Règle de la chaîne

#### 1. Dérivée de $t \mapsto f(x_1(t), \ldots, x_p(t))$ Soit $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{R}^p$, et $x_1, \ldots, x_p$ des fonctions dérivables sur un intervalle $I$ telles que $x(t) = (x_1(t), \ldots, x_p(t)) \in \Omega$ pour tout $t \in I$. Alors la composée $g = f \circ x$ est **dérivable** sur $I$ et $$g'(t) = \sum_{i=1}^{p} \frac{\partial f}{\partial x_i}\big(x(t)\big)\, x_i'(t) = \mathrm{d}f\big(x(t)\big) \cdot x'(t).$$ *Preuve* : le développement limité d'ordre 1 de $f$ en $x(t)$ donne $f(x(t + h)) - f(x(t)) = \mathrm{d}f(x(t))\big(x(t+h) - x(t)\big) + o(\|x(t+h) - x(t)\|)$, et $x(t+h) - x(t) = h\,x'(t) + o(h)$, d'où le résultat en divisant par $h$. #### 2. Application : dérivées partielles de la composée Soient $\Omega \subset \mathbb{R}^p$ ouvert, $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\Omega$, et $x_1, \ldots, x_p$ des fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert $\Omega'$ de $\mathbb{R}^n$ à valeurs dans un domaine où $f$ est définie. La fonction $$g : (u_1, \ldots, u_n) \longmapsto f\big(x_1(u_1, \ldots, u_n), \ldots, x_p(u_1, \ldots, u_n)\big)$$ est de **classe $\mathcal{C}^1$** sur $\Omega'$ et ses dérivées partielles s'obtiennent par $$\frac{\partial g}{\partial u_j}(u) = \sum_{i=1}^{p} \frac{\partial f}{\partial x_i}\big(x(u)\big)\, \frac{\partial x_i}{\partial u_j}(u), \qquad 1 \leq j \leq n.$$ En termes matriciels, la jacobienne de $g \circ x$ est le **produit des jacobiennes** de $f$ et de $x$ (on dérive par rapport à chaque variable $u_j$, les autres étant gelées). #### 3. Cas particulier des coordonnées polaires Pour $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ ($r > 0$, $\theta \in \mathbb{R}$), posons $g(r, \theta) = f(r\cos\theta, r\sin\theta)$. La règle de la chaîne donne $$\frac{\partial g}{\partial r} = \cos\theta\,\frac{\partial f}{\partial x} + \sin\theta\,\frac{\partial f}{\partial y}, \qquad \frac{\partial g}{\partial \theta} = -r\sin\theta\,\frac{\partial f}{\partial x} + r\cos\theta\,\frac{\partial f}{\partial y},$$ et en inversant le système (pour $r > 0$) : $$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos\theta\,\frac{\partial g}{\partial r} - \frac{\sin\theta}{r}\,\frac{\partial g}{\partial \theta}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = \sin\theta\,\frac{\partial g}{\partial r} + \frac{\cos\theta}{r}\,\frac{\partial g}{\partial \theta}.$$ On en déduit notamment $$\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2 = \left(\frac{\partial g}{\partial r}\right)^2 + \frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial g}{\partial \theta}\right)^2.$$ #### 4. Caractérisation des fonctions constantes sur un ouvert convexe **Théorème** : soit $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur un ouvert **convexe** $\Omega$ de $\mathbb{R}^p$. Alors $$f \text{ est constante sur } \Omega \iff \mathrm{d}f(a) = 0 \text{ pour tout } a \in \Omega \iff \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = 0 \ \forall i, \forall a.$$ *Preuve* : pour $a, b \in \Omega$, le segment $[a, b]$ est inclus dans $\Omega$ (convexité) ; la fonction $\varphi(t) = f(a + t(b - a))$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0, 1]$ avec $\varphi'(t) = \mathrm{d}f(a + t(b-a)) \cdot (b - a)$ (règle de la chaîne). Si $\mathrm{d}f \equiv 0$, alors $\varphi' \equiv 0$, donc $f(b) - f(a) = \varphi(1) - \varphi(0) = 0$ : $f$ est constante. Réciproquement, une fonction constante a toutes ses dérivées nulles. **Attention** : la convexité est essentielle — sur l'ouvert non convexe $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$, la fonction $f(x, y) = \arctan(y/x)$ (argument) a toutes ses dérivées partielles nulles localement... (elle est localement constante sur chaque demi-droite mais pas globalement constante). #### 5. Exemple récapitulatif Soit $f(x, y) = x^2 y$ et $x(t) = t^2$, $y(t) = t$ : $g(t) = f(x(t), y(t)) = t^4 \cdot t = t^5$ et $g'(t) = 5t^4$. La règle de la chaîne donne $g'(t) = 2x(t)y(t)\cdot 2t + x(t)^2 \cdot 1 = 4t^4 + t^4 = 5t^4$ : cohérent. Pour les polaires : $f(x, y) = x^2 + y^2$ devient $g(r, \theta) = r^2$, donc $\frac{\partial g}{\partial r} = 2r$, $\frac{\partial g}{\partial \theta} = 0$, et les formules inverses redonnent $\frac{\partial f}{\partial x} = \cos\theta \cdot 2r = 2x$ : cohérent avec $\frac{\partial f}{\partial x} = 2x$.

Si $f$ est différentiable en $a$ et $g$ en $f(a)$, alors $g\circ f$ est différentiable en $a$ et $d(g\circ f)(a)=dg(f(a))\circ df(a)$ (composition des différentielles).

- **Énoncé** : $d(g\circ f)(a)=dg(f(a))\circ df(a)$. - **Matriciel** : $J_{g\circ f}(a)=J_g(f(a))\cdot J_f(a)$ (produit des jacobiennes). - **Cas $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$** : $(g\circ f)'=g'(f)\cdot f'$. - **Hypothèse** : différentiabilité de $f$ en $a$, $g$ en $f(a)$.

1. **Composer** les différentielles. 2. **Multiplier** les jacobiennes. 3. **Appliquer** aux fonctions composées. 1. **Calculer** $df(a)$, $dg(f(a))$. 2. **Composer** (produit matriciel). - **Piège classique** : ordre de composition ; $g$ évaluée en $f(a)$ ; $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ (facteur $f'$).

- $\frac{d}{dt}g(f(t))=g'(f(t))f'(t)$. ```mermaid graph TD C["Regle de la chaine"] --> D["d(g o f)(a) = dg(f(a)) o df(a)"] C --> J["J_{g o f}(a) = J_g(f(a)) . J_f(a)"] ```