Séries entières

#### 1. Série entière de la variable réelle, de la variable complexe Une **série entière** est une série de fonctions de la forme $$\sum_{n \geq 0} a_n z^n, \qquad (a_n) \in \mathbb{K}^{\mathbb{N}},$$ où $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ (variable réelle, $z = x$) ou $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ (variable complexe). Le terme général dépend de $z$ : le comportement de la série (convergence absolue, divergence) dépend du module $|z|$ — c'est tout l'objet du rayon de convergence. #### 2. Lemme d'Abel et définition du rayon de convergence **Lemme d'Abel** : s'il existe $z_0$ tel que la suite $(a_n z_0^n)$ soit **bornée**, alors pour tout $z$ tel que $|z| < |z_0|$, la série $\sum a_n z^n$ est **absolument convergente**. *Preuve* : posons $M = \sup_n |a_n z_0^n|$ ; alors $$|a_n z^n| = |a_n z_0^n| \cdot \left|\frac{z}{z_0}\right|^n \leq M \left|\frac{z}{z_0}\right|^n,$$ et $\sum M \left|\frac{z}{z_0}\right|^n$ est une série géométrique convergente. **Définition du rayon de convergence** : $$R = \sup\{r \in \mathbb{R}_+ \mid (a_n r^n) \text{ est bornée}\} \;\in\; [0, +\infty].$$ Le lemme d'Abel montre que $\sum a_n z^n$ converge absolument pour $|z| < R$ (en prenant $z_0$ de module $r$ avec $|z| < r < R$). #### 3. Convergence absolue si $|z| < R$, divergence grossière si $|z| > R$ **Théorème** : - si $|z| < R$, la série $\sum a_n z^n$ **converge absolument** ; - si $|z| > R$, la suite $(a_n z^n)$ n'est **pas bornée** (sinon $|z|$ contredirait la définition de $R$ comme borne supérieure), donc le terme général $a_n z^n$ **ne tend pas vers $0$** : la série **diverge grossièrement** ; - sur le cercle $|z| = R$ : **tous les comportements sont possibles** (à étudier au cas par cas). Cas extrêmes : $R = +\infty$ (convergence absolue pour tout $z$) ; $R = 0$ (aucune convergence hors $z = 0$). #### 4. Intervalle ouvert et disque ouvert de convergence - **Variable complexe** : la série converge absolument sur le **disque ouvert** $\{z \in \mathbb{C} \mid |z| < R\}$ (et diverge grossièrement en dehors du disque fermé). - **Variable réelle** : la série converge absolument sur l'**intervalle ouvert de convergence** $]-R, R[$. - Aux bornes ($x = \pm R$ en variable réelle) : à étudier séparément, chaque série ayant son comportement propre. Exemples avec $R = 1$ : $\sum x^n$ diverge en $x = \pm 1$ ; $\sum \frac{x^n}{n^2}$ converge en $x = \pm 1$ ; $\sum \frac{x^n}{n}$ converge en $-1$, diverge en $+1$. #### 5. Rayon et domination / équivalence des coefficients Soient $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ de rayons $R_a$ et $R_b$ : - **si $a_n = O(b_n)$, alors $R_a \geq R_b$** : en effet, si $(b_n r^n)$ est bornée, alors $|a_n r^n| \leq C |b_n r^n|$ est bornée, donc $r \leq R_a$ pour tout $r \leq R_b$, d'où $R_b \leq R_a$ ; - **si $a_n \sim b_n$, alors $R_a = R_b$** (équivalence = domination dans les deux