Suites et séries de fonctions

#### 1. Technique de comparaison série-intégrale Soit $f : [n_0, +\infty[ \to \mathbb{R}_+$ **positive, décroissante et continue**. Alors, pour $n \geq n_0$ : $$\int_{n_0+1}^{n+1} f(t)\,dt \;\leq\; \sum_{k=n_0+1}^{n} f(k) \;\leq\; \int_{n_0}^{n} f(t)\,dt.$$ *Preuve* : sur $[k-1, k]$, $f(t) \geq f(k)$, donc $\int_{k-1}^{k} f \geq f(k)$ ; sur $[k, k+1]$, $f(t) \leq f(k)$, donc $\int_k^{k+1} f \leq f(k)$ ; on somme ces encadrements. **Conséquence** : la série $\sum f(k)$ converge si et seulement si l'intégrale $\int f$ converge. Application : la **série de Riemann** $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$ ; pour $\alpha = 1$, $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln n \to \gamma$ (constante d'Euler). #### 2. Formule de Stirling $$n! \;\sim\; \sqrt{2\pi n}\,\left(\frac{n}{e}\right)^n \quad (n \to +\infty),$$ c'est-à-dire $\ln(n!) = n\ln n - n + \frac{1}{2}\ln(2\pi n) + o(1)$ (démonstration typique via les intégrales de Wallis, admise ici). **Utilisations** : obtenir des équivalents et des $\mathcal{O}$ pour les termes généraux, par exemple $\binom{2n}{n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$, ou étudier les séries dont le terme fait intervenir $n!$, $u^n/n!$, coefficients binomiaux, etc. #### 3. Règle de d'Alembert Soit $\sum u_n$ une série à termes **strictement positifs** telle que $\frac{u_{n+1}}{u_n} \to \ell$. - Si $\ell < 1$ : la série **converge** (absolument). - Si $\ell > 1$ : la série **diverge** (grossièrement, $u_{n+1} \geq u_n$ à partir d'un rang, le terme général ne tend pas vers $0$). - Si $\ell = 1$ : **on ne peut pas conclure** ($\sum \frac{1}{n}$ diverge, $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, avec $\ell = 1$ dans les deux cas). *Idée de preuve* (cas $\ell < 1$) : soit $q$ avec $\ell < q < 1$ ; à partir d'un rang $N$, $u_{n+1} \leq q\,u_n$, donc $u_n \leq u_N q^{n-N}$ : comparaison à une série géométrique. #### 4. Théorème spécial des séries alternées **Théorème** : soit $(u_n)$ une suite **réelle positive, décroissante, de limite nulle**. Alors la série alternée $\sum (-1)^n u_n$ **converge**. De plus, si $R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} (-1)^k u_k$ désigne le reste d'ordre $n$ : $$|R_n| \leq u_{n+1} \quad \text{et} \quad R_n \text{ est du \textbf{signe du premier terme négligé}} \ ((-1)^{n+1} u_{n+1}).$$ *Preuve* : les sommes partielles d'indices pairs et impairs encadrent $S$ ; le reste vérifie $R_n = (-1)^{n+1}(u_{n+1} - u_{n+2} + \cdots)$, la parenthèse étant positive (croissances des sommes alternées) et majorée par $u_{n+1}$. Exemple : $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ converge, de reste de signe $(-1)^{n+1}$ et $|R_n| \leq \frac{1}{n+1}$. #### 5. Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes Le **produit de Cauchy** de $\sum_{n \geq 0} a_n$ et $\sum_{n \geq 0} b_n$ est la série $\sum_{n \geq 0} c_n$ avec $c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}$. **Théorème** : si $\sum a_n$ et $\sum b_n$ sont **absolument convergentes**, alors $\sum c_n$ est **absolument convergente** et $$\sum_{n \geq 0} c_n = \left(\sum_{n \geq 0} a_n\right)\left(\sum_{n \geq 0} b_n\right).$$ *Idée de preuve* : pour les sommes partielles, $\sum_{n=0}^{N} c_n$ est la somme des $a_k b_j$ avec $k + j \leq N$ (triangle) ; par convergence absolue, les termes $\sum |a_k b_j|$ sur le carré $n, m \leq N$ tendent vers $\left(\sum|a_n|\right)\left(\sum|b_n|\right)$ (produit de sommes finies, puis passage à la limite), ce qui contrôle le passage du triangle au carré. Exemple : $\left(\sum \frac{x^n}{n!}\right)\left(\sum \frac{y^n}{n!}\right) = \sum \frac{(x+y)^n}{n!}$, d'où $e^x e^y = e^{x+y}$. #### 6. Estimation des sommes partielles et des restes (fonction monotone) Grâce à la comparaison série-intégrale, pour $f$ positive décroissante continue : - **Séries divergentes** (sommes partielles) : $\sum_{k=1}^{n} f(k) = \int_1^{n} f(t)\,dt + C + o(1)$ pour une constante $C$. Exemple : $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \ln n + \gamma + o(1)$ où $\gamma \approx 0{,}577$ est la constante d'Euler. - **Séries convergentes** (restes) : pour $f$ positive décroissante continue, $$\int_{n+1}^{+\infty} f(t)\,dt \;\leq\; R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} f(k) \;\leq\; \int_{n}^{+\infty} f(t)\,dt,$$ et on en déduit des **équivalents de restes** : pour $f(t) = \frac{1}{t^2}$, $R_n \sim \frac{1}{n}$ ; pour $f(t) = \frac{1}{t \ln^2 t}$, $R_n \sim \frac{1}{\ln n}$. Ces estimations permettent de choisir $n$ pour atteindre une précision donnée. #### 7. Transformation d'Abel **Sommation par parties** : pour des suites $(a_k)$, $(b_k)$ et $A_k = \sum_{j=0}^{k} a_j$ : $$\sum_{k=0}^{n} a_k b_k = A_n b_n + \sum_{k=0}^{n-1} A_k (b_k - b_{k+1}).$$ **Conséquences (critères d'Abel et de Dirichlet)** : la série $\sum a_n b_n$ converge si - les sommes partielles $A_n$ sont **bornées**, $b_n \to 0$ et $(b_n)$ décroît vers $0$ (**Dirichlet**) — exemple : $\sum \frac{z^n}{n}$ converge pour $|z| = 1$, $z \neq 1$, car $|\sum_{k \leq n} z^k|$ est bornée ; - $\sum a_n$ **converge** et $(b_n)$ est monotone bornée (**Abel**). **Transformation d'Abel au sens fort** : si $\sum a_n$ converge, alors $\sum a_n x^n$ converge **uniformément sur $[0, 1]$** (on écrit $a_n x^n = a_n(1-x^n)$ et on somme par parties) — clé de la continuité à gauche en $1$ de la somme d'une série entière à la frontière du disque de convergence.

