Univers, évènements, variables aléatoires discrètes

#### 1. Univers, tribu, espace probabilisable - L'**univers** $\Omega$ est l'ensemble des issues (résultats) de l'expérience aléatoire. - Une **tribu** $\mathcal{A}$ sur $\Omega$ est une partie de $\mathcal{P}(\Omega)$ telle que : 1. $\Omega \in \mathcal{A}$ (donc $\emptyset \in \mathcal{A}$) ; 2. $\mathcal{A}$ est stable par **complémentaire** : $A \in \mathcal{A} \Rightarrow \bar{A} \in \mathcal{A}$ ; 3. $\mathcal{A}$ est stable par **réunion et intersection dénombrables** : pour toute suite $(A_n)_{n \in \mathbb{N}}$ d'éléments de $\mathcal{A}$, $\bigcup_{n} A_n \in \mathcal{A}$ et $\bigcap_n A_n \in \mathcal{A}$. (On se limite ici à la définition et à ces stabilités par les opérations ensemblistes finies ou dénombrables.) Le couple $(\Omega, \mathcal{A})$ est un **espace probabilisable** : c'est le cadre dans lequel on définira les probabilités. - **Traduction des réalisations par les quantificateurs** : pour une suite d'événements $(A_n)$ : $$\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_n = \{\omega \in \Omega \mid \exists\, n \in \mathbb{N},\, \omega \in A_n\} \quad (\text{« il existe } n \text{ tel que } A_n \text{ se réalise »}),$$ $$\bigcap_{n \in \mathbb{N}} A_n = \{\omega \in \Omega \mid \forall\, n \in \mathbb{N},\, \omega \in A_n\} \quad (\text{« pour tout } n, \text{ } A_n \text{ se réalise »}).$$ Exemple : « obtenir au moins un $6$ en $n$ lancers » $= \bigcup_{k=1}^{n} A_k$ où $A_k$ = « le $k$-ième lancer donne $6$ » ; « obtenir que des $6$ » $= \bigcap_{k \geq 1} A_k$. #### 2. Événements Les éléments de $\mathcal{A}$ sont les **événements**. Le vocabulaire de première année se généralise au cadre dénombrable : - $\emptyset$ : événement **impossible** ; $\Omega$ : événement **certain** ; - $A \cap B = \emptyset$ : événements **incompatibles** (disjoints) ; - $A \subset B$ : $A$ **implique** $B$ ; $\bar{A}$ : événement **contraire** ; - **système complet d'événements** : partition finie $(A_1, \ldots, A_p)$ de $\Omega$ (incompatibles deux à deux, de réunion $\Omega$) — généralisé en partition **dénombrable** et, avec une réunion seulement presque sûre, en **système quasi-complet** ; - les singletons $\{\omega\}$ (lorsqu'ils sont dans $\mathcal{A}$) sont les **événements élémentaires**. #### 3. Variable aléatoire discrète **Définition** : une **variable aléatoire discrète** (VAD) $X$ est une application $X : \Omega \to E$ (où $E$ est un ensemble, typiquement $\mathbb{R}$, $\mathbb{N}$ ou un ensemble de mots) telle que : 1. $X(\Omega)$ est **au plus dénombrable** ; 2. pour tout $x \in X(\Omega)$, l'image réciproque $X^{-1}(\{x\})$ est un **événement** (élément de $\mathcal{A}$). Cette seconde condition (de « mesurabilité ») est ce qui permet de parler de la probabilité que $X$ prenne la valeur $x$. **Remarque importante** : l'univers $\Omega$ n'est **en général pas explicité** — on travaille directement avec la loi de $X$ (les valeurs $x$ et leurs probabilités) sans décrire $\Omega$ ni les $\omega$. **Notations** (pour $x \in X(\Omega)$ et $A \subset E$) : - $(X = x)$ ou $\{X = x\}$ désigne l'événement $X^{-1}(\{x\}) = \{\omega \in \Omega \mid X(\omega) = x\}$ ; - $(X \in A) = \{\omega \mid X(\omega) \in