Séries géométrique et exponentielle d'une variable complexe

Dans cette fiche, $\mathbb{K} = \mathbb{C}$ et $z$ désigne une variable complexe. #### 1. Continuité de la somme sur le disque ouvert de convergence **Théorème** : soit $\sum_{n \geq 0} a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R > 0$ et $S(z) = \sum_{n \geq 0} a_n z^n$ sa somme sur le **disque ouvert de convergence** $D = \{z \in \mathbb{C} \mid |z| < R\}$. Alors $S$ est **continue sur $D$**. *Preuve* : la série entière converge **normalement sur tout disque fermé** $\bar{D}_r = \{z \mid |z| \leq r\}$ avec $r < R$ : en effet, en choisissant $\rho$ avec $r < \rho < R$, la suite $(a_n \rho^n)$ est bornée (elle tend vers $0$), donc $|a_n z^n| \leq |a_n| r^n \leq M \left(\frac{r}{\rho}\right)^n$ pour $|z| \leq r$, et $\sum M \left(\frac{r}{\rho}\right)^n$ converge. La convergence normale implique la convergence uniforme sur $\bar{D}_r$, et les polynômes partiels sont continus : la somme est continue sur chaque $\bar{D}_r$, donc sur $D$ tout entier (tout point de $D$ est intérieur à un tel disque fermé). **En pratique** : pour étudier $S$ en un point $z_0 \in D$, on travaille sur un disque fermé de rayon $r$ avec $|z_0| < r < R$. #### 2. Développement de $\frac{1}{1-z}$ sur le disque unité ouvert **Théorème** : la série géométrique complexe $$\sum_{n \geq 0} z^n$$ a pour rayon de convergence $R = 1$ (d'Alembert : $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = 1$), et pour tout $z$ du **disque unité ouvert** $|z| < 1$ : $$\sum_{n \geq 0} z^n = \frac{1}{1 - z}.$$ *Preuve* : pour $N \in \mathbb{N}$, $\sum_{n=0}^{N} z^n = \frac{1 - z^{N+1}}{1 - z}$ ; si $|z| < 1$, $z^{N+1} \to 0$ (car $|z^{N+1}| = |z|^{N+1} \to 0$), d'où la limite $\frac{1}{1-z}$. Pour $|z| \geq 1$, le terme général $z^n$ ne tend pas vers $0$ (son module vaut $|z|^n \geq 1$) : la série **diverge grossièrement**. Ce développement est **unique** : c'est le DSE de $\frac{1}{1-z}$ en $0$. **Utilisations** : développer $\frac{1}{1+z} = \sum (-1)^n z^n$, $\frac{1}{1 - z^2} = \sum z^{2n}$, $\frac{z}{(1-z)^2} = \sum_{n \geq 1} n z^n$ (dérivation terme à terme), ou démontrer les développements de $\frac{1}{1+x^2}$ et de $\arctan$ en variable réelle. #### 3. Développement de $\exp(z)$ sur $\mathbb{C}$ **Théorème** : la série exponentielle complexe $$\exp(z) = \sum_{n \geq 0} \frac{z^n}{n!}$$ a un rayon de convergence **infini** (d'Alembert : $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{1}{n+1} \to 0$) : elle **converge absolument pour tout $z \in \mathbb{C}$**, et sa somme — l'**exponentielle complexe** — est **continue sur $\mathbb{C}$** (théorème de la section 1, valable sur tout disque fermé). Propriétés obtenues par les séries entières : - **Dérivation terme à terme** : $\exp'(z) = \sum_{n \geq 1} \frac{z^{n-1}}{(n-1)!} = \exp(z)$ (même rayon pour la série dérivée), et $\exp(0) = 1$ ; - **Équation fonctionnelle** : par le **produit de Cauchy** de deux séries absolument convergentes, $$\exp(a)\exp(b) = \sum_{n \geq 0}\left(\sum_{k=0}^{n} \frac{a^k}{k!}\,\frac{b^{n-k}}{(n-k)!} \right) = \sum_{n \geq 0} \frac{(a+b)^n}{n!} = \exp(a + b),$$ le coefficient intérieur étant $\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k} = \frac{(a+b)^n}{n!}$ (binôme) ; - **Lien avec les fonctions réelles** : pour $\theta \in \mathbb{R}$, $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ (les parties réelle et imaginaire de la série complexe sont les séries réelles de $\cos$ et $\sin$), d'où $|e^{i\theta}| = 1$ et la formule de Moivre ; - $\exp(\bar{z}) = \overline{\exp(z)}$, $\exp(z) \neq 0$ pour tout $z$ (car $\exp(z)\exp(-z) = \exp(0) = 1$). #### 4. Exemple récapitulatif - $\frac{1}{1-z}$ : DSE $\sum z^n$ sur $|z| < 1$ ; en $z = \frac{i}{2}$, $\sum \left(\frac{i}{2}\right)^n = \frac{1}{1 - i/2} = \frac{4 + 2i}{5}$ (convergence absolue, $\left|\frac{i}{2}\right| = \frac{1}{2} < 1$). - $\exp(i) = \sum_{n \geq 0} \frac{i^n}{n!}$ : convergence absolue ($R = +\infty$) ; $\exp(i) = \cos 1 + i \sin 1 \approx 0{,}540 + 0{,}841\,i$. - Somme $\sum_{n \geq 0} \frac{z^n}{n!}$ en $z$ et $\bar{z}$ : $\exp(z)\exp(\bar{z}) = \exp(z + \bar{z}) = \exp(2\mathrm{Re}\,z) = |\exp(z)|^2$, ce qui redonne $|\exp(z)| = e^{\mathrm{Re}\,z}$ (module de l'exponentielle complexe).