Régularité de la somme d'une série entière de la variable réelle

Dans toute la fiche, $\sum_{n \geq 0} a_n x^n$ désigne une série entière réelle de **rayon de convergence $R > 0$**, de somme $S$ définie sur l'**intervalle ouvert de convergence** $]-R, R[$. #### 1. Convergence normale sur tout segment inclus dans l'intervalle ouvert **Théorème** : pour tout segment $[a, b] \subset \,]-R, R[$, la série entière $\sum a_n x^n$ **converge normalement** sur $[a, b]$. *Preuve* : posons $r = \max(|a|, |b|) < R$ et choisissons $\rho$ tel que $r < \rho < R$. La série $\sum |a_n| \rho^n$ converge (convergence absolue dans l'intervalle ouvert), donc la suite $(a_n \rho^n)$ tend vers $0$ et est **bornée** : soit $M$ tel que $|a_n| \rho^n \leq M$. Alors, pour $x \in [a, b]$ : $$|a_n x^n| \leq \frac{M}{\rho^n}\, r^n = M \left(\frac{r}{\rho}\right)^n,$$ et $\sum M \left(\frac{r}{\rho}\right)^n$ est une série géométrique convergente ($0 \leq \frac{r}{\rho} < 1$) : d'où la convergence **normale** sur $[a, b]$, indépendante du point $x$. C'est l'outil central : toutes les propriétés de régularité ci-dessous s'en déduisent en appliquant les théorèmes sur les séries de fonctions (continuité, intégration, dérivation). #### 2. Continuité de la somme sur l'intervalle ouvert **Théorème** : la somme $S$ d'une série entière est **continue sur $]-R, R[$**. *Preuve* : les polynômes partiels $S_N(x) = \sum_{n=0}^{N} a_n x^n$ sont continus, et ils convergent **uniformément** sur tout segment $[a, b] \subset \,]-R, R[$ (convergence normale, section 1) : la limite uniforme de fonctions continues est continue. Comme tout point de $]-R, R[$ est intérieur à un tel segment, $S$ est continue en tout point de $]-R, R[$. #### 3. Primitivation d'une série entière **Théorème** : la série entière **primitivée** $$G(x) = \sum_{n \geq 0} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}$$ a le **même rayon de convergence** $R$ que $\sum a_n x^n$, et $G$ est une **primitive** de $S$ sur $]-R, R[$ : $G'(x) = S(x)$ pour tout $x \in \,]-R, R[$. La primitivation se fait **terme à terme** ($\int_0^x t^n dt = \frac{x^{n+1}}{n+1}$), et l'égalité des rayons vient du fait que multiplier les coefficients par $\frac{1}{n+1}$ ne change pas le caractère borné des suites $(a_n r^n)$ (les facteurs $n$ et $\frac{1}{n+1}$ sont « absorbés », voir §6). Conséquence : toute série entière de rayon $R > 0$ admet des primitives sur $]-R, R[$, toutes de la forme $G + c$ ; en particulier on peut intégrer terme à terme sur tout segment : $$\int_a^b S(t)\,dt = \sum_{n \geq 0} a_n \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1}.$$ #### 4. Caractère $\mathcal{C}^{\infty}$ et dérivation terme à terme **Théorème** : la somme $S$ d'une série entière de rayon $R > 0$ est de **classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $]-R, R[$**, et pour tout $k \geq 0$ : $$S^{(k)}(x) = \sum_{n \geq k} n(n-1)\cdots(n-k+1)\, a_n\, x^{n-k} = \sum_{n \geq k} \frac{n!}{(n-k)!}\, a_n\, x^{n-k},$$ la série dérivée étant elle-même une série entière de **même rayon $R$** (voir §6), normalement convergente sur tout segment de $]-R, R[$. *Preuve* : la série dérivée $\sum_{n \geq 1} n a_n x^{n-1}$ a le même rayon $R$ ; elle converge normalement sur tout segment de $]-R, R[$ (section 1) ; les polynômes partiels $S_N$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ et leurs dérivées $\sum_{n=1}^{N} n a_n x^{n-1}$ convergent uniformément sur tout segment : le théorème de dérivation des limites donne $S' = \sum n a_n x^{n-1}$ sur $]-R, R[$. La récurrence sur $k$ conclut au caractère $\mathcal{C}^{\infty}$. **Exemples** : $\sum \frac{x^n}{n!