. Alors $$P(M \mid T_+) = \frac{0{,}95 \times 0{,}01}{0{,}95 \times 0{,}01 + 0{,}02 \times 0{,}99} \approx 0{,}324 :$$ un test positif ne signifie pas être malade avec probabilité $95\%$ — la faible prévalence domine (c'est l'erreur du procureur). #### 6. Exemple récapitulatif Urne $U_1$ : $7$ blanches, $3$ noires ; urne $U_2$ : $2$ blanches, $8$ noires. On choisit une urne au hasard ($P(U_1) = P(U_2) = \frac{1}{2}$, système complet), puis deux boules avec remise. - **Probabilités composées** : $P(\text{deux blanches et } U_1) = P(U_1)\,P(B_1|U_1)\,P(B_2|U_1, B_1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{49}{200}$. - **Probabilités totales** : $P(\text{deux blanches}) = \frac{1}{2}\left(\frac{7}{10}\right)^2 + \frac{1}{2}\left(\frac{2}{10}\right)^2 = \frac{53}{200}$. - **Bayes** : sachant que les deux boules sont blanches, la probabilité que l'urne choisie soit $U_1$ vaut $\frac{49/200}{53/200} = \frac{49}{53}$ : l'observation « deux blanches » rend $U_1$ très probable (a priori $\frac{1}{2}$).

#### 1. Indépendance de deux variables aléatoires discrètes **Définition** : deux VAD $X$ et $Y$ définies sur $\Omega$ sont **indépendantes** (noté $X \perp Y$) si, pour tout $A \subset X(\Omega)$ et tout $B \subset Y(\Omega)$, les événements $(X \in A)$ et $(Y \in B)$ sont **indépendants** : $$P((X \in A) \cap (Y \in B)) = P(X \in A)\, P(Y \in B).$$ **Caractérisation pratique** : $X \perp Y$ si et seulement si la distribution de probabilités du couple $(X, Y)$ est le **produit des distributions marginales** : $$P(X = x, Y = y) = P(X = x)\, P(Y = y) \quad \text{pour tous } x \in X(\Omega),\, y \in Y(\Omega).$$ *(sens direct immédiat ; réciproque par sommation par paquets : pour $A \subset X(\Omega)$, $P((X \in A) \cap (Y = y)) = \sum_{x \in A} P(X = x, Y = y) = P(X \in A)P(Y = y)$, puis même argument pour $B$ quelconque.)* **Extension aux $n$ variables** : $X_1, \ldots, X_n$ sont **indépendantes** si pour tous $A_i \subset X_i(\Omega)$ (ou pour tous $x_i \in X_i(\Omega)$) : $$P(X_1 \in A_1, \ldots, X_n \in A_n) = \prod_{i=1}^{n} P(X_i \in A_i), \qquad P(X_1 = x_1, \ldots, X_n = x_n) = \prod_{i=1}^{n} P(X_i = x_i).$$ Comme pour les événements, l'indépendance deux à deux ne suffit pas. #### 2. Suites de variables aléatoires indépendantes, suites i.i.d. Une suite $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de VAD est **indépendante** si toute sous-famille finie $(X_{i_1}, \ldots, X_{i_k})$ est indépendante ; elle est **i.i.d.** (**indépendantes et identiquement distribuées**) si de plus les $X_n$ ont **même loi**. **Existence** : il existe un espace probabilisé portant une suite i.i.d. de loi donnée (théorème admis) : c'est ce qui autorise la modélisation d'une infinité d'expériences indépendantes. **Modélisation du jeu de pile ou face infini** : on prend $\Omega = \{P, F\}^{\mathbb{N}}$ (l'ensemble des suites infinies de piles et de faces), muni d'une probabilité telle que pour tout mot fini $\epsilon_1, \ldots, \epsilon_n \in \{P, F\}^n$ : $$P(\text{le jeu commence par } \epsilon_1, \ldots, \epsilon_n) = 2^{-n},$$ et l'on définit $X_n(\omega) = 1$ si $\omega_n = P$, $0$ sinon : la suite $(X_n)$ est i.i.d. de loi de Bernoulli $\mathcal{B}(1/2)$. C'est le cadre du jeu de pile ou face infini (événement « le premier pile apparaît au $k$-ième lancer », « obtenir une infinité de piles », etc.). #### 3. Fonctions de variables indépendantes **Théorème** : si $X \perp Y$, alors pour toutes applications $f, g$ quelconques : $$f(X) \perp g(Y).