Régularité de la somme d'une série de fonctions

Les théorèmes ci-dessous sont les traductions des théorèmes sur les suites de fonctions aux séries : il suffit d'appliquer les résultats des sommes partielles $S_N = \sum_{n=0}^{N} f_n$ (la convergence uniforme de la série équivaut à celle de la suite $(S_N)$). #### 1. Continuité de la somme d'une série de fonctions **Théorème** : si les $f_n$ sont **continues** sur $I$ et si la série $\sum f_n$ **converge uniformément** sur $I$, alors sa somme $S = \sum_{n \geq 0} f_n$ est **continue** sur $I$. *Preuve* : les sommes partielles $S_N$ sont continues (somme finie de fonctions continues) et convergent uniformément vers $S$ ; on applique le théorème de continuité de la limite uniforme. **En pratique** : on vérifie la convergence **uniforme sur tout segment** de $I$ (souvent obtenue par une **convergence normale** sur tout segment), ce qui suffit pour la continuité sur $I$. *Exemple* : $\sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n!}$ converge normalement sur tout segment $[-A, A]$ ($\sum \frac{A^n}{n!} < +\infty$), donc sa somme $e^x$ est continue sur $\mathbb{R}$ ; $\sum \frac{\sin(nx)}{n^2}$ converge normalement sur $\mathbb{R}$, sa somme est continue. #### 2. Théorème de la double limite **Théorème** : soient $I$ un intervalle de la forme $[c, a[$ (ou $]a, c]$, ou $[c, +\infty[$), $(f_n)$ des fonctions définies sur $I$ telles que : 1. $\sum f_n$ **converge uniformément** sur $I$ ; 2. pour tout $n$, $f_n$ admet une **limite** $\ell_n$ en $a$ (borne de $I$, éventuellement infinie). Alors la série $\sum \ell_n$ **converge**, la somme $S = \sum f_n$ admet une **limite en $a$**, et $$\lim_{x \to a} \sum_{n \geq 0} f_n(x) = \sum_{n \geq 0} \lim_{x \to a} f_n(x) = \sum_{n \geq 0} \ell_n :$$ on peut **permuter la limite et la somme infinie**. *Preuve (Cauchy)* : la convergence uniforme donne $\sup_{x \in I} \left|\sum_{n=p}^{q} f_n(x)\right| \to 0$ pour $q \geq p \to +\infty$ ; en faisant tendre $x$ vers $a$ (chaque $f_n$ admet une limite), $\left|\sum_{n=p}^{q} \ell_n\right| \leq \sup_{x \in I} \left|\sum_{n=p}^{q} f_n(x)\right|$, donc $\sum \ell_n$ vérifie le critère de Cauchy. Puis un découpage en trois $\varepsilon$ conclut : $$\left|S(x) - \sum_{n \geq 0} \ell_n\right| \leq |R_N(x)| + \left|\sum_{n=0}^{N} f_n(x) - \sum_{n=0}^{N} \ell_n\right| + \sum_{n > N} |\ell_n|.$$ *Exemple* : $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^2 + x^2}$ sur $I = [0, +\infty[$ : chaque $\ell_n = 0$, convergence uniforme sur $[0, +\infty[$ (reste $\leq \sum_{n > N} \frac{1}{n^2} \to 0$), donc $\lim_{x \to +\infty} \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^2 + x^2} = 0$. *Contre-exemple montrant l'importance de l'hypothèse* : $\sum_{n \geq 0} x^n(1 - x)$ sur $[0, 1[$ : chaque $\ell_n = 0$, mais $S(x) = 1$ pour $x \in [0, 1[$, donc $\lim_{x \to 1^-} S(x) = 1 \neq 0 = \sum \ell_n$ : la convergence n'est pas uniforme sur $[0, 1[$. #### 3. Intégration de la somme d'une série de fonctions sur un segment **Théorème** : si les $f_n$ sont **continues** sur $[a, b]$ et si $\sum f_n$ **converge uniformément** sur $[a, b]$, alors $$\int_a^b \left(\sum_{n \geq 0} f_n(t)\right) dt = \sum_{n \geq 0} \left(\int_a^b f_n(t)\,dt\right),$$ la série des intégrales étant convergente : on peut **permuter l'intégrale et la somme**. *Preuve* : les sommes partielles $S_N$ convergent uniformément vers $S$ ; or $\int_a^b S_N = \sum_{n=0}^{N} \int_a^b f_n$ (linéarité), et le théorème d'intégration des limites uniformes donne $\int_a^b S_N \to \int_a^b S$. *Exemple* : $\sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{n!}$ converge uniformément sur $[0, 1]$ (normalement), donc $$\int_0^1 e^t\,dt = \sum_{n \geq 0} \int_0^1 \frac{t^n}{n!}\,dt = \sum_{n \geq 0} \frac{1}{(n+1)!\,(n+1)} = \sum_{n \geq 0} \frac{1}{(n+1)!} = e - 1.$$ #### 4. Dérivation de la somme d'une série de fonctions **Théorème (dérivation terme à terme)** : soient $I$ un intervalle et $(f_n)$ une suite de fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ telles que : 1. la série $\sum f_n$ **converge simplement** en au moins un point de $I$ (et donc partout si les sommes partielles convergent simplement sur $I$) ; 2. la série des dérivées $\sum f_n'$ **converge uniformément** (en pratique : sur tout segment de $I$). Alors la somme $S = \sum f_n$ est de **classe $\mathcal{C}^1$** sur $I$ et $$S'(x) = \sum_{n \geq 0} f_n'(x) \quad \text{pour tout } x \in I,$$ on peut **permuter la dérivation et la somme**. *Preuve* : on applique le théorème de dérivation des limites aux sommes partielles $S_N$ (qui convergent simplement vers $S$, et dont les dérivées $\sum_{n=0}^{N} f_n'$ convergent uniformément). **En pratique** : on vérifie la convergence uniforme de $\sum f_n'$ sur tout segment de $I$. **Attention** : la convergence uniforme de la série $\sum f_n$ seule ne suffit pas (cf. $\sum \frac{\sin(nx)}{n}$, qui converge simplement mais dont la somme n'est pas dérivable partout avec $\sum \cos(nx)/n$ divergent en presque tout point). *Exemple* : $\sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n!}$ : convergence simple sur $\mathbb{R}$, $\sum_{n \geq 1} \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$ converge normalement sur tout segment, donc $S'(x) = \sum_{n \geq 1} \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} = S(x)$ : on retrouve $(e^x)' = e^x$ par dérivation terme à terme. #### 5. Extension à la classe $\mathcal{C}^k$ **Théorème** : soient $k \geq 1$ et $(f_n)$ des fonctions de classe $\mathcal{C}^k$ sur $I$ telles que : - $\sum f_n^{(j)}$ **converge simplement** sur $I$ pour $0 \leq j \leq k-1$ (en particulier $\sum f_n$) ; - $\sum f_n^{(k)}$ **converge uniformément** (en pratique : sur tout segment de $I$). Alors $S = \sum f_n$ est de **classe $\mathcal{C}^k$** sur $I$ et pour $0 \leq j \leq k$ : $$S^{(j)} = \sum_{n \geq 0} f_n^{(j)}$$ (permutation de la dérivation et de la somme jusqu'à l'ordre $k$). Preuve par récurrence à partir du théorème de dérivation terme à terme appliqué à $\sum f_n^{(k-1)}$. **En pratique** : la convergence **normale sur tout segment** de $\sum f_n^{(k)}$ est le critère le plus employé (avec $\sum f_n$ simplement convergente). #### 6. Exemple récapitulatif Soit $S(x) = \sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n!}$ sur $\mathbb{R}$. - **Continuité** : convergence normale sur tout segment $[-A, A]$ ($\sum \frac{A^n}{n!} < +\infty$), donc $S$ est continue sur $\mathbb{R}$. - **Double limite** : pour étudier $\lim_{x \to +\infty}$... plutôt, sur $[0, 1]$, la convergence normale donne $\lim_{x \to 1} S(x) = \sum_{n \geq 0} \frac{1}{n!} = e$ (chaque $f_n(x) = x^n/n!$ a pour limite $\frac{1}{n!}$ en $1$ et $\sum \frac{1}{n!}$ converge : cohérent). - **Intégration** : $\int_0^1 S(t)\,dt = \sum_{n \geq 0} \frac{1}{(n+1)! (n+1)} = e - 1$. - **Dérivation** : $S'(x) = \sum_{n \geq 1} \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} = S(x)$ (dérivation terme à terme, série des dérivées normalement convergente sur tout segment) et $S(0) = 1$ : $S = \exp$. - **Classe $\mathcal{C}^k$** : pour tout $k$, $S$ est de classe $\mathcal{C}^k$ et $S^{(k)} = S$.

