Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé

#### 1. Convergence et divergence d'une suite Soit $(E, \|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé et $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de $E$. On dit que $(u_n)$ **converge** vers $\ell \in E$ si $$\|u_n - \ell\| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0,$$ c'est-à-dire : $\forall \varepsilon > 0$, $\exists N \in \mathbb{N}$, $\forall n \geq N$, $\|u_n - \ell\| \leq \varepsilon$. Sinon, la suite **diverge**. - **Exemple dans un espace de matrices** : dans $(\mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \|\cdot\|_\infty)$ (norme vue sur $\mathbb{K}^{n^2}$), $A_k \to A$ équivaut à la convergence coefficient par coefficient. Par exemple, pour $A = \begin{pmatrix} 1/2 & 1 \\ 0 & 1/3 \end{pmatrix}$, les puissances $A^k \to \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ (calcul par récurrence des coefficients). - **Exemple dans un espace de fonctions** : dans $(\mathcal{B}([0,1], \mathbb{R}), \|\cdot\|_\infty)$, la suite $f_n(t) = \frac{\sin(nt)}{n}$ converge vers la fonction nulle (car $\|f_n\|_\infty = \frac{1}{n} \to 0$ : convergence uniforme) ; en revanche $g_n(t) = t^n$ converge simplement vers la fonction indicatrice de $\{1\}$, discontinue, donc $(g_n)$ **diverge** dans $(\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R}), \|\cdot\|_\infty)$ car la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue. #### 2. Unicité de la limite, opérations sur les limites **Unicité** : si $u_n \to \ell$ et $u_n \to \ell'$, alors $\| \ell - \ell' \| \leq \| \ell - u_n \| + \|u_n - \ell'\| \to 0$, donc $\ell = \ell'$. **Opérations** (pour des suites convergentes $u_n \to \ell$, $v_n \to m$ et des scalaires $\lambda_n \to \lambda$) : $$u_n + v_n \to \ell + m, \qquad \lambda_n u_n \to \lambda \ell, \qquad \langle u_n, v_n \rangle \to \langle \ell, m \rangle \text{ (espace préhilbertien)},$$ et pour les matrices convergentes $A_k \to A$, $B_k \to B$ : $A_k + B_k \to A + B$ et $A_k B_k \to AB$ (lorsque le produit a un sens, via $\|A_kB_k - AB\| \leq \|A_k\|\|B_k - B\| + \|A_k - A\|\|B\|$ dans une norme sous-multiplicative). #### 3. Une suite convergente est bornée **Théorème** : toute suite convergente dans un espace vectoriel normé est **bornée**. *Preuve* : si $u_n \to \ell$, alors pour $\varepsilon = 1$ il existe $N$ tel que $\|u_n - \ell\| \leq 1$ pour $n \geq N$, donc $\|u_n\| \leq \|\ell\| + 1$ pour $n \geq N$ ; la famille finie $(u_0, \ldots, u_{N-1})$ est bornée par $M = \max_{k < N} \|u_k\|$, et la suite est bornée par $\max(M, \|\ell\| + 1)$. **Contraposée** : une suite non bornée diverge. *Attention* : la réciproque est fausse (la suite $((-1)^n)_{n \geq 1}$ dans $\mathbb{R}$ est bornée mais divergente). #### 4. Toute suite extraite d'une suite convergente est convergente **Théorème** : si $u_n \to \ell$ dans $E$ et si $\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ est strictement croissante, alors la suite extraite $(u_{\varphi(n)})$ converge vers la **même limite** $\ell$. *Preuve* : pour $\varepsilon > 0$, soit $N$ tel que $\|u_n - \ell\| \leq \varepsilon$ pour $n \geq N$ ; comme $\varphi$ est strictement croissante, $\varphi(n) \geq n \geq N$ dès que $n \geq N$, donc $\|u_{\varphi(n)} - \ell\| \leq \varepsilon$. **Corollaire (technique de contraposée)** : si une suite admet deux suites extraites convergeant vers des limites **différentes**, ou si une suite extraite diverge, alors la suite initiale **diverge**. Exemple : dans $\mathbb{R}$, $u_n = (-1)^n$ admet $u_{2n} \to 1$ et $u_{2n+1} \to -1$ : elle diverge.

Une **suite** $(u_n)$ d'un EVN $E$ converge vers $\ell\in E$ si $\|u_n-\ell\|\to0$ (dans $\mathbb{R}$). Les propriétés usuelles des suites réelles s'étendent via la norme.

- **Convergence** : $\|u_n-\ell\|\to0$. - **Unicité** de la limite ; suite convergente **bornée**. - **Opérations** : combinaisons linéaires, continuité. - **Suites extraites** : toute sous-suite d'une suite convergente converge (même limite).

1. **Revenir** à $\|u_n-\ell\|\to0$ (inégalités). 2. **Utiliser** la bornitude et les opérations. 3. **Extraire** des sous-suites. - **Piège classique** : croire que borné $\Rightarrow$ convergent ; oublier que la norme est choisie (choix indifférent en dim finie).

- Dans $\mathbb{R}^n$, $u_n\to\ell$ ssi convergence de chaque coordonnée. ```mermaid graph TD S["Suite (u_n) dans un EVN"] --> C["||u_n - l|| -> 0"] C --> U["Unicite de la limite"] C --> BO["Suite convergente bornee"] ```