$$ *Preuve* : $f(X)$ et $g(Y)$ sont des VAD (composition) ; pour $A' \subset f(X(\Omega))$ et $B' \subset g(Y(\Omega))$ : $$(f(X) \in A') = (X \in f^{-1}(A')), \qquad (g(Y) \in B') = (Y \in g^{-1}(B')),$$ et l'indépendance de $X$ et $Y$ appliquée aux parties $f^{-1}(A')$ et $g^{-1}(B')$ donne l'indépendance. En particulier si $X \perp Y$ alors $X^2 \perp Y^2$, $\ln|X| \perp \ldots$, etc. #### 4. Lemme des coalitions **Théorème** : si les variables aléatoires $X_1, \ldots, X_n$ sont indépendantes, alors pour tout découpage en deux blocs, les variables $$f(X_1, \ldots, X_m) \quad \text{et} \quad g(X_{m+1}, \ldots, X_n)$$ sont **indépendantes** (pour toutes applications $f$, $g$). *Preuve* : on introduit la variable $Z_1 = (X_1, \ldots, X_m)$ (couple n-uplet, VAD à valeurs dans le produit dénombrable) et $Z_2 = (X_{m+1}, \ldots, X_n)$ ; l'indépendance des $X_i$ donne $P(Z_1 \in C_1, Z_2 \in C_2) = P(Z_1 \in C_1)P(Z_2 \in C_2)$ pour tous $C_1, C_2$ (produit des probabilités par factorisation), donc $Z_1 \perp Z_2$, et l'on conclut par la section 3. **Extensions** : - à **plus de deux coalitions** : les $k$ blocs $(X_1, \ldots, X_{m_1})$, $(X_{m_1+1}, \ldots, X_{m_2})$, \ldots, $(X_{m_{k-1}+1}, \ldots, X_n)$ sont mutuellement indépendants ; - à **plus de deux variables** : en particulier $X_1 + X_2 \perp X_3$, $\max(X_1, X_2) \perp \min(X_3, X_4)$, etc. dès que les blocs portent sur des variables indépendantes distinctes. #### 5. Exemple récapitulatif Dans le jeu de pile ou face infini, soit $(X_n)$ i.i.d. de Bernoulli $\mathcal{B}(1/2)$ ($X_n = 1$ si pile au $n$-ième lancer). Alors : - $S_2 = X_1 + X_2$ (nombre de piles dans les deux premiers lancers) et $S'_2 = X_3 + X_4$ sont indépendantes (lemme des coalitions, blocs $\{1,2\}$ et $\{3,4\}$) ; - de même $S_2 \perp X_5$ ; et pour toute fonction $f$ (par exemple $f = $ « nombre de transitions $P \to F$ » sur un mot fini), $f(X_1, \ldots, X_{10}) \perp g(X_{11}, X_{12}, \ldots)$ ; - le rang du premier pile, $T = \min\{n \geq 1 \mid X_n = 1\}$, suit la loi géométrique $\mathcal{G}(1/2)$, et les événements « $X_n = 1$ » pour $n > T$ restent indépendants de $T$ ( propriété de régénération).

#### 1. Espérance d'une VAD positive Pour une VAD $X$ à valeurs dans $[0, +\infty]$ (au plus dénombrables), on définit $$E(X) = \sum_{x \in X(\Omega)} x\, P(X = x) \;\in\; [0, +\infty],$$ avec la **convention** $x\,P(X = x) = 0$ lorsque $x = +\infty$ et $P(X = +\infty) = 0$. La somme est celle d'une famille positive (bien définie, indépendante de l'ordre). $E(X)$ peut être **infinie** même si $X$ ne prend jamais la valeur $+\infty$. #### 2. Espérance finie, variable centrée Une VAD $X$ à valeurs réelles (resp. complexes) est **d'espérance finie** si la famille $\big(x\,P(X = x)\big)_{x \in X(\Omega)}$ est **sommable**. Dans ce cas, la somme de cette famille est l'**espérance** de $X$ : $$E(X) = \sum_{x \in X(\Omega)} x\, P(X = x) \in \mathbb{K}.$$ Pour $X$ réelle, cela signifie $\sum_x |x| P(X = x) < +\infty$. On dit que $X$ est **centrée** si $E(X) = 0$. *Attention* : $E(X)$ finie n'entraîne pas $E(X^2)$ finie. #### 3. Relation $E(X) = \sum_{n \geq 1} P(X \geq n)$ pour $X \in \mathbb{N} \cup \{+\infty\}$ **Théorème** : si $X$ est une VAD positive à valeurs dans $\mathbb{N} \cup \{+\infty\}$, alors $$E(X) = \sum_{n=1}^{+\infty} P(X \geq n).$$ *Preuve* : les deux membres valent $\sum_{n \geq 1} \sum_{k \geq n} P(X = k)$ (avec $n \leq X(\omega)$ compté par les $n$)... en sommant par **paquets diagonaux** sur la famille positive $(P(X = k))$ : $$\sum_{n \geq 1} P(X \geq n) = \sum_{n \geq 1} \sum_{k \geq n} P(X = k) = \sum_{k \geq 1} k\,P(X = k) = E(X),$$ l'égalité $\sum_{k \geq 1} k\, \mathbb{1}_{k \geq n} = k$ justifiant le regroupement (cas positif : tout est permis). Si $X$ peut prendre la valeur $+\infty$ avec $P(X = +\infty) > 0$, les deux membres valent $+\infty$. #### 4. Espérance des variables géométrique et de Poisson - **Géométrique** : si $X \sim \mathcal{G}(p)$, alors $E(X) = \frac{1}{p}$. Preuve via la relation caractéristique : $E(X) = \sum_{n \geq 1} P(X \geq n) = \sum_{n \geq 1} (1-p)^n = \frac{1-p}{p} \cdot \frac{1}{1-(1-p)}$... plus précisément $\sum_{n \geq 1} (1-p)^n = \frac{1}{p}$ (série géométrique de raison $1 - p < 1$). - **Poisson** : si $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$, alors $E(X) = \lambda$ : $$E(X) = \sum_{k \geq 0} k\, e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda} \sum_{k \geq 1} \frac{\lambda^k}{(k-1)!