}$ de somme $\exp$ ($R = +\infty$, $S' = S$) ; $\sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ de somme $\sin$ ; $\sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ de somme $\cos$. #### 5. Coefficients et dérivées successives en 0 **Théorème (unicité des coefficients)** : si $S(x) = \sum_{n \geq 0} a_n x^n$ est de rayon $R > 0$, alors pour tout $n \geq 0$ : $$a_n = \frac{S^{(n)}(0)}{n!}.$$ *Preuve* : en évaluant la série dérivée d'ordre $k$ en $0$, tous les termes s'annulent sauf celui d'ordre $k$ : $S^{(k)}(0) = k!\, a_k$. Conséquences : - **unicité du développement en série entière** : deux séries entières de rayon $> 0$ qui coïncident sur un intervalle contenant $0$ ont les mêmes coefficients ; - la série entière de somme $S$ est nécessairement la **série de Taylor** de $S$ en $0$ ; - *attention* : une fonction de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ n'admet pas forcément un développement en série entière (l'exemple classique $x \mapsto e^{-1/x^2}$ prolongé par $0$ en $0$ a toutes ses dérivées nulles en $0$ sans être nulle) : la série de Taylor peut converger vers autre chose que la fonction. #### 6. Relation $R\left(\sum a_n x^n\right) = R\left(\sum n a_n x^n\right)$ **Théorème** : la série dérivée (et la série primitivée) d'une série entière a le **même rayon de convergence** que la série initiale : $$R\left(\sum_{n \geq 1} n\, a_n x^{n-1}\right) = R\left(\sum_{n \geq 0} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}\right) = R\left(\sum_{n \geq 0} a_n x^n\right) = R.$$ *Preuve* (pour la série dérivée) : - $R_{d} \leq R$ : si $(n a_n r^n)$ est bornée, alors $(a_n r^n) = \frac{1}{n}(n a_n r^n)$ l'est aussi, donc $r \leq R$ ; - $R_{d} \geq R$ : soit $r < R$ ; choisissons $\rho$ avec $r < \rho < R$. La suite $\left(n \left(\frac{r}{\rho}\right)^{n-1}\right)$ est bornée (croissances comparées), et $$|n\, a_n r^{n-1}| = n \left(\frac{r}{\rho}\right)^{n-1} |a_n| \rho^{n-1} \leq C\, |a_n| \rho^{n-1},$$ avec $\sum |a_n| \rho^{n-1} < +\infty$ (convergence absolue dans l'intervalle ouvert) : la suite $(n a_n r^{n-1})$ est bornée, donc $r \leq R_d$. D'où l'égalité. Même raisonnement pour la primitivation (le facteur $\frac{1}{n+1}$ est encore « absorbé »). #### 7. Exemple récapitulatif Soit $S(x) = \sum_{n \geq 1} \frac{x^n}{n}$ (rayon $R = 1$ par d'Alembert : $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{n}{n+1} \to 1$). - **Convergence normale sur tout segment** $[-r, r] \subset \,]-1, 1[$ (section 1) ; en $x = 1$, divergence (harmonique) ; en $x = -1$, convergence (série alternée) : $S(-1) = -\ln 2$. - **Somme** : sur $]-1, 1[$, $S(x) = -\ln(1 - x)$ (reconnue comme primitive de $\sum x^n = \frac{1}{1-x}$). - **Dérivation terme à terme** : $S'(x) = \sum_{n \geq 1} x^{n-1} = \frac{1}{1-x}$ sur $]-1, 1[$ (la série dérivée $\sum n x^{n-1}$ a le même rayon $1$). - **Coefficients** : $a_n = \frac{1}{n} = \frac{S^{(n)}(0)}{n!}$, donc $S^{(n)}(0) = (n-1)!$ — cohérent avec les dérivées de $-\ln(1-x)$ en $0$. - **Primitivation** : $\sum_{n \geq 1} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$ est une primitive de $S$ sur $]-1, 1[$, de rayon $1$.