sens) ; - le résultat s'applique en particulier si $a_n = o(b_n)$ (ce qui donne aussi $R_a \geq R_b$). **Exemple du cours** : pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$, $$R\left(\sum_{n \geq 0} n^{\alpha} x^n\right) = 1,$$ car la suite $(n^{\alpha} r^n)$ est bornée si et seulement si $0 \leq r \leq 1$ (croissances comparées : pour $r > 1$, $r^n$ l'emporte sur $n^{\alpha}$ ; pour $r \leq 1$, $n^{\alpha} r^n \leq n^{|\alpha|}$ sur $\{n : r = 1\}$... plus précisément bornée car $n^{\alpha}$ croît polynomialement et $r^n$ décroît géométriquement quand $r < 1$). #### 6. Application de la règle de d'Alembert au calcul du rayon Si $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \to \ell$ (avec $\ell \in [0, +\infty]$), alors $$R = \frac{1}{\ell} \quad \text{(conventions : } \frac{1}{0} = +\infty, \ \frac{1}{+\infty} = 0).$$ *Preuve* : on applique d'Alembert à la série numérique $\sum |a_n|\,|z|^n$ de rapport $$\frac{|a_{n+1}|\,|z|^{n+1}}{|a_n|\,|z|^n} \to \ell\,|z| :$$ convergence si $\ell |z| < 1$ (i.e. $|z| < 1/\ell$), divergence grossière si $\ell |z| > 1$ ; d'où le rayon. Exemples : $\sum \frac{x^n}{n!}$ : $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{1}{n+1} \to 0$, donc $R = +\infty$ ; $\sum n!\, x^n$ : $\frac{a_{n+1}}{a_n} = n+1 \to +\infty$, donc $R = 0$ ; $\sum \frac{x^n}{n}$ : $\to 1$, donc $R = 1$. #### 7. Rayon de convergence de la somme et du produit de Cauchy Soient $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ de rayons $R_a$ et $R_b$ : - **Somme** $\sum (a_n + b_n) z^n$ : $R_s \geq \min(R_a, R_b)$. De plus, si $R_a \neq R_b$, alors $R_s = \min(R_a, R_b)$ (la série de plus petit rayon impose sa divergence grossière au-delà). *Attention* : si $R_a = R_b$, l'égalité peut échouer par **cancellation** : pour $a_n = 1 + 2^n$, $b_n = -2^n$ (tous deux de rayon $\frac{1}{2}$), $a_n + b_n = 1$ donne $R_s = 1 > \frac{1}{2}$. - **Produit de Cauchy** $\sum c_n z^n$ avec $c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}$ : $R_c \geq \min(R_a, R_b)$, car sur $|z| < \min(R_a, R_b)$ les deux séries convergent absolument, donc leur produit de Cauchy aussi (théorème du produit de Cauchy) ; égalité si $R_a \neq R_b$. *Exemple* : $(1 + z)(1 - z) = 1 - z^2$ : $R_a = R_b = 1$ et $R_c = 1$. #### 8. Exemple récapitulatif | Série | Coefficients | Rayon | Comportement aux bornes ($R = 1$) | |---|---|---|---| | $\sum n^{\alpha} x^n$ | $a_n = n^{\alpha}$ | $1$ | converge aux deux bornes si $\alpha < 0$, seulement en $-1$ si $-1 < \alpha < 0$... (à vérifier au cas par cas) | | $\sum \frac{x^n}{n!}$ | $\frac{1}{n!}$ | $+\infty$ | — | | $\sum n!\, x^n$ | $n!$ | $0$ | — | | $\sum \frac{x^n}{n}$ | $\frac{1}{n}$ | $1$ | converge en $-1$ (alternée), diverge en $+1$ | | $\sum \frac{x^n}{n^2}$ | $\frac{1}{n^2}$ | $1$ | converge en $\pm 1$ | Calculs de rayon par d'Alembert : $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \to \ell$ donne $R = 1/\ell$.