} = \lambda\, e^{-\lambda} \sum_{j \geq 0} \frac{\lambda^j}{j!} = \lambda.$$ (Pour $k = 0$ le terme est nul ; changement d'indice $j = k - 1$.) #### 5. Formule de transfert **Théorème** : soit $X$ une VAD et $f : X(\Omega) \to \mathbb{K}$ une application. Alors $f(X)$ est **d'espérance finie** si et seulement si la famille $\big(f(x)\,P(X = x)\big)_{x \in X(\Omega)}$ est **sommable**. Dans ce cas : $$E(f(X)) = \sum_{x \in X(\Omega)} f(x)\, P(X = x).$$ La formule s'applique **aux couples et aux $n$-uplets** : si $(X, Y)$ est un couple de VAD et $g : X(\Omega) \times Y(\Omega) \to \mathbb{K}$, alors $$E(g(X, Y)) = \sum_{(x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)} g(x, y)\, P(X = x, Y = y)$$ lorsque la famille correspondante est sommable (par exemple si $g \geq 0$, ou par domination). C'est la formule de travail pour calculer espérances de transformations, variances, covariances. #### 6. Linéarité de l'espérance **Théorème** : si $X$ et $Y$ sont des VAD **d'espérance finie** (réelles ou complexes) et $\lambda \in \mathbb{K}$, alors $X + \lambda Y$ est d'espérance finie et $$E(X + \lambda Y) = E(X) + \lambda\, E(Y).$$ *Preuve* : par sommabilité de $\big(x P(X=x)\big)$ et $\big(y P(Y=y)\big)$, la famille $\big((x + \lambda y) P(X = x, Y = y)\big)$ est sommable (domination par $|x|P(X=x,Y=y) + |\lambda||y|P(\ldots)$ et Fubini sur les marginales), et la somme se factorise. **Domination** : si $|X| \leq Y$ (inégalité presque sûre) et $E(Y) < +\infty$ avec $Y \geq 0$, alors $X$ est **d'espérance finie** et $|E(X)| \leq E(|X|) \leq E(Y)$ (sommabilité par domination des familles). #### 7. Positivité, croissance ; espérance nulle **Théorème** : - **Positivité** : si $X \geq 0$ (a.s.), alors $E(X) \geq 0$ ; - **Croissance** : si $X \leq Y$ et $X, Y$ d'espérances finies, alors $E(X) \leq E(Y)$ ; - **Espérance nulle** : si $X$ est **positive** et $E(X) = 0$, alors $(X = 0)$ est **presque sûr**. *Preuve du dernier point* : si $P(X > 0) > 0$, alors il existe $k \geq 1$ tel que $P(X \geq \frac{1}{k}) > 0$ (sinon $P(X > 0) = \lim_m P(X \geq \frac{1}{m}) = 0$, continuité croissante en $-\frac{1}{m}$), et $$E(X) \geq \sum_{x \geq 1/k} x\,P(X = x) \geq \frac{1}{k}\, P\left(X \geq \frac{1}{k}\right) > 0,$$ contradiction. Corollaire : $|E(X)| \leq E(|X|)$ avec égalité ssi $X$ est de signe constant (a.s.), et $E(|X|) = 0 \iff X = 0$ (a.s.). #### 8. Indépendance et produit **Théorème** : si $X$ et $Y$ sont des VAD **indépendantes** et **d'espérance finie**, alors $XY$ est d'**espérance finie** et $$E(XY) = E(X)\, E(Y).$$ *Preuve (idée)* : la famille $\big(x y\, P(X = x, Y = y)\big) = \big(x y\, P(X=x)P(Y=y)\big)$ est sommable comme **produit de deux sommes** ($\sum_{x,y} |x||y|P(X=x)P(Y=y) = E(|X|)E(|Y|) < +\infty$), et la somme se factorise : $E(XY) = \left(\sum_x xP(X=x)\right)\left(\sum_y yP(Y=y)\right)$ (produit de deux sommes sommables). **Attention** : la réciproque est fausse — $E(XY) = E(X)E(Y)$ n'implique pas l'indépendance (la nullité de la covariance ne suffit pas). **Extension à $n$ variables** : si $X_1, \ldots, X_n$ sont indépendantes d'espérances finies, alors $E(X_1 \cdots X_n) = E(X_1) \cdots E(X_n)$ (récurrence et lemme des coalitions). #### 9. Exemple récapitulatif Deux dés équilibrés **indépendants** : $X$ et $Y$ uniformes sur $\{1, \ldots, 6\}$, $E(X) = E(Y) = \frac{7}{2}$ (formule de transfert). Alors : - $E(X + 2Y) = E(X) + 2E(Y) = \frac{21}{2}$ (linéarité, sans hypothèse d'indépendance) ; - $E(XY) = E(X)E(Y) = \frac{49}{4}$ (indépendance ; par transfert sur le couple : $\sum_{x,y} \frac{xy}{36} = \left(\frac{21}{6}\right)^2$) ; - $E(|X - Y|) = \frac{35}{18}$ par transfert sur le couple (les valeurs $|x - y|$ pondérées par $\frac{1}{36}$).