#### 1. Convergence simple d'une suite de fonctions Soient $X$ un ensemble et $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions de $X$ dans $\mathbb{K}$ ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). La suite $(f_n)$ **converge simplement** vers $f$ définie sur $X$ si $$\forall x \in X, \quad f_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} f(x).$$ La convergence est ponctuelle : le rang de convergence peut **dépendre de $x$**. Exemple : $f_n(x) = \frac{x}{n}$ sur $[0, 1]$ converge uniformément vers $0$ ($\sup_{[0,1]} |f_n| = \frac{1}{n} \to 0$) ; sur $\mathbb{R}$ en revanche, la convergence n'est que simple ($\sup_{x \in \mathbb{R}} |f_n(x)| = +\infty$). Contre-exemple : $x^n$ sur $[0,1]$ converge simplement mais pas uniformément ($\sup_{[0,1]} |f_n - f| = 1$). #### 3. La convergence uniforme entraîne la convergence simple **Immédiat** : si $\sup_{x \in X} |f_n(x) - f(x)| \to 0$, alors pour chaque $x$ fixé, $|f_n(x) - f(x)| \leq \sup_{X} |f_n - f| \to 0$, donc $f_n(x) \to f(x)$. **La réciproque est fausse** : $x^n$ sur $[0, 1]$ (simple, pas uniforme). **Intérêt de la convergence uniforme** : elle **préserve la continuité** (limite uniforme de fonctions continues = continue), permet l'**interversion limite-intégrale** ($\int f_n \to \int f$ sur un segment) et, sous une hypothèse de dérivées, l'**interversion limite-dérivée**. #### 4. Norme de la convergence uniforme sur l'espace des fonctions bornées Sur $\mathcal{B}(X, \mathbb{K})$, l'espace des fonctions **bornées** de $X$ dans $\mathbb{K}$ : $$\|f\|_\infty = \sup_{x \in X} |f(x)|$$ définit une norme (la **norme de la convergence uniforme**, ou norme sup). Pour des fonctions bornées $f_n$ et $f$ : $$f_n \to f \text{ uniformément} \iff \|f_n - f\|_\infty \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0.$$ Remarque : même si chaque $f_n$ est bornée, la limite simple peut être non bornée — dans ce cas la suite n'est pas convergente dans $\mathcal{B}(X, \mathbb{K})$. L'espace $\mathcal{B}(X, \mathbb{K})$ muni de $\|\cdot\|_\infty$ est **complet** (toute suite de Cauchy y converge). #### 5. Convergence simple, uniforme, normale d'une série de fonctions Soit $\sum u_n$ une série de fonctions de $X$ dans $\mathbb{K}$, de sommes partielles $S_N = \sum_{n=0}^{N} u_n$ et de reste $R_N(x) = \sum_{n=N+1}^{+\infty} u_n(x)$ : - **convergence simple** : pour tout $x$, la série numérique $\sum u_n(x)$ converge ; on note $S(x) = \sum u_n(x)$ ; - **convergence uniforme** : $R_N \to 0$ uniformément, i.e. $\sup_{x \in X} |R_N(x)| \to 0$ (équivalent : $S_N \to S$ uniformément) ; - **convergence normale** : la série $\sum \|u_n\|_\infty$ **converge**, où $\|u_n\|_\infty = \sup_{x \in X} |u_n(x)|$. #### 6. La convergence normale entraîne la convergence uniforme **Théorème** : si $\sum u_n$ converge normalement sur $X$, alors elle converge **uniformément** (et simplement) sur $X$. *Preuve* : pour tous $x \in X$ et $N \in \mathbb{N}$, $$|R_N(x)| = \left|\sum_{n=N+1}^{+\infty} u_n(x)\right| \leq \sum_{n=N+1}^{+\infty} \|u_n\|_\infty = \sum_{n=N+1}^{+\infty} \|u_n\|_\infty \xrightarrow[N \to +\infty]{} 0$$ (reste d'une série numérique convergente, indépendant de $x$). De plus, chaque $u_n$ bornée et $\sum \|u_n\|_\infty < +\infty$ entraîne que $S = \sum u_n$ est bornée (somme absolument bornée). **Attention** : la réciproque est fausse — $\sum \frac{(-1)^n x^2}{n^2 + x^2}$ peut converger uniformément sans converger normalement ; exemple classique : $\sum \frac{(-1)^n}{n} x^n$ sur $[0,1]$ converge uniformément (Abel) mais $\sum \|u_n\|_\infty = \sum \frac{1}{n}$ diverge. #### 7. Utilisation d'une majoration uniforme pour établir la convergence normale **Critère pratique** : si l'on trouve une suite $(M_n)$ de réels positifs telle que $$|u_n(x)| \leq M_n \quad \text{pour tout } x \in X \text{ et tout } n, \qquad \text{et} \quad \sum_{n} M_n \text{ converge},$$ alors la série $\sum u_n$ **converge normalement** (donc uniformément) sur $X$ : c'est la généralisation du critère de comparaison, appelée aussi **critère de Weierstrass**. Exemples : - $\sum \frac{\sin(nx)}{n^2}$ sur $\mathbb{R}$ : $\left|\frac{\sin(nx)}{n^2}\right| \leq \frac{1}{n^2}$ et $\sum \frac{1}{n^2} < +\infty$ → convergence normale, donc uniforme, et la somme est continue sur $\mathbb{R}$ ; - $\sum \frac{x^n}{n!}$ sur tout segment $[-R, R]$ : $|u_n(x)| \leq \frac{R^n}{n!}$ et $\sum \frac{R^n}{n!} < +\infty$ (d'Alembert) → convergence normale sur tout segment ; la convergence est même normale sur $\mathbb{R}$ avec $M_n = \frac{R^n}{n!}$ fixant $R = |x|$... plus simplement, normale sur tout borné. #### 8. La convergence normale entraîne la convergence absolue en tout point **Théorème** : si $\sum u_n$ converge normalement sur $X$, alors pour **tout** $x \in X$, la série numérique $\sum u_n(x)$ est **absolument convergente** : $$\sum_{n=0}^{+\infty} |u_n(x)| \leq \sum_{n=0}^{+\infty} \|u_n\|_\infty < +\infty.$$ La convergence normale est donc le mode de convergence **le plus fort** des trois : $$\text{normale} \implies \text{uniforme} \implies \text{simple}, \qquad \text{normale} \implies \text{absolue en chaque point},$$ et les réciproques sont fausses en général. Exemple : $\sum \frac{\sin(nx)}{n^2}$ est normalement convergente, donc absolument convergente en chaque $x$, uniformément convergente, de somme continue.