Dans toute la fiche, $\sum_{n \geq 0} a_n x^n$ désigne une série entière réelle de **rayon de convergence $R > 0$**, de somme $S$ définie sur l'**intervalle ouvert de convergence** $]-R, R[$. #### 1. Convergence normale sur tout segment inclus dans l'intervalle ouvert **Théorème** : pour tout segment $[a, b] \subset \,]-R, R[$, la série entière $\sum a_n x^n$ **converge normalement** sur $[a, b]$. *Preuve* : posons $r = \max(|a|, |b|) < R$ et choisissons $\rho$ tel que $r < \rho < R$. La série $\sum |a_n| \rho^n$ converge (convergence absolue dans l'intervalle ouvert), donc la suite $(a_n \rho^n)$ tend vers $0$ et est **bornée** : soit $M$ tel que $|a_n| \rho^n \leq M$. Alors, pour $x \in [a, b]$ : $$|a_n x^n| \leq \frac{M}{\rho^n}\, r^n = M \left(\frac{r}{\rho}\right)^n,$$ et $\sum M \left(\frac{r}{\rho}\right)^n$ est une série géométrique convergente ($0 \leq \frac{r}{\rho} < 1$) : d'où la convergence **normale** sur $[a, b]$, indépendante du point $x$. C'est l'outil central : toutes les propriétés de régularité ci-dessous s'en déduisent en appliquant les théorèmes sur les séries de fonctions (continuité, intégration, dérivation). #### 2. Continuité de la somme sur l'intervalle ouvert **Théorème** : la somme $S$ d'une série entière est **continue sur $]-R, R[$**. *Preuve* : les polynômes partiels $S_N(x) = \sum_{n=0}^{N} a_n x^n$ sont continus, et ils convergent **uniformément** sur tout segment $[a, b] \subset \,]-R, R[$ (convergence normale, section 1) : la limite uniforme de fonctions continues est continue. Comme tout point de $]-R, R[$ est intérieur à un tel segment, $S$ est continue en tout point de $]-R, R[$. #### 3. Primitivation d'une série entière **Théorème** : la série entière **primitivée** $$G(x) = \sum_{n \geq 0} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}$$ a le **même rayon de convergence** $R$ que $\sum a_n x^n$, et $G$ est une **primitive** de $S$ sur $]-R, R[$ : $G'(x) = S(x)$ pour tout $x \in \,]-R, R[$. La primitivation se fait **terme à terme** ($\int_0^x t^n dt = \frac{x^{n+1}}{n+1}$), et l'égalité des rayons vient du fait que multiplier les coefficients par $\frac{1}{n+1}$ ne change pas le caractère borné des suites $(a_n r^n)$ (les facteurs $n$ et $\frac{1}{n+1}$ sont « absorbés », voir §6). Conséquence : toute série entière de rayon $R > 0$ admet des primitives sur $]-R, R[$, toutes de la forme $G + c$ ; en particulier on peut intégrer terme à terme sur tout segment : $$\int_a^b S(t)\,dt = \sum_{n \geq 0} a_n \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1}.$$ #### 4. Caractère $\mathcal{C}^{\infty}$ et dérivation terme à terme **Théorème** : la somme $S$ d'une série entière de rayon $R > 0$ est de **classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $]-R, R[$**, et pour tout $k \geq 0$ : $$S^{(k)}(x) = \sum_{n \geq k} n(n-1)\cdots(n-k+1)\, a_n\, x^{n-k} = \sum_{n \geq k} \frac{n!}{(n-k)!}\, a_n\, x^{n-k},$$ la série dérivée étant elle-même une série entière de **même rayon $R$** (voir §6), normalement convergente sur tout segment de $]-R, R[$. *Preuve* : la série dérivée $\sum_{n \geq 1} n a_n x^{n-1}$ a le même rayon $R$ ; elle converge normalement sur tout segment de $]-R, R[$ (section 1) ; les polynômes partiels $S_N$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ et leurs dérivées $\sum_{n=1}^{N} n a_n x^{n-1}$ convergent uniformément sur tout segment : le théorème de dérivation des limites donne $S' = \sum n a_n x^{n-1}$ sur $]-R, R[$. La récurrence sur $k$ conclut au caractère $\mathcal{C}^{\infty}$. **Exemples** : $\sum \frac{x^n}{n!