Réduction des endomorphismes autoadjoints et des matrices symétriques réelles

#### 1. Endomorphisme autoadjoint d'un espace euclidien. Notations Soit $E$ un espace euclidien (réel, de dimension finie, produit scalaire $\langle\cdot,\cdot\rangle$). Un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ est **autoadjoint** (ou symétrique) si $$\langle u(x), y \rangle = \langle x, u(y) \rangle \quad \text{pour tous } x, y \in E.$$ L'ensemble des endomorphismes autoadjoints est noté $\mathcal{S}(E)$ : c'est un **sous-espace vectoriel** de $\mathcal{L}(E)$ (stable par combinaisons linéaires). Exemples : l'identité, les symétries orthogonales, les projections orthogonales ; si $v \in \mathcal{L}(E)$, l'endomorphisme $v^{\mathsf{T}} \circ v$ (souvent noté $v^{*} \circ v$) est autoadjoint. #### 2. Caractérisation des projecteurs orthogonaux **Théorème** : un projecteur $p$ ($p^2 = p$) est **orthogonal** si et seulement s'il est **autoadjoint**. *Esquisse de preuve* : $p^2 = p$ donne $E = \ker p \oplus \mathrm{Im}\,p$. Si $p$ est autoadjoint, alors $\ker p = (\mathrm{Im}\,p^{\mathsf{T}})^{\perp} = (\mathrm{Im}\,p)^{\perp}$ (car $p^{\mathsf{T}} = p$), donc $\mathrm{Im}\,p = (\ker p)^{\perp}$ : la projection se fait orthogonalement à $\mathrm{Im}\,p$. La réciproque est immédiate dans une base orthonormée adaptée. Ainsi : $p$ projecteur orthogonal $\iff p^2 = p$ **et** $p$ autoadjoint $\iff p^2 = p$ et $\ker p \perp \mathrm{Im}\,p$. #### 3. Caractérisation par la matrice dans une base orthonormée. Terminologie **Théorème** : si $\mathcal{B}$ est une base **orthonormée** de $E$ et $A = \mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u)$, alors $$u \text{ autoadjoint} \iff A^{\mathsf{T}} = A \quad (A \text{ symétrique}).$$ *Esquisse* : en notant $X, Y$ les colonnes de coordonnées, $\langle u(x), y \rangle = X^{\mathsf{T}}A^{\mathsf{T}}Y$ et $\langle x, u(y) \rangle = X^{\mathsf{T}}AY$ ; l'égalité pour tous $X, Y$ équivaut à $A^{\mathsf{T}} = A$. **Terminologie** : un endomorphisme autoadjoint s'appelle aussi **endomorphisme symétrique**. *Attention* : l'équivalence exige une base **orthonormée** (dans une base quelconque, la matrice d'un autoadjoint n'est pas nécessairement symétrique). Les matrices symétriques réelles forment le sous-espace $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. #### 4. Théorème spectral. Forme matricielle **Théorème spectral** : tout endomorphisme autoadjoint d'un espace euclidien est **orthodiagonalisable** : il existe une **base orthonormée de vecteurs propres** de $u$. En particulier, ses valeurs propres sont **réelles** et il existe $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ réels (comptés avec multiplicité) tels que $\mathrm{Mat}_\mathcal{B}(u)$ soit diagonale dans une base orthonormée $\mathcal{B}$. **Forme matricielle** : pour toute matrice symétrique $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$, il existe $P \in \mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ (matrice **orthogonale**, pas seulement inversible) telle que $$P^{\mathsf{T}} A P = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n), \quad \lambda_i \in \mathbb{R}.$$ *Éléments de preuve* : les valeurs propres d'un autoadjoint sont réelles (si $u(x) = \lambda x$ avec $x \neq 0$, $\lambda = \frac{\langle u(x), x \rangle}{\|x\|^2} \in \mathbb{R}$) ; les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont **orthogonaux** ; combiné à la trigonalisation et à la stabilité de l'orthogonal d'un sous-espace stable, on construit la base orthonormée de vecteurs propres. C'est l'analogue euclidien de la diagonalisation : la matrice de passage est orthogonale au lieu d'être simplement inversible. #### 5. Endomorphisme autoadjoint positif, défini positif Soit $u \in \mathcal{S}(E)$ autoadjoint. On dit que $u$ est : - **positif** si $\langle u(x), x \rangle \geq 0$ pour tout $x \in E$ (notation $u \succeq 0$) ; - **défini positif** si $\langle u(x), x \rangle > 0$ pour tout $x \neq 0$ (notation $u \succ 0$). **Caractérisation spectrale** (conséquence directe du théorème spectral) : en notant $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ les valeurs propres de $u$, $$u \text{ positif} \iff \lambda_i \geq 0 \ \forall i, \qquad u \text{ défini positif} \iff \lambda_i > 0 \ \forall i.$$ En effet, dans une base orthonormée de vecteurs propres, $\langle u(x), x \rangle = \sum_i \lambda_i x_i^2$. Exemples : une projection orthogonale est positive (valeurs propres $0$ et $1$) ; $v^{\mathsf{T}} \circ v$ est positif, et défini positif dès que $v$ est inversible. #### 6. Matrice symétrique positive, définie positive Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. On dit que $A$ est : - **positive** si $X^{\mathsf{T}} A X \geq 0$ pour tout $X \in \mathbb{R}^n$ (notation $A \succeq 0$) ; - **définie positive** si $X^{\mathsf{T}} A X > 0$ pour tout $X \neq 0$ (notation $A \succ 0$). La forme quadratique associée est $Q(X) = X^{\mathsf{T}}AX$. **Caractérisation spectrale** (forme matricielle du théorème spectral) : $$A \text{ positive} \iff \text{toutes les valeurs propres de } A \text{ sont } \geq 0,$$ $$\qquad A \text{ définie positive} \iff \text{toutes les valeurs propres sont } > 0.$$ Conséquences : une matrice symétrique définie positive est inversible et de déterminant $> 0$ ; $\mathrm{tr}(A) \geq 0$ si $A$ est positive. *Attention* : être symétrique et avoir des coefficients positifs ne suffit pas (contre-exemple : $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ a pour valeurs propres $3$ et $-1$). #### 7. Exemple récapitulatif Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \in \mathcal{S}_2(\mathbb{R})$. - $\chi_A(X) = (X-1)(X-3)$ : valeurs propres $1$ et $3$, réelles et **distinctes**. - Vecteurs propres orthonormés : $\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ (valeur propre $3$) et $\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ (valeur propre $1$). Avec $P = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \in \mathrm{O}_2(\mathbb{R})$ : $P^{\mathsf{T}} A P = \mathrm{diag}(3, 1)$ — **théorème spectral**. - $A$ est **définie positive** (valeurs propres $> 0$) : la forme quadratique $Q(X) = 2x^2 + 2xy + 2y^2$ est $> 0$ pour $X \neq 0$. - **Projecteur orthogonal** : $p$ de matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ dans la base canonique (symétrique) : $p^2 = p$, valeurs propres $1$ et $0 \geq 0$ — projecteur orthogonal **positif** non défini.

