Rayon de convergence

#### 1. Série entière de la variable réelle, de la variable complexe Une **série entière** est une série de fonctions de la forme $$\sum_{n \geq 0} a_n z^n, \qquad (a_n) \in \mathbb{K}^{\mathbb{N}},$$ où $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ (variable réelle, $z = x$) ou $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ (variable complexe). Le terme général dépend de $z$ : le comportement de la série (convergence absolue, divergence) dépend du module $|z|$ — c'est tout l'objet du rayon de convergence. #### 2. Lemme d'Abel et définition du rayon de convergence **Lemme d'Abel** : s'il existe $z_0$ tel que la suite $(a_n z_0^n)$ soit **bornée**, alors pour tout $z$ tel que $|z| < |z_0|$, la série $\sum a_n z^n$ est **absolument convergente**. *Preuve* : posons $M = \sup_n |a_n z_0^n|$ ; alors $$|a_n z^n| = |a_n z_0^n| \cdot \left|\frac{z}{z_0}\right|^n \leq M \left|\frac{z}{z_0}\right|^n,$$ et $\sum M \left|\frac{z}{z_0}\right|^n$ est une série géométrique convergente. **Définition du rayon de convergence** : $$R = \sup\{r \in \mathbb{R}_+ \mid (a_n r^n) \text{ est bornée}\} \;\in\; [0, +\infty].$$ Le lemme d'Abel montre que $\sum a_n z^n$ converge absolument pour $|z| < R$ (en prenant $z_0$ de module $r$ avec $|z| < r < R$). #### 3. Convergence absolue si $|z| < R$, divergence grossière si $|z| > R$ **Théorème** : - si $|z| < R$, la série $\sum a_n z^n$ **converge absolument** ; - si $|z| > R$, la suite $(a_n z^n)$ n'est **pas bornée** (sinon $|z|$ contredirait la définition de $R$ comme borne supérieure), donc le terme général $a_n z^n$ **ne tend pas vers $0$** : la série **diverge grossièrement** ; - sur le cercle $|z| = R$ : **tous les comportements sont possibles** (à étudier au cas par cas). Cas extrêmes : $R = +\infty$ (convergence absolue pour tout $z$) ; $R = 0$ (aucune convergence hors $z = 0$). #### 4. Intervalle ouvert et disque ouvert de convergence - **Variable complexe** : la série converge absolument sur le **disque ouvert** $\{z \in \mathbb{C} \mid |z| < R\}$ (et diverge grossièrement en dehors du disque fermé). - **Variable réelle** : la série converge absolument sur l'**intervalle ouvert de convergence** $]-R, R[$. - Aux bornes ($x = \pm R$ en variable réelle) : à étudier séparément, chaque série ayant son comportement propre. Exemples avec $R = 1$ : $\sum x^n$ diverge en $x = \pm 1$ ; $\sum \frac{x^n}{n^2}$ converge en $x = \pm 1$ ; $\sum \frac{x^n}{n}$ converge en $-1$, diverge en $+1$. #### 5. Rayon et domination / équivalence des coefficients Soient $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ de rayons $R_a$ et $R_b$ : - **si $a_n = O(b_n)$, alors $R_a \geq R_b$** : en effet, si $(b_n r^n)$ est bornée, alors $|a_n r^n| \leq C |b_n r^n|$ est bornée, donc $r \leq R_a$ pour tout $r \leq R_b$, d'où $R_b \leq R_a$ ; - **si $a_n \sim b_n$, alors $R_a = R_b$** (équivalence = domination dans les deux sens) ; - le résultat s'applique en particulier si $a_n = o(b_n)$ (ce qui donne aussi $R_a \geq R_b$). **Exemple du cours** : pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$, $$R\left(\sum_{n \geq 0} n^{\alpha} x^n\right) = 1,$$ car la suite $(n^{\alpha} r^n)$ est bornée si et seulement si $0 \leq r \leq 1$ (croissances comparées : pour $r > 1$, $r^n$ l'emporte sur $n^{\alpha}$ ; pour $r \leq 1$, $n^{\alpha} r^n \leq n^{|\alpha|}$ sur $\{n : r = 1\}$... plus précisément bornée car $n^{\alpha}$ croît polynomialement et $r^n$ décroît géométriquement quand $r < 1$). #### 6. Application de la règle de d'Alembert au calcul du rayon Si $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \to \ell$ (avec $\ell \in [0, +\infty]$), alors $$R = \frac{1}{\ell} \quad \text{(conventions : } \frac{1}{0} = +\infty, \ \frac{1}{+\infty} = 0).$$ *Preuve* : on applique d'Alembert à la série numérique $\sum |a_n|\,|z|^n$ de rapport $$\frac{|a_{n+1}|\,|z|^{n+1}}{|a_n|\,|z|^n} \to \ell\,|z| :$$ convergence si $\ell |z| < 1$ (i.e. $|z| < 1/\ell$), divergence grossière si $\ell |z| > 1$ ; d'où le rayon. Exemples : $\sum \frac{x^n}{n!}$ : $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{1}{n+1} \to 0$, donc $R = +\infty$ ; $\sum n!\, x^n$ : $\frac{a_{n+1}}{a_n} = n+1 \to +\infty$, donc $R = 0$ ; $\sum \frac{x^n}{n}$ : $\to 1$, donc $R = 1$. #### 7. Rayon de convergence de la somme et du produit de Cauchy Soient $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ de rayons $R_a$ et $R_b$ : - **Somme** $\sum (a_n + b_n) z^n$ : $R_s \geq \min(R_a, R_b)$. De plus, si $R_a \neq R_b$, alors $R_s = \min(R_a, R_b)$ (la série de plus petit rayon impose sa divergence grossière au-delà). *Attention* : si $R_a = R_b$, l'égalité peut échouer par **cancellation** : pour $a_n = 1 + 2^n$, $b_n = -2^n$ (tous deux de rayon $\frac{1}{2}$), $a_n + b_n = 1$ donne $R_s = 1 > \frac{1}{2}$. - **Produit de Cauchy** $\sum c_n z^n$ avec $c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}$ : $R_c \geq \min(R_a, R_b)$, car sur $|z| < \min(R_a, R_b)$ les deux séries convergent absolument, donc leur produit de Cauchy aussi (théorème du produit de Cauchy) ; égalité si $R_a \neq R_b$. *Exemple* : $(1 + z)(1 - z) = 1 - z^2$ : $R_a = R_b = 1$ et $R_c = 1$. #### 8. Exemple récapitulatif | Série | Coefficients | Rayon | Comportement aux bornes ($R = 1$) | |---|---|---|---| | $\sum n^{\alpha} x^n$ | $a_n = n^{\alpha}$ | $1$ | converge aux deux bornes si $\alpha < 0$, seulement en $-1$ si $-1 < \alpha < 0$... (à vérifier au cas par cas) | | $\sum \frac{x^n}{n!}$ | $\frac{1}{n!}$ | $+\infty$ | — | | $\sum n!\, x^n$ | $n!$ | $0$ | — | | $\sum \frac{x^n}{n}$ | $\frac{1}{n}$ | $1$ | converge en $-1$ (alternée), diverge en $+1$ | | $\sum \frac{x^n}{n^2}$ | $\frac{1}{n^2}$ | $1$ | converge en $\pm 1$ | Calculs de rayon par d'Alembert : $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \to \ell$ donne $R = 1/\ell$.