}$ de somme $\exp$ ($R = +\infty$, $S' = S$) ; $\sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ de somme $\sin$ ; $\sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ de somme $\cos$. #### 5. Coefficients et dérivées successives en 0 **Théorème (unicité des coefficients)** : si $S(x) = \sum_{n \geq 0} a_n x^n$ est de rayon $R > 0$, alors pour tout $n \geq 0$ : $$a_n = \frac{S^{(n)}(0)}{n!}.$$ *Preuve* : en évaluant la série dérivée d'ordre $k$ en $0$, tous les termes s'annulent sauf celui d'ordre $k$ : $S^{(k)}(0) = k!\, a_k$. Conséquences : - **unicité du développement en série entière** : deux séries entières de rayon $> 0$ qui coïncident sur un intervalle contenant $0$ ont les mêmes coefficients ; - la série entière de somme $S$ est nécessairement la **série de Taylor** de $S$ en $0$ ; - *attention* : une fonction de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ n'admet pas forcément un développement en série entière (l'exemple classique $x \mapsto e^{-1/x^2}$ prolongé par $0$ en $0$ a toutes ses dérivées nulles en $0$ sans être nulle) : la série de Taylor peut converger vers autre chose que la fonction. #### 6. Relation $R\left(\sum a_n x^n\right) = R\left(\sum n a_n x^n\right)$ **Théorème** : la série dérivée (et la série primitivée) d'une série entière a le **même rayon de convergence** que la série initiale : $$R\left(\sum_{n \geq 1} n\, a_n x^{n-1}\right) = R\left(\sum_{n \geq 0} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}\right) = R\left(\sum_{n \geq 0} a_n x^n\right) = R.$$ *Preuve* (pour la série dérivée) : - $R_{d} \leq R$ : si $(n a_n r^n)$ est bornée, alors $(a_n r^n) = \frac{1}{n}(n a_n r^n)$ l'est aussi, donc $r \leq R$ ; - $R_{d} \geq R$ : soit $r < R$ ; choisissons $\rho$ avec $r < \rho < R$. La suite $\left(n \left(\frac{r}{\rho}\right)^{n-1}\right)$ est bornée (croissances comparées), et $$|n\, a_n r^{n-1}| = n \left(\frac{r}{\rho}\right)^{n-1} |a_n| \rho^{n-1} \leq C\, |a_n| \rho^{n-1},$$ avec $\sum |a_n| \rho^{n-1} < +\infty$ (convergence absolue dans l'intervalle ouvert) : la suite $(n a_n r^{n-1})$ est bornée, donc $r \leq R_d$. D'où l'égalité. Même raisonnement pour la primitivation (le facteur $\frac{1}{n+1}$ est encore « absorbé »). #### 7. Exemple récapitulatif Soit $S(x) = \sum_{n \geq 1} \frac{x^n}{n}$ (rayon $R = 1$ par d'Alembert : $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{n}{n+1} \to 1$). - **Convergence normale sur tout segment** $[-r, r] \subset \,]-1, 1[$ (section 1) ; en $x = 1$, divergence (harmonique) ; en $x = -1$, convergence (série alternée) : $S(-1) = -\ln 2$. - **Somme** : sur $]-1, 1[$, $S(x) = -\ln(1 - x)$ (reconnue comme primitive de $\sum x^n = \frac{1}{1-x}$). - **Dérivation terme à terme** : $S'(x) = \sum_{n \geq 1} x^{n-1} = \frac{1}{1-x}$ sur $]-1, 1[$ (la série dérivée $\sum n x^{n-1}$ a le même rayon $1$). - **Coefficients** : $a_n = \frac{1}{n} = \frac{S^{(n)}(0)}{n!}$, donc $S^{(n)}(0) = (n-1)!$ — cohérent avec les dérivées de $-\ln(1-x)$ en $0$. - **Primitivation** : $\sum_{n \geq 1} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$ est une primitive de $S$ sur $]-1, 1[$, de rayon $1$.