#### 1. Continuité de la limite d'une suite de fonctions **Théorème** : si $(f_n)$ est une suite de fonctions **continues** sur $I$ (intervalle de $\mathbb{R}$, ou plus généralement une partie d'un espace vectoriel normé) qui converge **uniformément** vers $f$ sur $I$, alors $f$ est **continue** sur $I$. *Preuve ($\varepsilon/3$)* : soient $a \in I$ et $\varepsilon > 0$. On choisit $n$ tel que $\sup_I |f_n - f| \leq \varepsilon/3$ ; par continuité de $f_n$ en $a$, il existe $\delta > 0$ tel que $|x - a| \leq \delta \Rightarrow |f_n(x) - f_n(a)| \leq \varepsilon/3$. Alors, pour $|x - a| \leq \delta$ : $$|f(x) - f(a)| \leq |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - f_n(a)| + |f_n(a) - f(a)| \leq \varepsilon.$$ **En pratique** : la convergence uniforme sur tout $I$ est rare ; on vérifie souvent la convergence **uniforme sur tout segment** $[a, b] \subset I$ (« convergence localement uniforme »), ce qui suffit pour la continuité sur $I$ tout entier. *Exemple* : $f_n(x) = \sum_{j=0}^{n} \frac{x^j}{j!}$ converge simplement vers $e^x$ sur $\mathbb{R}$ et uniformément sur tout segment $[-A, A]$ (reste majoré par $\frac{A^{n+1}}{(n+1)!} e^A \to 0$) : la limite $e^x$ est continue sur $\mathbb{R}$. *Contre-exemple* : $f_n(x) = x^n$ sur $[0, 1]$ converge simplement vers une fonction discontinue : la convergence n'est pas uniforme. #### 2. Intégration sur un segment de la limite **Théorème** : si $(f_n)$ est une suite de fonctions **continues** sur $[a, b]$ qui converge **uniformément** vers $f$ sur $[a, b]$, alors $f$ est continue sur $[a, b]$ et $$\int_a^b f_n(t)\,dt \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_a^b f(t)\,dt,$$ c'est-à-dire qu'on peut **permuter limite et intégrale** : $\lim_n \int_a^b f_n = \int_a^b \lim_n f_n$. *Preuve* : $\left|\int_a^b f_n - \int_a^b f\right| \leq (b - a)\, \sup_{[a,b]} |f_n - f| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. **En pratique** : on vérifie la convergence uniforme sur le segment d'intégration (ou, si l'intégrale porte sur $[a, x]$, uniformément sur tout segment contenant $[a, x]$, ce qui donne la continuité de $x \mapsto \int_a^x f$). *Exemple* : $f_n(t) = \sum_{j=0}^{n} \frac{t^j}{j!} \to e^t$ uniformément sur $[0, 1]$ (reste $\leq \frac{e}{(n+1)!} \to 0$), donc $\int_0^1 f_n(t)\,dt \to \int_0^1 e^t\,dt = e - 1$, et par permutation $\sum_{j=0}^{+\infty} \frac{1}{(j+1)!\,(j+1)} = e - 1$. #### 3. Dérivabilité de la limite d'une suite de fonctions **Théorème (dérivation des limites)** : soient $I$ un intervalle et $(f_n)$ une suite de fonctions de **classe $\mathcal{C}^1$** sur $I$ telles que : 1. $(f_n)$ **converge simplement** vers $f$ sur $I$ ; 2. $(f_n')$ **converge uniformément** vers une fonction $g$ sur $I$ (en pratique : sur tout segment de $I$). Alors $f$ est de **classe $\mathcal{C}^1$** sur $I$ et $f' = g$. *Preuve* : pour $a \in I$, $f_n(x) = f_n(a) + \int_a^x f_n'(t)\,dt$ ; $(f_n')$ converge uniformément vers $g$ donc $g$ est continue, et par le théorème d'intégration $f_n(x) \to f(a) + \int_a^x g(t)\,dt$. Par unicité de la limite simple, $f(x) = f(a) + \int_a^x g(t)\,dt$, donc $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et $f' = g$. **En pratique** : on vérifie la convergence uniforme de $(f_n')$ sur tout segment de $I$. **Attention** : la convergence uniforme de $(f_n)$ seule ne suffit pas : $f_n(x) = \frac{\sin(nx)}{n} \to 0$ uniformément sur $\mathbb{R}$ mais $f_n'(x) = \cos(nx)$ ne converge (nulle part) ; la limite $0$ est dérivable mais $f' \neq \lim f_n'$. *Exemple* : $f_n(x) = \sum_{j=0}^{n} \frac{x^j}{j!}$ : $f_n \to e^x$ simplement sur $\mathbb{R}$ et $f_n'(x) = f_{n-1}(x) \to e^x$ uniformément sur tout segment ; donc $(e^x)' = e^x$. #### 4. Extension aux suites de fonctions de classe $\mathcal{C}^k$ **Théorème** : soient $k \geq 1$, $(f_n)$ une suite de fonctions de classe $\mathcal{C}^k$ sur $I$ telles que : - $(f_n^{(j)})$ **converge simplement** sur $I$ (ou sur tout segment) pour $0 \leq j \leq k-1$, vers $f^{(j)}$ ; - $(f_n^{(k)})$ **converge uniformément** (sur tout segment de $I$) vers $g$. Alors $f$ est de **classe $\mathcal{C}^k$** sur $I$ et $f^{(j)} = \lim_n f_n^{(j)}$ pour $0 \leq j \leq k$ : on peut **permuter limite et dérivation** jusqu'à l'ordre $k$. *Preuve* : récurrence sur $k$ à partir du théorème de dérivation des limites appliqué à $(f_n^{(k-1)})$ (dont la dérivée $(f_n^{(k)})$ converge uniformément). *Exemple* : $f_n(x) = \sum_{j=0}^{n} \frac{x^j}{j!}$ : pour tout $k$, $f_n^{(j)} \to e^x$ simplement pour $j < k$ et $f_n^{(k)} \to e^x$ uniformément sur tout segment ; donc $e^x$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ et $(e^x)^{(k)} = e^x$ pour tout $k$. #### 5. Exemple récapitulatif Soit $f_n(x) = \sum_{j=0}^{n} \frac{x^j}{j!}$ sur $\mathbb{R}$. - **Continuité** : $f_n \to e^x$ uniformément sur tout segment (reste majoré par $\frac{A^{n+1}}{(n+1)!}e^A$ sur $[-A, A]$), donc $e^x$ est continue. - **Intégration** : $\int_0^1 f_n(t)\,dt \to \int_0^1 e^t\,dt = e - 1$, soit $\sum_{j=0}^{+\infty} \frac{1}{(j+1)! (j+1)} = e - 1$. - **Dérivation** : $f_n' = f_{n-1} \to e^x$ uniformément sur tout segment, donc $(e^x)' = e^x$. - **Classe $\mathcal{C}^k$** : par récurrence, $e^x$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ et $(e^x)^{(k)} = e^x$.