#### 1. De $X^2$ d'espérance finie à $X$ d'espérance finie **Théorème** : si $X$ est une VAD réelle telle que $X^2$ soit d'**espérance finie**, alors $X$ est d'**espérance finie**. *Preuve* : pour tout réel $x$, $|x| \leq \frac{x^2 + 1}{2}$ (car $x^2 - 2|x| + 1 = (|x| - 1)^2 \geq 0$). Par la formule de transfert appliquée à $f(t) = \frac{t^2 + 1}{2}$ : $E(|X|) \leq \frac{E(X^2) + 1}{2} < +\infty$. La réciproque est **fausse** ($X$ d'espérance finie n'a pas forcément $X^2$ d'espérance finie). #### 2. Inégalité de Cauchy-Schwarz **Théorème** : si $X^2$ et $Y^2$ sont d'**espérance finie**, alors $XY$ est aussi d'espérance finie et $$\big(E(XY)\big)^2 \leq E(X^2)\, E(Y^2).$$ *Preuve (idée)* : le polynôme en $\lambda$, $E((X + \lambda Y)^2) = E(X^2) + 2\lambda E(XY) + \lambda^2 E(Y^2) \geq 0$, a un discriminant $\leq 0$ (traiter d'abord le cas $E(Y^2) > 0$, puis conclure si $E(Y^2) = 0$ que $Y = 0$ a.s. et $XY = 0$). **Cas d'égalité** : il y a égalité si et seulement si $X$ et $Y$ sont **linéairement liées** (il existe $(a, b) \neq (0,0)$ avec $aX = bY$ presque sûrement) — le polynôme admet une racine double réelle dans ce cas. Corollaire : $|XY| \leq \frac{X^2 + Y^2}{2}$ (borne grossière) et $E(XY)^2$ est finie dès que les carrés le sont. #### 3. Variance, écart type, variable réduite Pour $X$ réelle telle que $X^2$ soit d'espérance finie (on dit que $X$ est de **carré sommable**) : $$V(X) = E\left((X - E(X))^2\right) = E(X^2) - E(X)^2 \;\geq\; 0, \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}.$$ *Preuve de la relation* : $V(X) = E(X^2 - 2E(X)X + E(X)^2) = E(X^2) - 2E(X)E(X) + E(X)^2$ par linéarité (les constantes $E(X)$ sortent de l'espérance). **Notations** : $V(X)$, $\sigma(X)$. La variance mesure la **dispersion** de $X$ autour de son espérance ; c'est l'espérance du carré de la variable **centrée** $X - E(X)$, qui est elle-même de carré sommable si $X$ l'est. #### 4. Variance d'une transformation affine ; variable centrée réduite **Théorème** : pour $a, b \in \mathbb{R}$ (avec $X$ de carré sommable) : $$V(aX + b) = a^2\, V(X).$$ *Preuve* : $E(aX + b) = aE(X) + b$, donc $aX + b - E(aX + b) = a(X - E(X))$ et $V(aX+b) = E(a^2 (X - E(X))^2) = a^2 V(X)$. Conséquences : $V(b) = 0$ pour une constante ; $V(-X) = V(X)$. **Variable centrée réduite** : si $\sigma(X) > 0$, la variable $$X^* = \frac{X - E(X)}{\sigma(X)}$$ est **centrée** ($E(X^*) = 0$) et **réduite** ($V(X^*) = 1$, car $V(X^*) = \frac{1}{\sigma(X)^2} V(X) = 1$). #### 5. Variance des lois géométrique et de Poisson - **Géométrique** : si $X \sim \mathcal{G}(p)$, alors $E(X) = \frac{1}{p}$ et $E(X^2) = \frac{2 - p}{p^2}$ (par formule de transfert et sommation par paquets / dérivation de la série génératrice), d'où $$V(X) = \frac{2 - p}{p^2} - \frac{1}{p^2} = \frac{1 - p}{p^2}, \qquad \sigma(X) = \frac{\sqrt{1 - p}}{p}.$$ - **Poisson** : si $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$, alors $E(X) = \lambda$ et $E(X(X-1)) = \lambda^2$ (formule de transfert : $\sum_{k \geq 2} k(k-1) e^{-\lambda} \lambda^k / k! = \lambda^2 \sum_{j \geq 0} e^{-\lambda} \lambda^j / j! = \lambda^2$), donc $$V(X) = E(X(X-1)) + E(X) - E(X)^2 = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda :$$ pour une loi de Poisson, **l'espérance et la variance valent toutes deux $\lambda$**. #### 6. Covariance de deux variables aléatoires Pour $X, Y$ réelles de carrés sommables, la **covariance** est $$\mathrm{Cov}(X, Y) = E\left((X - E(X))(Y - E(Y))\right).$$ Elle est bien définie (Cauchy-Schwarz garantit que $(X - E(X))(Y - E(Y))$ est d'espérance finie), et elle est **bilinéaire** : $$\mathrm{Cov}(X_1 + X_2, Y) = \mathrm{Cov}(X_1, Y) + \mathrm{Cov}(X_2, Y), \qquad \mathrm{Cov}(\lambda X, Y) = \lambda\, \mathrm{Cov}(X, Y),$$ symétrique ($\mathrm{Cov}(X, Y) = \mathrm{Cov}(Y, X)$), et $\mathrm{Cov}(X, X) = V(X)$. Interprétation : mesure la dépendance **linéaire** entre $X$ et $Y$ (positive : elles varient dans le même sens). #### 7. Relation $\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$ ; cas indépendant **Théorème** : si $X, Y$ sont de carrés sommables, $$\mathrm{Cov}(X, Y) = E(XY) - E(X)\, E(Y).$$ *Preuve* : développer $E((X - E(X))(Y - E(Y))) = E(XY) - E(X)E(Y) - E(X)E(Y) + E(X)E(Y)$ par linéarité. **Cas des variables indépendantes** : si $X \perp Y$, alors $E(XY) = E(X)E(Y)$ (théorème sur les variables indépendantes), donc $$X \perp Y \implies \mathrm{Cov}(X, Y) = 0.$$ **Attention** : la réciproque est **fausse** — une covariance nulle (décorrélation) n'implique pas l'indépendance (exemple : $X$ uniforme sur $\{-1, 0, 1\}$, $Y = X^2$ : $\mathrm{Cov}(X, Y) = E(X^3) - E(X)E(X^2) = 0$, mais $Y$ est fonction de $X$, donc fortement dépendante). #### 8. Variance d'une somme finie **Théorème** : pour $X_1, \ldots, X_n$ réelles de carrés sommables : $$V\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \sum_{i=1}^{n} V(X_i) + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} \mathrm{Cov}(X_i, X_j).