#### 1. Fonction développable en série entière sur $]-r, r[$ Une fonction $f : \,]-r, r[ \to \mathbb{K}$ est **développable en série entière (DSE)** sur $]-r, r[$ s'il existe une suite $(a_n) \in \mathbb{K}^{\mathbb{N}}$ telle que $$f(x) = \sum_{n \geq 0} a_n x^n \quad \text{pour tout } x \in \,]-r, r[.$$ La somme d'une série entière de rayon $\geq r$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $]-r, r[$ ; en particulier **toute fonction DSE est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$** sur $]-r, r[$, et ses coefficients vérifient nécessairement $a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$. #### 2. Série de Taylor d'une fonction de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ Pour $f$ de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ au voisinage de $0$, la **série de Taylor** de $f$ en $0$ est la série entière $$\sum_{n \geq 0} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\, x^n.$$ $f$ est développable en série entière sur $]-r, r[$ **si et seulement si** cette série a un rayon de convergence $\geq r$ **et** sa somme coïncide avec $f$ sur $]-r, r[$, c'est-à-dire si le reste de Taylor tend vers $0$. **Attention** : la classe $\mathcal{C}^{\infty}$ **ne suffit pas** : la fonction $f(x) = e^{-1/x^2}$ (prolongée par $f(0) = 0$) est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ avec $f^{(n)}(0) = 0$ pour tout $n$ : sa série de Taylor est nulle et ne redonne pas $f$. #### 3. Formule de Taylor avec reste intégral Pour $f$ de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur un voisinage de $0$ et $x$ dans ce voisinage : $$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}\, x^k + R_n(x), \qquad R_n(x) = \int_0^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}\, (x - t)^n\, dt.$$ Majoration utile : si $|f^{(n+1)}(t)| \leq M$ sur $[0, x]$, alors $$|R_n(x)| \leq \frac{M\, |x|^{n+1}}{(n+1)!}.$$ **Critère pratique de DSE** : si $\frac{|f^{(n+1)}(t)|}{(n+1)!}|x|^{n+1} \to 0$ uniformément (par exemple $|f^{(n+1)}| \leq M^{n+1}$ sur le segment), alors $R_n(x) \to 0$ et $f$ est DSE au voisinage de $0$. #### 4. Unicité du développement en série entière **Théorème** : si $f(x) = \sum a_n x^n = \sum b_n x^n$ sur $]-r, r[$ (avec $r > 0$), alors $a_n = b_n$ pour tout $n$ ; de plus $a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$. *Preuve* : les deux séries ont la même somme, donc $a_n = \frac{S^{(n)}(0)}{n!} = b_n$ (caractérisation des coefficients par les dérivées successives en $0$ d'une série entière). Conséquence : **le** DSE d'une fonction, s'il existe, est sa série de Taylor — il n'y a pas à le « deviner » autrement. #### 5. Développements des fonctions usuelles | Fonction | DSE | Domaine | |---|---|---| | $e^x$ | $\sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n!}$ | $x \in \mathbb{R}$ | | $\cos x$ | $\sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ | $x \in \mathbb{R}$ | | $\sin x$ | $\sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ | $x \in \mathbb{R}$ | | $\mathrm{ch}\, x$ | $\sum_{n \geq 0} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ | $x \in \mathbb{R}$ | | $\mathrm{sh}\, x$ | $\sum_{n \geq 0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ | $x \in \mathbb{R}$ | | $\arctan x$ | $\sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$ | $|x| \leq 1$ | | $\ln(1+x)$ | $\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n}\, x^n$ | $-1 < x \leq 1$ | | $(1+x)^{\alpha}$ | $1 + \sum_{n \geq 1} \binom{\alpha}{n} x^n$, $\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$ | $|x| < 1$ | Méthodes : formule de Taylor avec reste intégral (exp, cos, sin : reste majoré par $\frac{M^{n+1}|x|^{n+1}}{(n+1)!