Les théorèmes ci-dessous sont les traductions des théorèmes sur les suites de fonctions aux séries : il suffit d'appliquer les résultats des sommes partielles $S_N = \sum_{n=0}^{N} f_n$ (la convergence uniforme de la série équivaut à celle de la suite $(S_N)$). #### 1. Continuité de la somme d'une série de fonctions **Théorème** : si les $f_n$ sont **continues** sur $I$ et si la série $\sum f_n$ **converge uniformément** sur $I$, alors sa somme $S = \sum_{n \geq 0} f_n$ est **continue** sur $I$. *Preuve* : les sommes partielles $S_N$ sont continues (somme finie de fonctions continues) et convergent uniformément vers $S$ ; on applique le théorème de continuité de la limite uniforme. **En pratique** : on vérifie la convergence **uniforme sur tout segment** de $I$ (souvent obtenue par une **convergence normale** sur tout segment), ce qui suffit pour la continuité sur $I$. *Exemple* : $\sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n!}$ converge normalement sur tout segment $[-A, A]$ ($\sum \frac{A^n}{n!} < +\infty$), donc sa somme $e^x$ est continue sur $\mathbb{R}$ ; $\sum \frac{\sin(nx)}{n^2}$ converge normalement sur $\mathbb{R}$, sa somme est continue. #### 2. Théorème de la double limite **Théorème** : soient $I$ un intervalle de la forme $[c, a[$ (ou $]a, c]$, ou $[c, +\infty[$), $(f_n)$ des fonctions définies sur $I$ telles que : 1. $\sum f_n$ **converge uniformément** sur $I$ ; 2. pour tout $n$, $f_n$ admet une **limite** $\ell_n$ en $a$ (borne de $I$, éventuellement infinie). Alors la série $\sum \ell_n$ **converge**, la somme $S = \sum f_n$ admet une **limite en $a$**, et $$\lim_{x \to a} \sum_{n \geq 0} f_n(x) = \sum_{n \geq 0} \lim_{x \to a} f_n(x) = \sum_{n \geq 0} \ell_n :$$ on peut **permuter la limite et la somme infinie**. *Preuve (Cauchy)* : la convergence uniforme donne $\sup_{x \in I} \left|\sum_{n=p}^{q} f_n(x)\right| \to 0$ pour $q \geq p \to +\infty$ ; en faisant tendre $x$ vers $a$ (chaque $f_n$ admet une limite), $\left|\sum_{n=p}^{q} \ell_n\right| \leq \sup_{x \in I} \left|\sum_{n=p}^{q} f_n(x)\right|$, donc $\sum \ell_n$ vérifie le critère de Cauchy. Puis un découpage en trois $\varepsilon$ conclut : $$\left|S(x) - \sum_{n \geq 0} \ell_n\right| \leq |R_N(x)| + \left|\sum_{n=0}^{N} f_n(x) - \sum_{n=0}^{N} \ell_n\right| + \sum_{n > N} |\ell_n|.$$ *Exemple* : $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^2 + x^2}$ sur $I = [0, +\infty[$ : chaque $\ell_n = 0$, convergence uniforme sur $[0, +\infty[$ (reste $\leq \sum_{n > N} \frac{1}{n^2} \to 0$), donc $\lim_{x \to +\infty} \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n^2 + x^2} = 0$. *Contre-exemple montrant l'importance de l'hypothèse* : $\sum_{n \geq 0} x^n(1 - x)$ sur $[0, 1[$ : chaque $\ell_n = 0$, mais $S(x) = 1$ pour $x \in [0, 1[$, donc $\lim_{x \to 1^-} S(x) = 1 \neq 0 = \sum \ell_n$ : la convergence n'est pas uniforme sur $[0, 1[$. #### 3. Intégration de la somme d'une série de fonctions sur un segment **Théorème** : si les $f_n$ sont **continues** sur $[a, b]$ et si $\sum f_n$ **converge uniformément** sur $[a, b]$, alors $$\int_a^b \left(\sum_{n \geq 0} f_n(t)\right) dt = \sum_{n \geq 0} \left(\int_a^b f_n(t)\,dt\right),$$ la série des intégrales étant convergente : on peut **permuter l'intégrale et la somme**. *Preuve* : les sommes partielles $S_N$ convergent uniformément vers $S$ ; or $\int_a^b S_N = \sum_{n=0}^{N} \int_a^b f_n$ (linéarité), et le théorème d'intégration des limites uniformes donne $\int_a^b S_N \to \int_a^b S$. *Exemple* : $\sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{n!