$$ *Preuve* : par bilinéarité de la covariance, $V(\sum X_i) = \mathrm{Cov}(\sum X_i, \sum X_j) = \sum_{i,j} \mathrm{Cov}(X_i, X_j)$ ; les termes diagonaux donnent les variances, les termes croisés se regroupent deux à deux par symétrie. **Cas des variables deux à deux indépendantes** (ou simplement deux à deux non corrélées, $\mathrm{Cov}(X_i, X_j) = 0$) : $$V\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \sum_{i=1}^{n} V(X_i).$$ *Application* : si $X_i$ sont des Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ **indépendantes**, $S_n = \sum X_i \sim \mathcal{B}(n, p)$ et $V(S_n) = n\, p(1 - p)$ — la variance de la binomiale. De même $V(\text{moyenne empirique}) = \frac{V(X)}{n}$ : la moyenne se concentre autour de l'espérance (germe de la loi des grands nombres). #### 9. Exemple récapitulatif Soient $X$ et $Y$ les résultats de deux dés équilibrés **indépendants** ($E(X) = E(Y) = \frac{7}{2}$, $V(X) = V(Y) = E(X^2) - \frac{49}{4} = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12}$). - $V(X + Y) = V(X) + V(Y) = \frac{35}{6}$ (indépendance) ; - $V(2X - 3) = 4\,V(X) = \frac{35}{3}$ ; - $\mathrm{Cov}(X, Y) = 0$ (indépendance) et $\mathrm{Cov}(X, X) = V(X) = \frac{35}{12}$ ; - $X^* = \frac{X - 7/2}{\sqrt{35/12}}$ est centrée réduite.

#### 1. Inégalité de Markov **Théorème** : soit $X$ une VAD **positive** (a.s.) d'espérance finie $E(X)$. Alors, pour tout $c > 0$ : $$P(X \geq c) \;\leq\; \frac{E(X)}{c}.$$ *Preuve* : sur l'événement $(X \geq c)$, on a $c\,\mathbb{1}_{(X \geq c)} \leq X$ (et l'inégalité reste vraie ailleurs car le membre de gauche est nul). Par **croissance de l'espérance** : $$c\,P(X \geq c) = E\big(c\,\mathbb{1}_{(X \geq c)}\big) \leq E(X).$$ La borne ne nécessite que $E(X)$ (pas de variance) ; elle est utile pour majorer la probabilité de grandes valeurs d'une variable positive dont on ne connaît que l'espérance. Exemple : $E(X) = 1$ donne $P(X \geq 100) \leq \frac{1}{100}$. *Variante* : pour $X$ quelconque et $c > 0$ : $P(|X| \geq c) \leq \frac{E(|X|)}{c}$. #### 2. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev **Théorème** : soit $X$ une VAD de **carré sommable** ($E(X^2) < +\infty$). Alors, pour tout $c > 0$ : $$P\big(|X - E(X)| \geq c\big) \;\leq\; \frac{V(X)}{c^2}.$$ *Preuve* : on applique l'inégalité de Markov à la variable **positive** $Y = (X - E(X))^2$ avec $c^2$ : $$P\big(|X - E(X)| \geq c\big) = P\big((X - E(X))^2 \geq c^2\big) \leq \frac{E\big((X - E(X))^2\big)}{c^2} = \frac{V(X)}{c^2}.$$ **Interprétation** : la probabilité que $X$ s'écarte de son espérance de plus de $c$ est majorée par le quotient de sa variance par $c^2$ — une variable de faible variance est **concentrée** autour de son espérance. *Attention* : la version avec inégalité stricte $P(|X - E(X)| > c) \leq \frac{V(X)}{c^2}$ est également vraie (même démonstration). #### 3. Loi faible des grands nombres **Théorème (loi faible des grands nombres)** : soit $(X_n)_{n \geq 1}$ une suite de variables aléatoires **i.i.d.** (indépendantes et identiquement distribuées) de **variance finie**. On note $$S_n = \sum_{k=1}^{n} X_k, \qquad m = E(X_1).$$ Alors, pour tout $\varepsilon > 0$ : $$P\left(\left|\frac{S_n}{n} - m\right| \geq \varepsilon\right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0.$$ La **moyenne empirique** $\frac{S_n}{n}$ converge en probabilité vers l'espérance commune $m$. **Retrouver la borne explicite** : la variable $\frac{S_n}{n}$ a pour espérance $$E\left(\frac{S_n}{n}\right) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} E(X_k) = m$$ (linéarité, sans hypothèse d'indépendance), et pour variance $$V\left(\frac{S_n}{n}\right) = \frac{1}{n^2} V(S_n) = \frac{n\, \sigma^2}{n^2} = \frac{\sigma^2}{n},$$ où $\sigma = \sigma(X_1)$ : la linéarité de la variance avec le terme croisé nul exige l'**indépendance** (ou au minimum la non-corrélation deux à deux) des $X_k$. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à $\frac{S_n}{n}$ donne alors, pour tout $\varepsilon > 0$ : $$\boxed{\;P\left(\left|\frac{S_n}{n} - m\right| \geq \varepsilon\right) \;\leq\; \frac{\sigma^2}{n\,\varepsilon^2}\;}$$ qui tend vers $0$ quand $n \to +\infty$, ce qui prouve la loi faible des grands nombres. **Interprétation** : en répétant $n$ fois la même expérience, la fréquence (ou la moyenne) observée se concentre autour de l'espérance théorique — c'est le fondement de l'**ajustement expérimental** des probabilités (avec des bornes quantitatives : par exemple, pour une pièce équilibrée ($m = \frac{1}{2}$, $\sigma^2 = \frac{1}{4}$), la probabilité que la fréquence de pile s'écarte de $\frac{1}{2}$ de plus de $0{,}01$ est majorée par $\frac{2500}{n}$). #### 4. Exemple récapitulatif Dé équilibré : $X_1, \ldots, X_n$ i.i.d. uniformes sur $\{1, \ldots, 6\}$, avec $m = E(X_1) = \frac{7}{2}$ et $\sigma^2 = V(X_1) = \frac{35}{12}$. - Loi faible des grands nombres : $\frac{S_n}{n} \to \frac{7}{2}$ en probabilité. - Borne explicite : $P\left(\left|\frac{S_n}{n} - \frac{7}{2}\right| \geq 1\right) \leq \frac{35/12}{n} = \frac{35}{12\,n}$ ; pour $n = 350$ : au plus $\frac{1}{120} \approx 0{,}8\%$. - Comparaison : la majoration est grossière mais **quantitative** et ne requiert que la variance.

