Régularité de la limite d'une suite de fonctions

#### 1. Continuité de la limite d'une suite de fonctions **Théorème** : si $(f_n)$ est une suite de fonctions **continues** sur $I$ (intervalle de $\mathbb{R}$, ou plus généralement une partie d'un espace vectoriel normé) qui converge **uniformément** vers $f$ sur $I$, alors $f$ est **continue** sur $I$. *Preuve ($\varepsilon/3$)* : soient $a \in I$ et $\varepsilon > 0$. On choisit $n$ tel que $\sup_I |f_n - f| \leq \varepsilon/3$ ; par continuité de $f_n$ en $a$, il existe $\delta > 0$ tel que $|x - a| \leq \delta \Rightarrow |f_n(x) - f_n(a)| \leq \varepsilon/3$. Alors, pour $|x - a| \leq \delta$ : $$|f(x) - f(a)| \leq |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(a)| + |f_n(a) - f(a)| \leq \varepsilon.$$ **En pratique** : la convergence uniforme sur tout $I$ est rare ; on vérifie souvent la convergence **uniforme sur tout segment** $[a, b] \subset I$ (« convergence localement uniforme »), ce qui suffit pour la continuité sur $I$ tout entier. *Exemple* : $f_n(x) = \sum_{j=0}^{n} \frac{x^j}{j!}$ converge simplement vers $e^x$ sur $\mathbb{R}$ et uniformément sur tout segment $[-A, A]$ (reste majoré par $\frac{A^{n+1}}{(n+1)!} e^A \to 0$) : la limite $e^x$ est continue sur $\mathbb{R}$. *Contre-exemple* : $f_n(x) = x^n$ sur $[0, 1]$ converge simplement vers une fonction discontinue : la convergence n'est pas uniforme. #### 2. Intégration sur un segment de la limite **Théorème** : si $(f_n)$ est une suite de fonctions **continues** sur $[a, b]$ qui converge **uniformément** vers $f$ sur $[a, b]$, alors $f$ est continue sur $[a, b]$ et $$\int_a^b f_n(t)\,dt \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_a^b f(t)\,dt,$$ c'est-à-dire qu'on peut **permuter limite et intégrale** : $\lim_n \int_a^b f_n = \int_a^b \lim_n f_n$. *Preuve* : $\left|\int_a^b f_n - \int_a^b f\right| \leq (b - a)\, \sup_{[a,b]} |f_n - f| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. **En pratique** : on vérifie la convergence uniforme sur le segment d'intégration (ou, si l'intégrale porte sur $[a, x]$, uniformément sur tout segment contenant $[a, x]$, ce qui donne la continuité de $x \mapsto \int_a^x f$). *Exemple* : $f_n(t) = \sum_{j=0}^{n} \frac{t^j}{j!} \to e^t$ uniformément sur $[0, 1]$ (reste $\leq \frac{e}{(n+1)!} \to 0$), donc $\int_0^1 f_n(t)\,dt \to \int_0^1 e^t\,dt = e - 1$, et par permutation $\sum_{j=0}^{+\infty} \frac{1}{(j+1)!\,(j+1)} = e - 1$. #### 3. Dérivabilité de la limite d'une suite de fonctions **Théorème (dérivation des limites)** : soient $I$ un intervalle et $(f_n)$ une suite de fonctions de **classe $\mathcal{C}^1$** sur $I$ telles que : 1. $(f_n)$ **converge simplement** vers $f$ sur $I$ ; 2. $(f_n')$ **converge uniformément** vers une fonction $g$ sur $I$ (en pratique : sur tout segment de $I$). Alors $f$ est de **classe $\mathcal{C}^1$** sur $I$ et $f' = g$. *Preuve* : pour $a \in I$, $f_n(x) = f_n(a) + \int_a^x f_n'(t)\,dt$ ; $(f_n')$ converge uniformément vers $g$ donc $g$ est continue, et par le théorème d'intégration $f_n(x) \to f(a) + \int_a^x g(t)\,dt$. Par unicité de la limite simple, $f(x) = f(a) + \int_a^x g(t)\,dt$, donc $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et $f' = g$. **En pratique** : on vérifie la convergence uniforme de $(f_n')$ sur tout segment de $I$. **Attention** : la convergence uniforme de $(f_n)$ seule ne suffit pas : $f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{n} \to 0$ uniformément sur $\mathbb{R}$ mais $f_n'(x) = \cos(nx)$ ne converge (nulle part) ; la limite $0$ est dérivable mais $f' \neq \lim f_n'$. *Exemple* : $f_n(x) = \sum_{j=0}^{n} \frac{x^j}{j!}$ : $f_n \to e^x$ simplement sur $\mathbb{R}$ et $f_n'(x) = f_{n-1}(x) \to e^x$ uniformément sur tout segment ; donc $(e^x)' = e^x$. #### 4. Extension aux suites de fonctions de classe $\mathcal{C}^k$ **Théorème** : soient $k \geq 1$, $(f_n)$ une suite de fonctions de classe $\mathcal{C}^k$ sur $I$ telles que : - $(f_n^{(j)})$ **converge simplement** sur $I$ (ou sur tout segment) pour $0 \leq j \leq k-1$, vers $f^{(j)}$ ; - $(f_n^{(k)})$ **converge uniformément** (sur tout segment de $I$) vers $g$. Alors $f$ est de **classe $\mathcal{C}^k$** sur $I$ et $f^{(j)} = \lim_n f_n^{(j)}$ pour $0 \leq j \leq k$ : on peut **permuter limite et dérivation** jusqu'à l'ordre $k$. *Preuve* : récurrence sur $k$ à partir du théorème de dérivation des limites appliqué à $(f_n^{(k-1)})$ (dont la dérivée $(f_n^{(k)})$ converge uniformément). *Exemple* : $f_n(x) = \sum_{j=0}^{n} \frac{x^j}{j!}$ : pour tout $k$, $f_n^{(j)} \to e^x$ simplement pour $j < k$ et $f_n^{(k)} \to e^x$ uniformément sur tout segment ; donc $e^x$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ et $(e^x)^{(k)} = e^x$ pour tout $k$. #### 5. Exemple récapitulatif Soit $f_n(x) = \sum_{j=0}^{n} \frac{x^j}{j!}$ sur $\mathbb{R}$. - **Continuité** : $f_n \to e^x$ uniformément sur tout segment (reste majoré par $\frac{A^{n+1}}{(n+1)!}e^A$ sur $[-A, A]$), donc $e^x$ est continue. - **Intégration** : $\int_0^1 f_n(t)\,dt \to \int_0^1 e^t\,dt = e - 1$, soit $\sum_{j=0}^{+\infty} \frac{1}{(j+1)! (j+1)} = e - 1$. - **Dérivation** : $f_n' = f_{n-1} \to e^x$ uniformément sur tout segment, donc $(e^x)' = e^x$. - **Classe $\mathcal{C}^k$** : par récurrence, $e^x$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ et $(e^x)^{(k)} = e^x$.