}$ converge uniformément sur $[0, 1]$ (normalement), donc $$\int_0^1 e^t\,dt = \sum_{n \geq 0} \int_0^1 \frac{t^n}{n!}\,dt = \sum_{n \geq 0} \frac{1}{(n+1)!\,(n+1)} = \sum_{n \geq 0} \frac{1}{(n+1)!} = e - 1.$$ #### 4. Dérivation de la somme d'une série de fonctions **Théorème (dérivation terme à terme)** : soient $I$ un intervalle et $(f_n)$ une suite de fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ telles que : 1. la série $\sum f_n$ **converge simplement** en au moins un point de $I$ (et donc partout si les sommes partielles convergent simplement sur $I$) ; 2. la série des dérivées $\sum f_n'$ **converge uniformément** (en pratique : sur tout segment de $I$). Alors la somme $S = \sum f_n$ est de **classe $\mathcal{C}^1$** sur $I$ et $$S'(x) = \sum_{n \geq 0} f_n'(x) \quad \text{pour tout } x \in I,$$ on peut **permuter la dérivation et la somme**. *Preuve* : on applique le théorème de dérivation des limites aux sommes partielles $S_N$ (qui convergent simplement vers $S$, et dont les dérivées $\sum_{n=0}^{N} f_n'$ convergent uniformément). **En pratique** : on vérifie la convergence uniforme de $\sum f_n'$ sur tout segment de $I$. **Attention** : la convergence uniforme de la série $\sum f_n$ seule ne suffit pas (cf. $\sum \frac{\sin(nx)}{n}$, qui converge simplement mais dont la somme n'est pas dérivable partout avec $\sum \cos(nx)/n$ divergent en presque tout point). *Exemple* : $\sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n!}$ : convergence simple sur $\mathbb{R}$, $\sum_{n \geq 1} \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$ converge normalement sur tout segment, donc $S'(x) = \sum_{n \geq 1} \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} = S(x)$ : on retrouve $(e^x)' = e^x$ par dérivation terme à terme. #### 5. Extension à la classe $\mathcal{C}^k$ **Théorème** : soient $k \geq 1$ et $(f_n)$ des fonctions de classe $\mathcal{C}^k$ sur $I$ telles que : - $\sum f_n^{(j)}$ **converge simplement** sur $I$ pour $0 \leq j \leq k-1$ (en particulier $\sum f_n$) ; - $\sum f_n^{(k)}$ **converge uniformément** (en pratique : sur tout segment de $I$). Alors $S = \sum f_n$ est de **classe $\mathcal{C}^k$** sur $I$ et pour $0 \leq j \leq k$ : $$S^{(j)} = \sum_{n \geq 0} f_n^{(j)}$$ (permutation de la dérivation et de la somme jusqu'à l'ordre $k$). Preuve par récurrence à partir du théorème de dérivation terme à terme appliqué à $\sum f_n^{(k-1)}$. **En pratique** : la convergence **normale sur tout segment** de $\sum f_n^{(k)}$ est le critère le plus employé (avec $\sum f_n$ simplement convergente). #### 6. Exemple récapitulatif Soit $S(x) = \sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n!}$ sur $\mathbb{R}$. - **Continuité** : convergence normale sur tout segment $[-A, A]$ ($\sum \frac{A^n}{n!} < +\infty$), donc $S$ est continue sur $\mathbb{R}$. - **Double limite** : pour étudier $\lim_{x \to +\infty}$... plutôt, sur $[0, 1]$, la convergence normale donne $\lim_{x \to 1} S(x) = \sum_{n \geq 0} \frac{1}{n!} = e$ (chaque $f_n(x) = x^n/n!$ a pour limite $\frac{1}{n!}$ en $1$ et $\sum \frac{1}{n!}$ converge : cohérent). - **Intégration** : $\int_0^1 S(t)\,dt = \sum_{n \geq 0} \frac{1}{(n+1)! (n+1)} = e - 1$. - **Dérivation** : $S'(x) = \sum_{n \geq 1} \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} = S(x)$ (dérivation terme à terme, série des dérivées normalement convergente sur tout segment) et $S(0) = 1$ : $S = \exp$. - **Classe $\mathcal{C}^k$** : pour tout $k$, $S$ est de classe $\mathcal{C}^k$ et $S^{(k)} = S$.