#### 1. Définition, rayon, convergence normale, continuité Soit $X$ une VAD **à valeurs dans $\mathbb{N}$**. Sa **fonction génératrice** est $$G_X(t) = E\left(t^X\right) = \sum_{n \geq 0} P(X = n)\, t^n \qquad (t \in \mathbb{R}),$$ la dernière égalité venant de la **formule de transfert** (pour $t$ tel que la famille $(t^n P(X = n))$ soit sommable ; pour $|t| \leq 1$ elle l'est toujours). **Propriétés** : - c'est une série entière dont les coefficients vérifient $0 \leq P(X = n) \leq 1$ : son rayon de convergence $R$ vérifie $R \geq 1$ ; - elle **converge normalement sur $[-1, 1]$** : $\sum_n |P(X = n)| \cdot |t|^n \leq \sum_n P(X = n) = 1$ pour $|t| \leq 1$ ; - par conséquent $G_X$ est **continue sur $[-1, 1]$** (limite uniforme de polynômes), et même de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $]-1, 1[$. #### 2. Fonctions génératrices des lois usuelles - **Bernoulli** $\mathcal{B}(p)$ : $X \in \{0, 1\}$, donc $G_X(t) = P(X = 0) + t\,P(X = 1) = 1 - p + p\,t$ (polynôme de degré $1$). - **Binomiale** $\mathcal{B}(n, p)$ : par le binôme de Newton, $$G_X(t) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} t^k = \left((1 - p) + p\,t\right)^n.$$ - **Géométrique** $\mathcal{G}(p)$ : $G_X(t) = \sum_{k \geq 1} p(1-p)^{k-1} t^k = \frac{p\,t}{1 - (1 - p)\,t}$ pour $|t| < \frac{1}{1-p}$ (rayon $\frac{1}{1-p} > 1$). - **Poisson** $\mathcal{P}(\lambda)$ : $G_X(t) = \sum_{k \geq 0} e^{-\lambda} \frac{(\lambda t)^k}{k!} = e^{\lambda(t - 1)}$ (rayon $+\infty$). #### 3. La fonction génératrice caractérise la loi **Théorème** : la loi d'une VAD $X$ à valeurs dans $\mathbb{N}$ est **caractérisée** par sa fonction génératrice : si $X$ et $Y$ sont deux VAD à valeurs dans $\mathbb{N}$ et si $G_X = G_Y$ sur un intervalle ouvert contenant $0$ (par exemple sur $]-1, 1[$), alors $X \sim Y$. *Preuve* : deux séries entières égales au voisinage de $0$ ont des coefficients égaux (unicité du développement en série entière) : $P(X = n) = P(Y = n)$ pour tout $n$. Conséquence pratique : pour montrer qu'une variable suit une loi usuelle, il suffit d'identifier sa fonction génératrice à celle de la loi usuelle. #### 4. Espérance et variance via $G_X$ **Théorème (espérance)** : $X$ est **d'espérance finie** si et seulement si $G_X$ est **dérivable en $1$** (limite à gauche du taux d'accroissement finie). Dans ce cas : $$E(X) = G_X'(1) \qquad \left(G_X'(1) = \lim_{t \to 1^-} \frac{G_X(t) - G_X(1)}{t - 1} = \sum_{n \geq 1} n\,P(X = n)\right).$$ *Preuve (idée)* : sur tout $[0, r]$ avec $r < 1$, la série dérivée $\sum n P(X = n) t^{n-1}$ converge normalement ; la dérivation terme à terme donne $G_X'(t) = \sum n P(X=n) t^{n-1}$ pour $t \in [0, 1[$, et $G_X'(1^-) = E(X)$ par convergence croissante de la série des termes positifs $n P(X = n)$ vers $E(X)$ (cas positif, tout est permis). **Utilisation pour $V(X)$** : par la formule de transfert, $G_X''(1) = E(X(X - 1))$ lorsque $X^2$ est sommable, d'où $$V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = G_X''(1) + G_X'(1) - \big(G_X'(1)\big)^2.$$ **Vérifications** : $\mathcal{P}(\lambda)$ : $G_X'(t) = \lambda e^{\lambda(t-1)}$, $G_X''(t) = \lambda^2 e^{\lambda(t-1)}$, donc $E(X) = \lambda$ et $V(X) = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda$ ; $\mathcal{B}(n, p)$ : $G'(1) = np$, $G''(1) = n(n-1)p^2$, donc $V(X) = n(n-1)p^2 + np - n^2p^2 = np(1-p)$. #### 5. Fonction génératrice d'une somme de variables indépendantes **Théorème** : si $X$ et $Y$ sont des VAD à valeurs dans $\mathbb{N}$ **indépendantes**, alors $$G_{X + Y}(t) = G_X(t)\, G_Y(t) \qquad (\text{au moins pour } |t| \leq 1).