A\} = \bigsqcup_{x \in A \cap X(\Omega)} (X = x)$ (réunion dénombrable d'événements incompatibles) ; - si $X$ est à valeurs réelles : $(X \geq x) = \{\omega \mid X(\omega) \geq x\}$, et les analogues $(X > x)$, $(X \leq x)$, $(X < x)$ — tous sont des événements (réunions ou intersections dénombrables des $(X = x)$). *Exemple* : lancer de deux dés équilibrés, $X$ = somme des deux dés : $X(\Omega) = \{2, \ldots, 12\}$ est dénombrable (fini) ; $(X = 4) = X^{-1}(\{4\})$ contient les triplets... les couples $(1,3), (2,2), (3,1)$ ; $(X \geq 11) = (X = 11) \sqcup (X = 12)$ ; l'univers $\Omega = \{1, \ldots, 6\}^2$ n'a pas besoin d'être détaillé pour calculer les probabilités des $(X = x)$. #### 4. Exemple récapitulatif Dé à trois faces étiquetées $-1, 0, 1$ équilibré : $\Omega = \{-1, 0, 1\}$, $\mathcal{A} = \mathcal{P}(\Omega)$ (tribu : contient $\Omega$, stable par complémentaire et réunions dénombrables — ici trivialement car finie). $X : \Omega \to \mathbb{R}$, $X(\omega) = \omega^2$ : $X(\Omega) = \{0, 1\}$ au plus dénombrable, $X^{-1}(\{0\}) = \{0\} \in \mathcal{A}$, $X^{-1}(\{1\}) = \{-1, 1\} \in \mathcal{A}$ : $X$ est une VAD. L'événement $(X \geq 1) = \{-1, 1\} = (X = 1)$ ; la « réalisation » de $\bigcup_{n}(X = n)$ pour $n$ entier se traduit par « il existe $n$ tel que $X = n$ », ici réduit à $\{0, 1\}$.

#### 1. Univers, événements, vocabulaire ensembliste L'**univers** $\Omega$ est l'ensemble des **issues** (résultats possibles) d'une expérience aléatoire ; on se limite ici au cas d'un univers **fini**. Un **événement** est une partie de $\Omega$. Le lien avec le vocabulaire ensembliste : - l'événement **certain** est $\Omega$ ; l'événement **impossible** est $\emptyset$ ; - $A \cap B$ : « $A$ **et** $B$ » (réalisé si les deux le sont) ; - $A \cup B$ : « $A$ **ou** $B$ » (réalisé si au moins l'un l'est) ; - $\bar{A}$ : événement **contraire** de $A$ (« non $A$ ») ; - $A \subset B$ : « $A$ **implique** $B$ » (si $A$ se réalise, $B$ aussi). #### 2. Événements élémentaires ; disjoints ; système complet - Un événement **élémentaire** est un **singleton** $\{\omega\}$ : il se réalise si l'issue est exactement $\omega$. - Des événements $A_1, \ldots, A_r$ sont **disjoints** (ou **incompatibles**) si $A_i \cap A_j = \emptyset$ pour $i \neq j$ : deux d'entre eux ne peuvent pas se réaliser simultanément. - Un **système complet d'événements** est une famille d'événements **non vides**, **disjoints deux à deux**, et dont la **réunion** vaut $\Omega$ : toute issue réalise exactement un des événements du système (comme des « branches » d'un arbre). #### 3. Variable aléatoire ; notations Une **variable aléatoire** $X$ est une **application** définie sur l'univers $\Omega$ à valeurs dans un ensemble $E$ (souvent $\mathbb{R}$) : elle associe à chaque issue $\omega$ la valeur $X(\omega)$. Pour $A \subset E$, l'événement $$\{X \in A\} = \{\omega \in \Omega : X(\omega) \in A\} = X^{-1}(A)$$ (se note aussi $(X \in A)$) est « $X$ prend ses valeurs dans $A$ ». De même, $\{X = x\}$, $\{X \leq x\}$, $\{X > x\}$, etc. sont des **événements** de $\Omega$ — on peut donc leur appliquer une probabilité. Exemple : pour un lancer de dé, $X(\omega) = \omega^2$ et $\{X \leq 9\} = \{1, 2, 3\}$.