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions définies sur un ensemble $X$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ (ou un e.v.n. $F$). Plusieurs **modes de convergence** vers une fonction $f$ coexistent, du plus faible au plus fort. **Définitions.** - **Convergence simple** : pour tout $x\in X$, $f_n(x)\to f(x)$. - **Convergence uniforme** : $\|f_n-f\|_\infty=\sup_{x\in X}|f_n(x)-f(x)|\to 0$. - **Convergence normale** (séries) : $\sum_n\|f_n\|_\infty<+\infty$. Pour les séries, on parle de convergence (simple, uniforme, normale) de $\sum f_n$ via la suite des sommes partielles $S_n=\sum_{k\leq n}f_k$.

- **Hiérarchie** : convergence **normale** $\Rightarrow$ convergence **uniforme** $\Rightarrow$ convergence **simple**. - **Caractérisation de l'uniforme** : $f_n\to f$ uniformément $\iff \|f_n-f\|_\infty\to0$. - **Convergence uniforme sur tout segment** : mode intermédiaire utile en analyse ; implique la convergence simple et la **continuité de la limite** sur chaque segment. - **Cas des séries (normale)** : si $\sum\|f_n\|_\infty<+\infty$, alors $\sum f_n$ converge uniformément (et absolument en tout point). - **Hypothèses de validité** : les implications ne sont **pas** réversibles en général.