} \to 0$) ; dérivation/primitivation terme à terme (arctan = primitive de $\frac{1}{1+x^2} = \sum (-1)^n x^{2n}$ ; $\ln(1+x)$ = primitive de $\frac{1}{1+x} = \sum (-1)^n x^n$) ; binôme généralisé pour $(1+x)^{\alpha}$ (équation différentielle ou reste intégral). #### 6. Développement en série entière à l'aide d'une équation différentielle linéaire **Méthode** : pour développer $f$ solution d'une équation différentielle linéaire (par exemple $y' = a(x) y + b(x)$ ou $y'' + p(x) y' + q(x) y = 0$ avec $p, q$ polynomiales), on : 1. pose $y(x) = \sum_{n \geq 0} a_n x^n$ (série entière indéterminée) ; 2. écrit les équations des dérivées terme à terme (dérivation/primitivation légitimes) ; 3. **identifie les coefficients** par puissances croissantes de $x$, ce qui donne des relations de récurrence sur les $(a_n)$, les premiers coefficients étant fixés par les **conditions initiales** ; 4. détermine le rayon de convergence de la série obtenue et vérifie qu'elle satisfait l'équation. *Exemple* : $y' = y$, $y(0) = 1$. En posant $y = \sum a_n x^n$ : $\sum_{n \geq 0} (n+1) a_{n+1} x^n = \sum_{n \geq 0} a_n x^n$, d'où $(n+1) a_{n+1} = a_n$, soit $a_n = \frac{a_0}{n!} = \frac{1}{n!}$ : $y(x) = \sum \frac{x^n}{n!} = e^x$ (rayon $+\infty$ par d'Alembert). #### 7. Unicité de la solution d'un problème de Cauchy adapté **Théorème** : le **problème de Cauchy linéaire** $$y' = a(x)\, y + b(x), \qquad y(x_0) = y_0,$$ avec $a, b$ **continues** sur un intervalle $I$ contenant $x_0$, admet une **unique** solution définie sur $I$. **Utilisation dans la méthode des séries entières** : le système de récurrence sur les coefficients $(a_n)$ (issues de l'identification) détermine **tous** les $a_n$ à partir des conditions initiales ; comme le DSE obtenu converge et résout l'équation avec les bonnes conditions initiales, il est, **par unicité du problème de Cauchy**, la solution cherchée. Ainsi l'identification + unicité justifient que le DSE trouvé est bien la fonction visée (et pas une simple solution formelle). *Exemple* : $y'' + y = 0$, $y(0) = 0$, $y'(0) = 1$. Identification : $(n+2)(n+1) a_{n+2} + a_n = 0$, $a_0 = 0$, $a_1 = 1$, d'où $a_{2p} = 0$ et $a_{2p+1} = \frac{(-1)^p}{(2p+1)!}$ : $y(x) = \sum_{p \geq 0} \frac{(-1)^p x^{2p+1}}{(2p+1)!} = \sin x$ (rayon $+\infty$), et c'est l'unique solution du problème de Cauchy. #### 8. Exemple récapitulatif Développons $f(x) = \arctan x$ : $f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} = \sum_{n \geq 0} (-1)^n x^{2n}$ pour $|x| < 1$ (série géométrique). Par **primitivation terme à terme** (légitime : convergence normale sur tout segment de $]-1, 1[$) : $$\arctan x = \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}, \quad |x| < 1,$$ avec convergence en $x = \pm 1$ (séries alternées) — d'où la formule $\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots$. L'unicité du DSE garantit qu'aucun autre développement n'est possible sur $]-1, 1[$.

Dans cette fiche, $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ et $z$ désigne une variable complexe. #### 1. Continuité de la somme sur le disque ouvert de convergence **Théorème** : soit $\sum_{n \geq 0} a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R > 0$ et $S(z) = \sum_{n \geq 0} a_n z^n$ sa somme sur le **disque ouvert de convergence** $D = \{z \in \mathbb{C} \mid |z| < R\}$. Alors $S$ est **continue sur $D$**. *Preuve* : la série entière converge **normalement sur tout disque fermé** $\bar{D}_r = \{z \mid |z| \leq r\}$ avec $r < R$ : en effet, en choisissant $\rho$ avec $r < \rho < R$, la suite $(a_n \rho^n)$ est bornée (elle