$$ *Preuve* : par indépendance, $E(t^{X + Y}) = E(t^X\, t^Y) = E(t^X)\,E(t^Y)$ (le théorème $E(XY) = E(X)E(Y)$ pour variables indépendantes s'applique aux variables $t^X$ et $t^Y$ bornées) ; on retrouve aussi le produit de Cauchy des séries entières $\sum_n P(X=n)t^n \sum_m P(Y=m)t^m$. **Extension** : pour $X_1, \ldots, X_k$ indépendantes à valeurs dans $\mathbb{N}$ : $$G_{X_1 + \cdots + X_k}(t) = \prod_{i=1}^{k} G_{X_i}(t).$$ **Application (stabilité des lois)** : la somme de $n$ Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ indépendantes a pour fonction génératrice $(1 - p + pt)^n$ : c'est une **binomiale** $\mathcal{B}(n, p)$ ; la somme de $k$ Poisson $\mathcal{P}(\lambda_i)$ indépendantes a pour fonction génératrice $e^{(\sum \lambda_i)(t-1)}$ : c'est une **Poisson** $\mathcal{P}(\sum \lambda_i)$. #### 6. Exemple récapitulatif Soit $(X_k)_{1 \leq k \leq n}$ une suite i.i.d. de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ et $S_n = X_1 + \cdots + X_n$. - **Fonction génératrice** : chaque $G_{X_k}(t) = 1 - p + pt$, donc par indépendance $G_{S_n}(t) = (1 - p + pt)^n$ : par caractérisation, $S_n \sim \mathcal{B}(n, p)$. - **Espérance** : $G_{S_n}'(t) = np(1 - p + pt)^{n-1}$ donne $E(S_n) = np$. - **Variance** : $G_{S_n}''(t) = n(n-1)p^2(1 - p + pt)^{n-2}$ donne $E(S_n(S_n - 1)) = n(n-1)p^2$ et $V(S_n) = n(n-1)p^2 + np - n^2p^2 = np(1-p)$. - **Limite de Poisson** : si $n \to +\infty$ et $p \to 0$ avec $np \to \lambda$, alors $G_{S_n}(t) = (1 + \frac{\lambda(t-1) + o(1)}{n})^n \to e^{\lambda(t-1)} = G_{\mathcal{P}(\lambda)} (t)$ : $S_n$ converge en loi vers $\mathcal{P}(\lambda)$ (loi des événements rares).

#### 1. Définition ; convention Soit $B$ un événement de probabilité **non nulle** ($P(B) > 0$). La **probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$** est définie par $$P(A \mid B) = P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.$$ C'est la probabilité que $A$ se réalise « vu que $B$ s'est réalisé » (l'univers est restreint à $B$). **Convention** : par convention, $P(A \mid B)\,P(B) = 0$ lorsque $P(B) = 0$ — autrement dit, le produit $P(A \mid B)\,P(B)$ vaut toujours $P(A \cap B)$, même si $P(B) = 0$. #### 2. $P_B$ est une probabilité Pour $P(B) > 0$, l'application $P_B : A \mapsto P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ est une **probabilité** sur $\Omega$ : - $P_B(\Omega) = \dfrac{P(\Omega \cap B)}{P(B)} = \dfrac{P(B)}{P(B)} = 1$ ; - $P_B$ est additive sur les événements disjoints (la division par $P(B)$ conserve l'additivité). Elle se représente comme une probabilité sur l'univers **restreint** à $B$ : les issues de $B$, renormalisées par $P(B)$. #### 3. Probabilités composées La définition se réécrit sous la forme (**probabilités composées**) : $$P(A \cap B) = P(B)\, P(A \mid B),$$ et, en généralisant à trois événements (on part de l'événement « le plus tôt ») : $$P(A \cap B \cap C) = P(A)\, P(B \mid A)\, P(C \mid A \cap B).$$ #### 4. Formule des probabilités totales Si $(B_1, \ldots, B_r)$ est un **système complet** d'événements de probabilités non nulles, alors pour tout événement $A$ : $$P(A) = \sum_{i=1}^{r} P(A \cap B_i) = \sum_{i=1}^{r} P(B_i)\, P(A \mid B_i).$$ On découpe $A$ selon les branches du système complet et on pondère chaque branche par sa probabilité. #### 5. Formule de Bayes Pour $P(A) > 0$ et $P(B) > 0$ : $$P(B \mid A) = \frac{P(A \mid B)\, P(B)}{P(A)}.$$ Avec un système complet $(B_1, \ldots, B_r)$ et $P(A) > 0$ : $$P(B_i \mid A) = \frac{P(A \mid B_i)\, P(B_i)}{\displaystyle\sum_{j=1}^{r} P(A \mid B_j)\, P(B_j)},$$ ce qui permet d'« inverser » le conditionnement (des causes vers les effets et retour).