On étudie quelles **propriétés de régularité** (continuité, classe $\mathcal{C}^k$, intégrabilité) sont **transmises à la limite** d'une suite de fonctions $(u_n)$. **Définitions.** $(u_n)$ converge **uniformément** vers $u$ sur tout segment de $I$ si, pour tout segment $[a,b]\subset I$, $\sup_{[a,b]}|u_n-u|\to0$. C'est le cadre naturel des théorèmes de régularité.

- **Continuité** : si les $u_n$ sont **continues** et si $(u_n)$ converge **uniformément** vers $u$ sur tout segment de $I$, alors $u$ est **continue** sur $I$. - **Classe $\mathcal{C}^1$** : si les $u_n$ sont $\mathcal{C}^1$, $(u_n)$ converge simplement et $(u_n')$ converge uniformément sur tout segment, alors $u$ est $\mathcal{C}^1$ et $u'=\lim u_n'$ (voir « Dérivation d'une suite »). - **Intégration** : sous convergence uniforme sur tout segment, $u$ est intégrable et $\int_a^x u_n\to\int_a^x u$ uniformément. - **Hypothèses de validité** : la **convergence uniforme** (sur tout segment) est indispensable ; la convergence simple ne transmet **pas** la continuité.

1. **Localiser** : travailler sur un segment $[a,b]\subset I$, où la convergence est uniforme. 2. **Appliquer** le théorème de régularité adapté (continuité, $\mathcal{C}^k$, intégration). 3. **Contrôler les dérivées/intégrales** terme à terme (uniforme convergence des dérivées pour la dérivation). **Pièges classiques.** La convergence **simple** ne préserve **pas** la continuité (exemple $x^n$ sur $[0,1]$). Pour la dérivation, la convergence uniforme de $u_n$ ne suffit pas : il faut celle de $u_n'$. Préciser toujours le **domaine** (segment) d'uniformité.

La suite $u_n(x)=x^{n}$ converge simple sur $[0,1]$ vers $f$, **discontinue** en $1$ : la continuité n'est pas préservée faute d'uniformité. Sur $[0,a]\subset[0,1[$ avec $a<1$, la convergence est uniforme et la limite (nulle) est continue : la régularité est transmise. ```mermaid graph TD U["u_n --> u uniformement sur tout segment"] U --> C["u continue"] U --> CM["u continue par morceaux"] U --> I["int_a^x u_n --> int_a^x u uniformement"] D["u_n de classe C^1 et u_n' --> v uniformement"] --> C1["u de classe C^1 et u' = v"] ```