1. **Reconnaître le mode** : calculer $f_n(x)$ pour $x$ fixé (simple), puis $\sup_x|f_n-f|$ (uniforme), puis $\sum\|f_n\|_\infty$ (normale). 2. **Prouver l'uniforme** par étude de la fonction $x\mapsto|f_n(x)-f(x)|$ (dérivée, tableau de variations). 3. **Prouver la normale** en majorant $\|f_n\|_\infty$ par $M_n$ avec $\sum M_n<+\infty$. **Pièges classiques.** Convergence **simple $\neq$ uniforme** : l'inverse est faux (exemple $x^n$ sur $[0,1]$). La convergence normale est **spécifique aux séries** (pas aux suites). Attention à préciser **où** (sur $X$, sur tout segment) la convergence est uniforme.

La suite $f_n(x)=x^{n}$ sur $[0,1]$ : $f_n\to f$ **simplement** avec $f(x)=0$ pour $x<1$ et $f(1)=1$. Comme $\|f_n-f\|_\infty=1\not\to0$, la convergence n'est **pas uniforme** sur $[0,1]$. En revanche, sur $[0,a]$ avec $a<1$, $\|f_n\|_\infty=a^{n}\to0$ : convergence **uniforme**. ```mermaid graph TD N["Convergence normale : sum ||f_n||_infini < +infini (series)"] U["Convergence uniforme : ||f_n - f||_infini --> 0"] S["Convergence simple : f_n(x) --> f(x) pour tout x"] N --> U U --> S N --> R["serie absolument convergente"] U --> P["uniforme sur X ; a fortiori sur tout segment"] S --> Q["point par point, sans controle global"] ```

On étudie quelles **propriétés de régularité** (continuité, classe $\mathcal{C}^k$, intégrabilité) sont **transmises à la limite** d'une suite de fonctions $(u_n)$. **Définitions.** $(u_n)$ converge **uniformément** vers $u$ sur tout segment de $I$ si, pour tout segment $[a,b]\subset I$, $\sup_{[a,b]}|u_n-u|\to0$. C'est le cadre naturel des théorèmes de régularité.