Un endomorphisme **autoadjoint** (symétrique) $u$ vérifie $u^*=u$, i.e. $\langle u(x),y\rangle=\langle x,u(y)\rangle$. Le **théorème spectral** assure qu'il est **orthogonalement diagonalisable** à valeurs propres **réelles**.

- **Théorème spectral** : il existe une base **orthonormée** de vecteurs propres ; spectre $\subset\mathbb{R}$. - **Matrices** : symétriques réelles → diagonalisables en base orthonormée ($A=PDP^{T}$, $P$ orthogonale). - **Valeurs propres** : réelles ; sous-espaces propres **orthogonaux** deux à deux. - **Réciproque** : diagonalisable en base orthonormée à spectre réel $\Rightarrow$ autoadjoint.

1. **Vérifier** la symétrie ($A=A^T$). 2. **Diagonaliser** (valeurs propres réelles). 3. **Orthonormaliser** les vecteurs propres (espaces propres orthogonaux). - **Piège classique** : croire qu'une matrice symétrique est toujours inversible ; oublier l'orthonormalité (Gram-Schmidt) ; confondre autoadjoint et orthogonal.

- $\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ : valeurs propres $1,3$ (réelles), base orthonormée. ```mermaid graph TD A["u autoadjoint : u* = u"] --> S["Theoreme spectral : base orthonormee de vecteurs propres"] A --> R["Spectre reel"] A --> O["Sous-espaces propres orthogonaux"] ```