#### 1. Définition Les variables aléatoires $X$ et $Y$, définies sur $\Omega$ et à valeurs dans $E$ et $F$, sont **indépendantes** si pour tous $A \subset E$ et $B \subset F$, les événements $(X \in A)$ et $(Y \in B)$ sont **indépendants** : $$P\big((X \in A) \cap (Y \in B)\big) = P(X \in A)\, P(Y \in B).$$ On le note simplement « $X$ et $Y$ sont indépendantes ». #### 2. Équivalence par la loi conjointe Il suffit de tester les singletons : $X$ et $Y$ sont indépendantes **si et seulement si** la loi conjointe **se factorise** : $$P\big((X, Y) = (x, y)\big) = P(X = x)\, P(Y = y) \qquad \forall (x, y) \in E \times F.$$ C'est la caractérisation pratique : la distribution conjointe est le **produit** des lois marginales. #### 3. Extension aux $n$-uplets ; expériences répétées Les variables $X_1, \ldots, X_n$ sont **indépendantes** si, pour tous $x_1, \ldots, x_n$, $$P(X_1 = x_1, \ldots, X_n = x_n) = P(X_1 = x_1) \cdots P(X_n = x_n).$$ Cela permet de **modéliser $n$ expériences aléatoires indépendantes** par une suite finie $(X_i)_{1 \leq i \leq n}$ de variables aléatoires indépendantes : $X_i$ décrit la $i$-ème expérience, et les issues des expériences ne s'influencent pas. #### 4. Somme de Bernoulli indépendantes Si $X_1, \ldots, X_n$ sont **indépendantes** et de loi $\mathcal{B}(p)$, alors $$X_1 + \cdots + X_n \sim \mathcal{B}(n, p).$$ Interprétation : $X_1 + \cdots + X_n$ est le **nombre de succès** lors de la répétition de $n$ expériences indépendantes ayant chacune la probabilité $p$ de succès ; en effet $P(\sum X_i = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k}$ (choisir les $k$ expériences qui réussissent). #### 5. Stabilité par fonctions ; lemme des coalitions - Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $f(X)$ et $g(Y)$ sont indépendantes (pour $f$, $g$ quelconques) : l'indépendance se **transmet aux fonctions**. - **Lemme des coalitions** : si $X_1, \ldots, X_n$ sont indépendantes, alors les variables $f(X_1, \ldots, X_m)$ et $g(X_{m+1}, \ldots, X_n)$ sont indépendantes : deux fonctions portant sur des **blocs disjoints** de variables indépendantes restent indépendantes. Extension : pour plus de deux coalitions formant des blocs disjoints, les variables images sont encore indépendantes.

#### 1. Inégalité de Markov Pour $X$ variable aléatoire réelle **positive** et tout $\alpha > 0$ : $$P(X \geq \alpha) \ \leq\ \frac{E(X)}{\alpha}.$$ Preuve : $\alpha\, \mathbf{1}_{\{X \geq \alpha\}} \leq X$ (inégalité ponctuelle) ; en prenant l'espérance (croissance) : $\alpha\, P(X \geq \alpha) \leq E(X)$. C'est l'inégalité la plus brute : elle ne requiert que la **positivité** de $X$. #### 2. Application : inégalités de concentration L'inégalité de Markov fournit des **inégalités de concentration** : la probabilité que $X$ s'écarte beaucoup de $0$ est contrôlée par son espérance. Si $X \geq 0$ est d'espérance $\mu$ petite, alors $P(X \geq \alpha)$ est petite pour $\alpha \gg \mu$ — une variable d'espérance faible est **rarement grande**. #### 3. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev Pour $X$ variable aléatoire réelle d'espérance $E(X)$ et de variance $V(X)$, et tout $\alpha > 0$ : $$P\big(|X - E(X)| \geq \alpha\big) \ \leq\ \frac{V(X)}{\alpha^2}.$$ Preuve : appliquer Markov à la variable **positive** $(X - E(X))^2$ avec le seuil $\alpha^2$ : $$P\big(|X - E(X)| \geq \alpha\big) = P\big((X - E(X))^2 \geq \alpha^2\big) \leq \frac{E\big((X - E(X))^2\big)}{\alpha^2} = \frac{V(X)}{\alpha^2}.$$ Elle contrôle la **déviation** de $X$ autour de son espérance, en fonction de la variance (une variance petite interdit les grandes déviations). #### 4. Moyenne de variables indépendantes de même loi ; interprétation fréquentiste Soient $X_1, \ldots, X_n$ des variables aléatoires **indépendantes** de même loi que $X$ (espérance $\mu$, variance $\sigma^2$), et $$\bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$$ la **moyenne empirique**. Alors $E(\bar{X}_n) = \mu$ (linéarité) et $V(\bar{X}_n) = \frac{\sigma^2}{n}$ (indépendance), d'où par Bienaymé-Tchebychev : $$P\big(|\bar{X}_n - \mu| \geq \alpha\big) \ \leq\ \frac{\sigma^2}{n\, \alpha^2} \ \xrightarrow[n \to \infty]{}\ 0.$$ **Interprétation fréquentiste** : la moyenne empirique de $n$ répétitions indépendantes se **concentre** autour de l'espérance quand $n$ grandit — c'est le fondement de la loi (faible) des grands nombres : la **fréquence** observée d'un succès tend vers sa probabilité $p$.

Sommaire du cours

Teste-toi : 3 questions

Définitions liées