On étudie les propriétés de régularité de la **somme** $S=\sum_{n}f_n$ d'une série de fonctions, déduites de celles des termes $f_n$ et du **mode de convergence**. **Définitions.** $S=\sum f_n$ où $f_n$ sont définies sur $I$ ; convergence normale : $\sum\|f_n\|_\infty<+\infty$ (qui entraîne l'uniforme et la simple).

- **Continuité** : si les $f_n$ sont continues et si $\sum f_n$ converge **uniformément** sur tout segment de $I$, alors $S$ est **continue**. - **Dérivation terme à terme** : si les $f_n$ sont $\mathcal{C}^1$, $\sum f_n$ converge simplement et $\sum f_n'$ converge uniformément sur tout segment, alors $S$ est $\mathcal{C}^1$ et $S'=\sum f_n'$. - **Intégration terme à terme** : sous convergence uniforme (segment) ou sommabilité $\sum\int|f_n|<+\infty$, $\int\sum f_n=\sum\int f_n$. - **Critère suffisant** : la **convergence normale** $\sum\|f_n\|_\infty<+\infty$ entraîne l'uniforme convergence (donc la continuité de $S$). - **Hypothèses** : la convergence (uniforme/normale) est indispensable ; la simple convergence de $\sum f_n$ ne préserve pas la continuité.

1. **Établir la convergence** de $\sum f_n$ (souvent par convergence **normale** $\sum\|f_n\|_\infty<+\infty$). 2. **Appliquer** le théorème : continuité de $S$, ou dérivation/intégration terme à terme. 3. **Justifier chaque échange** par l'hypothèse correspondante sur les dérivées ou les intégrales. **Pièges classiques.** La convergence uniforme de $\sum f_n$ ne donne **pas** celle de $\sum f_n'$. Ne pas intégrer/dériver terme à terme sans vérifier l'hypothèse. Bien distinguer convergence **normale** (critère commode) et **uniforme** (propriété).

La série $\sum_{n\geq1}\frac{\cos(nx)}{n^{2}}$ : $\big\|\frac{\cos(nx)}{n^{2}}\big\|_\infty\leq\frac{1}{n^{2}}$, donc convergence **normale**, donc uniforme. Sa somme $S$ est **continue** sur $\mathbb{R}$ et intégrable terme à terme sur tout segment. ```mermaid graph TD S["sum f_n de somme S"] U["Convergence uniforme (ou normale) sur tout segment"] U --> C["S continue"] U --> I["int (sum f_n) = sum int f_n"] U --> A["serie absolument convergente (normale)"] D["sum f_n' uniforme et f_n de classe C^1"] --> C1["S de classe C^1 et S' = sum f_n'"] ```