tend vers $0$), donc $|a_n z^n| \leq |a_n| r^n \leq M \left(\frac{r}{\rho}\right)^n$ pour $|z| \leq r$, et $\sum M \left(\frac{r}{\rho}\right)^n$ converge. La convergence normale implique la convergence uniforme sur $\bar{D}_r$, et les polynômes partiels sont continus : la somme est continue sur chaque $\bar{D}_r$, donc sur $D$ tout entier (tout point de $D$ est intérieur à un tel disque fermé). **En pratique** : pour étudier $S$ en un point $z_0 \in D$, on travaille sur un disque fermé de rayon $r$ avec $|z_0| < r < R$. #### 2. Développement de $\frac{1}{1-z}$ sur le disque unité ouvert **Théorème** : la série géométrique complexe $$\sum_{n \geq 0} z^n$$ a pour rayon de convergence $R = 1$ (d'Alembert : $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = 1$), et pour tout $z$ du **disque unité ouvert** $|z| < 1$ : $$\sum_{n \geq 0} z^n = \frac{1}{1 - z}.$$ *Preuve* : pour $N \in \mathbb{N}$, $\sum_{n=0}^{N} z^n = \frac{1 - z^{N+1}}{1 - z}$ ; si $|z| < 1$, $z^{N+1} \to 0$ (car $|z^{N+1}| = |z|^{N+1} \to 0$), d'où la limite $\frac{1}{1-z}$. Pour $|z| \geq 1$, le terme général $z^n$ ne tend pas vers $0$ (son module vaut $|z|^n \geq 1$) : la série **diverge grossièrement**. Ce développement est **unique** : c'est le DSE de $\frac{1}{1-z}$ en $0$. **Utilisations** : développer $\frac{1}{1+z} = \sum (-1)^n z^n$, $\frac{1}{1 - z^2} = \sum z^{2n}$, $\frac{z}{(1-z)^2} = \sum_{n \geq 1} n z^n$ (dérivation terme à terme), ou démontrer les développements de $\frac{1}{1+x^2}$ et de $\arctan$ en variable réelle. #### 3. Développement de $\exp(z)$ sur $\mathbb{C}$ **Théorème** : la série exponentielle complexe $$\exp(z) = \sum_{n \geq 0} \frac{z^n}{n!}$$ a un rayon de convergence **infini** (d'Alembert : $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{1}{n+1} \to 0$) : elle **converge absolument pour tout $z \in \mathbb{C}$**, et sa somme — l'**exponentielle complexe** — est **continue sur $\mathbb{C}$** (théorème de la section 1, valable sur tout disque fermé). Propriétés obtenues par les séries entières : - **Dérivation terme à terme** : $\exp'(z) = \sum_{n \geq 1} \frac{z^{n-1}}{(n-1)!} = \exp(z)$ (même rayon pour la série dérivée), et $\exp(0) = 1$ ; - **Équation fonctionnelle** : par le **produit de Cauchy** de deux séries absolument convergentes, $$\exp(a)\exp(b) = \sum_{n \geq 0}\left(\sum_{k=0}^{n} \frac{a^k}{k!}\,\frac{b^{n-k}}{(n-k)!} \right) = \sum_{n \geq 0} \frac{(a+b)^n}{n!} = \exp(a + b),$$ le coefficient intérieur étant $\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k} = \frac{(a+b)^n}{n!}$ (binôme) ; - **Lien avec les fonctions réelles** : pour $\theta \in \mathbb{R}$, $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ (les parties réelle et imaginaire de la série complexe sont les séries réelles de $\cos$ et $\sin$), d'où $|e^{i\theta}| = 1$ et la formule de Moivre ; - $\exp(\bar{z}) = \overline{\exp(z)}$, $\exp(z) \neq 0$ pour tout $z$ (car $\exp(z)\exp(-z) = \exp(0) = 1$). #### 4. Exemple récapitulatif - $\frac{1}{1-z}$ : DSE $\sum z^n$ sur $|z| < 1$ ; en $z = \frac{i}{2}$, $\sum \left(\frac{i}{2}\right)^n = \frac{1}{1 - i/2} = \frac{4 + 2i}{5}$ (convergence absolue, $\left|\frac{i}{2}\right| = \frac{1}{2} < 1$). - $\exp(i) = \sum_{n \geq 0} \frac{i^n}{n!}$ : convergence absolue ($R = +\infty$) ; $\exp(i) = \cos 1 + i \sin 1 \approx 0{,}540 + 0{,}841\,i$. - Somme $\sum_{n \geq 0} \frac{z^n}{n!}$ en $z$ et $\bar{z}$ : $\exp(z)\exp(\bar{z}) = \exp(z + \bar{z}) = \exp(2\mathrm{Re}\,z) = |\exp(z)|^2$, ce qui redonne $|\exp(z)| = e^{\mathrm{Re}\,z}$ (module de l'exponentielle complexe).

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