- **Continuité** : si les $u_n$ sont **continues** et si $(u_n)$ converge **uniformément** vers $u$ sur tout segment de $I$, alors $u$ est **continue** sur $I$. - **Classe $\mathcal{C}^1$** : si les $u_n$ sont $\mathcal{C}^1$, $(u_n)$ converge simplement et $(u_n')$ converge uniformément sur tout segment, alors $u$ est $\mathcal{C}^1$ et $u'=\lim u_n'$ (voir « Dérivation d'une suite »). - **Intégration** : sous convergence uniforme sur tout segment, $u$ est intégrable et $\int_a^x u_n\to\int_a^x u$ uniformément. - **Hypothèses de validité** : la **convergence uniforme** (sur tout segment) est indispensable ; la convergence simple ne transmet **pas** la continuité.

1. **Localiser** : travailler sur un segment $[a,b]\subset I$, où la convergence est uniforme. 2. **Appliquer** le théorème de régularité adapté (continuité, $\mathcal{C}^k$, intégration). 3. **Contrôler les dérivées/intégrales** terme à terme (uniforme convergence des dérivées pour la dérivation). **Pièges classiques.** La convergence **simple** ne préserve **pas** la continuité (exemple $x^n$ sur $[0,1]$). Pour la dérivation, la convergence uniforme de $u_n$ ne suffit pas : il faut celle de $u_n'$. Préciser toujours le **domaine** (segment) d'uniformité.

La suite $u_n(x)=x^{n}$ converge simple sur $[0,1]$ vers $f$, **discontinue** en $1$ : la continuité n'est pas préservée faute d'uniformité. Sur $[0,a]\subset[0,1[$ avec $a<1$, la convergence est uniforme et la limite (nulle) est continue : la régularité est transmise. ```mermaid graph TD U["u_n --> u uniformement sur tout segment"] U --> C["u continue"] U --> CM["u continue par morceaux"] U --> I["int_a^x u_n --> int_a^x u uniformement"] D["u_n de classe C^1 et u_n' --> v uniformement"] --> C1["u de classe C^1 et u' = v"] ```

On étudie les propriétés de régularité de la **somme** $S=\sum_{n}f_n$ d'une série de fonctions, déduites de celles des termes $f_n$ et du **mode de convergence**. **Définitions.** $S=\sum f_n$ où $f_n$ sont définies sur $I$ ; convergence normale : $\sum\|f_n\|_\infty<+\infty$ (qui entraîne l'uniforme et la simple).

- **Continuité** : si les $f_n$ sont continues et si $\sum f_n$ converge **uniformément** sur tout segment de $I$, alors $S$ est **continue**. - **Dérivation terme à terme** : si les $f_n$ sont $\mathcal{C}^1$, $\sum f_n$ converge simplement et $\sum f_n'$ converge uniformément sur tout segment, alors $S$ est $\mathcal{C}^1$ et $S'=\sum f_n'$. - **Intégration terme à terme** : sous convergence uniforme (segment) ou sommabilité $\sum\int|f_n|<+\infty$, $\int\sum f_n=\sum\int f_n$. - **Critère suffisant** : la **convergence normale** $\sum\|f_n\|_\infty<+\infty$ entraîne l'uniforme convergence (donc la continuité de $S$). - **Hypothèses** : la convergence (uniforme/normale) est indispensable ; la simple convergence de $\sum f_n$ ne préserve pas la continuité.

1. **Établir la convergence** de $\sum f_n$ (souvent par convergence **normale** $\sum\|f_n\|_\infty<+\infty$). 2. **Appliquer** le théorème : continuité de $S$, ou dérivation/intégration terme à terme. 3. **Justifier chaque échange** par l'hypothèse correspondante sur les dérivées ou les intégrales. **Pièges classiques.** La convergence uniforme de $\sum f_n$ ne donne **pas** celle de $\sum f_n'$. Ne pas intégrer/dériver terme à terme sans vérifier l'hypothèse. Bien distinguer convergence **normale** (critère commode) et **uniforme** (propriété).

La série $\sum_{n\geq1}\frac{\cos(nx)}{n^{2}}$ : $\big\|\frac{\cos(nx)}{n^{2}}\big\|_\infty\leq\frac{1}{n^{2}}$, donc convergence **normale**, donc uniforme. Sa somme $S$ est **continue** sur $\mathbb{R}$ et intégrable terme à terme sur tout segment. ```mermaid graph TD S["sum f_n de somme S"] U["Convergence uniforme (ou normale) sur tout segment"] U --> C["S continue"] U --> I["int (sum f_n) = sum int f_n"] U --> A["serie absolument convergente (normale)"] D["sum f_n' uniforme et f_n de classe C^1"] --> C1["S de classe C^1 et S' = sum f_n'"] ```